SKKN Phương pháp khai thác đẳng thức cho trước vào bài toán chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thức

Nội dung text: SKKN Phương pháp khai thác đẳng thức cho trước vào bài toán chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thức

1. Sáng kiến kinh nghiệm A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1. Cơ sở thực tiển: Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán 8; 9 tôi thấy dạng toán chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thức là một trong những dạng toán khó đặc biệt là trong các đề thi học sinh giỏi, thực tế cũng cho thấy học sinh nói chung cũng ngại giải loại toán này. Vì thực tiễn đó tôi đã suy nghĩ và tìm tòi phương pháp giải loại toán này là rất cần thiết. 2. Cơ sở lý luận: Thực chất dạng toán này không thực sự khó nhưng học sinh hầu hết không biết bắt đầu từ đâu. Đặc biệt là dạng: Cho đẳng thức A yêu cầu chứng minh đẳng thức hoặc rút gọn đẳng thức B. Gặp dạng toán này học sinh không biết bắt đầu từ đâu hoặc sa vào khai triển đẳng thức B sau đó mới sử dụng kết quả đẳng thức A. Trong thực tế giảng dạy tôi gặp nhiều bài toán dạng này và kinh nghiệm cho thấy nếu ta bắt đầu từ đẳng thức A đã cho, biến đổi rồi thay vào đẳng thức B cần chứng minh thì bài toán sẻ được giải quyết một cách nhẹ nhàng và dễ dàng hơn. Vì những lý do trên tôi xin giới thiệu sáng kiến kinh nghiệm ''Phương pháp khai thác đẳng thức cho trước vào bài toán chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thức.'' II. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 1. Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 7; 8; 9 bậc THCS 2. Phạm vi nghiên cứu: Học sinh khối 8; 9 nơi tôi giảng dạy. III. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nghiên cứu về " Phương pháp khai thác đẳng thức cho trước vào bài toán chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thức''. Giúp giáo viên nâng cao năng lực Phương pháp khai thác đẳng thức cho trước vào bài toán chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thứ1c
2. Sáng kiến kinh nghiệm tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp các tri thức đã học, mở rộng, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết. Từ đó có phương pháp giảng dạy phần này có hiệu quả. Nghiên cứu vấn đề này để nắm được những thuận lợi, khó khăn khi dạy học phần chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thức trong bồi dưỡng học sinh khá giỏi, từ đó định hướng nâng cao chất lượng dạy và học môn toán. Nghiên cứu vấn đề này còn giúp giáo viên có tư liệu tham khảo và dạy thành công về chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thức. IV. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 1. Nghiên cứu về tình hình dạy học và học vấn đề này ở nhà trường. 2. Hệ thông hoá một số phương pháp chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thức. 3. Tìm hiểu mức độ và kết quả đạt được khi triển khai đề tài. 4. Phân tích rút ra bài học kinh nghiệm. V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1. Phương pháp nghiên cứu tài liệu. 2. Phương pháp điều tra, khảo sát. 3. Phương pháp thử nghiệm . 4. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm . VI. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Nâng cao chất lượng dạy và học trong và sau khi nghiên cứu áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, giúp cho giáo viên dạy có hiệu quả cao hơn, học sinh ham thích học dạng toán này hơn . 2 Phương pháp khai thác đẳng thức cho trước vào bài toán chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thức
3. Sáng kiến kinh nghiệm B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. LÝ THUYẾT ❖ Như đặt vấn đề ở trên, để giải quyết dạng toán này ta cần phải kết hợp hài hòa giữa đẳng thức đã cho với đẳng thức cần chứng minh và biểu thức cần rút gọn từ đó tìm ra những phép biến đổi hợp lý. ❖ Các phép toán cần thiết: • Các phép toán của đa thức và phân thức đại số. • Các hằng đẳng thức đáng nhớ đặc biệt là đẳng thức: a b c 0 thì a3 b3 c3 3abc 0 • Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. • Các phép biến đổi cần thiết khác( quy tắc mở ngoặc, đổi dấu, chuyển vế ). II. KHẢO SÁT BAN ĐẦU: Đơn vị Khối 8;9 Hứng thú với dạng Biết cách tiếp toán cận dạng toán Tổng số 240 HS 50 20 Tỷ số% 100% 20,8% 8,3% III. THỰC TRẠNG VÀ NGUYÊN NHÂN: 1. Thực trạng: Qua kết quả khảo sát chất lượng ban đầu đã phản ánh học sinh không hứng thú với dạng toán này đặc biệt rất ít học sinh biết tiếp cận dạng toán một cách thực sự. 2. Nguyên nhân: - Đây là dạng toán khó, chủ yếu là dạng toán nâng cao dành cho học sinh khá và giỏi. - Trong sách giáo khoa cũng như sách bài tập rất ít có dạng toán này. Vì vậy trên lớp ít có cơ hội tiếp cận dạng toán này, thường nó chỉ phổ biến cho một số em đội tuyển học sinh giỏi và học sinh lớp chọn. Phương pháp khai thác đẳng thức cho trước vào bài toán chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thứ3c
4. Sáng kiến kinh nghiệm IV. GIẢI PHÁP CHỦ YẾU: Thực tế trong quá trình giải toán nói chung và dạng toán này nói riêng thì không có một con đường nào thực sự cụ thể mà việc giải toán đặc biệt là toán khó thì đòi hỏi người dạy, người học phải tìm tòi sáng tạo cho mình một phương pháp tiếp cận bài toán dựa trên cơ sở đã học. Từ đó chúng ta sẽ tìm ra những quy luật những cách giải cho một dạng toán. Vì vậy trong đề tài này tôi xin đưa ra một phương pháp tiếp cận dạng toán chứng minh, rút gọn dựa vào đẳng thức cho trước bằng một số bài toán sau đây: 1. Dạng toán chứng minh đẳng thức Bài toán 1: a b c Cho 0 (*) với a, b, c đôi một khác nhau. b c c a a b a b c Chứng minh: 2 2 2 0 . b c c a a b Lời giải: a b c b a b c c a Từ (*) ta suy ra: b c c a a b c a a b a ab ac b2 c2 Hay b c c a a b 1 a ab ac b2 c2 Nhân hai vế với ta có: 2 (1) b c b c c a a b b c b bc ab c2 a2 Biến đổi tương tự ta có: 2 (2) c a c a a b b c c ac cb a2 b2 2 (3) a b c a a b b c Cộng vế theo vế của (1), (2) và (3) ta có: a b c 2 2 2 b c c a a b 4 Phương pháp khai thác đẳng thức cho trước vào bài toán chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thức
5. Sáng kiến kinh nghiệm ab ac b2 c2 bc ab c2 a2 ac cb a2 b2 c a a b b c c a a b b c c a a b b c ab ac b2 c2 bc ab c2 a2 ac cb a2 b2 0 đpcm c a a b b c Bài toán 2: Cho x y z 0 1 1 1 Chứng minh: 0 y x x z x y x y z Lời giải: Từ x y z 0 x y z x y 2 xy z x y z 2 xy Tương tự ta có: x z y 2 xz và y z x 2 yz Do đó ta có: 1 1 1 1 1 1 y x x z x y x y z 2 yz 2 xz 2 xy x y z 0 0 đpcm 2 xyz 2 xyz Bài toán 3: Cho a+b+c = 0 Chứng minh: 2 a5 b5 c5 5abc a2 b2 c2 Lời giải: Từ a b c 0 a b c 5 a5 b c b5 5b4c 10b3c2 10b2c3 5bc4 c5 5 5 5 3 3 a b c 5bc b c 2bc b c 5bc b c b2 c2 bc 2bc 5abc b2 c2 bc Do đó: 2 a5 b5 c5 5abc 2b2 2c2 2bc 2 5abc b c b2 c2 5abc a2 b2 c2 Phương pháp khai thác đẳng thức cho trước vào bài toán chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thứ5c
6. Sáng kiến kinh nghiệm Hay 2 a5 b5 c5 5abc a2 b2 c2 (đpcm) Bài toán 4: 1 1 1 1 1 1 Chứng minh rằng: Nếu x2 y2 z2 xy yz zx thì x y z Lời giải: 1 1 1 1 1 1 Ta có: x2 y2 z2 xy yz zx 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 0 x y z xy yz zx 2 2 2 1 1 1 1 1 1 0 x y y z z x 1 1 1 x y z x y z Bài toán 5: 1 1 1 1 Cho (*) a b c a b c 1 1 1 1 Chứng minh rằng: với n là số nguyên dương lẻ. an bn cn an bn cn Lời giải: 1 1 1 1 Từ a b c a b c bc ac ab a b c abc abc b2c bc2 ac2 a2c abc ab2 a2b 0 a b b c a c 0 (a+b) = 0 hoặc (b+c) = 0 hoặc (a+c) = 0 Hay a = - b; b = - c; c = - a Do n lẻ nên: an bn ;bn cn ;cn an 1 1 1 1 1 Suy ra: (vì cùng bằng ) an bn cn an bn cn cn 6 Phương pháp khai thác đẳng thức cho trước vào bài toán chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thức
7. Sáng kiến kinh nghiệm Bài toán 6: Cho a, b, c và x, y, z là các số khác nhau và khác không, đồng thời thỏa mãn: a b c x y z 0; 1 x y z a b c x2 y2 z2 Chứng minh rằng: 1 a2 b2 c2 Lời giải: a b c Đặt p; q; r ta có: p + q + r = 0 (*) x y z 1 1 1 và 1 ( ) p q r 1 1 1 p q r Từ ( ) suy ra: 2 1 p2 q2 r2 pqr 1 1 1 Kết hợp với (*) ta có: 1 p2 q2 r2 x2 y2 z2 hay 1 a2 b2 c2 Bài toán 7: Chứng minh rằng nếu: 3 a 3 b 3 c 3 a b c Thì với mọi số nguyên dương lẻ n ta đều có: n a n b n c n a b c Lời giải: Ta có: 3 a 3 b 3 c 3 a b c 3 3 3 a 3 b 3 c 3 a b c a b c 3 3 a 3 b 3 b 3 c 3 c 3 a a b c 3 a 3 b 3 b 3 c 3 c 3 a 0 Suy ra: 3 a 3 b 0 hoặc 3 b 3 c 0 hoặc 3 c 3 a 0 Vì vai trò của a, b, c là bình đẳng với nhau nên có thể giả sử 3 a 3 b 0 3 a 3 b 3 b a b Do đó với n là số nguyên dương lẻ thì ta có: n a n b n c n b n b n c n b n b n c n c n c b b n c b a Hay n a n b n c n a b c Phương pháp khai thác đẳng thức cho trước vào bài toán chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thứ7c
8. Sáng kiến kinh nghiệm Bài toán 8: a b c d Cho a, b, c, d, A, B, C, D là các số dương thỏa mản điều kiện: A B C D Chứng minh rằng: aA bB cC dD a b c d A B C D Lời giải: a b c d a b c d Do k A B C D A B C D a kA;b kB;c kC;d kD Nên ta có: aA bB cC dD kA2 kB2 kC2 kD2 k A B C D 2 k A B C D a b c d 2 A B C D A B C D a b c d A B C D Vậy aA bB cC dD a b c d A B C D (đpcm) 2. Dạng toán rút gọn biểu thức: Bài toán 9: Cho abc = 1. Rút gọn biểu thức sau: a b c A ab a 1 bc b 1 ca c 1 Lời giải: 1 Từ giả thiết abc 1 a thay vào biểu thức ta có: bc a b c A ab a 1 bc b 1 ca c 1 1 b bc bc b 1 bc b 1 bc b 1 1 b bc 1 bc b 1 Vậy A = 1 Bài toán 10: Cho abcd = 1. Rút gọn biểu thức sau: 8 Phương pháp khai thác đẳng thức cho trước vào bài toán chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thức
9. Sáng kiến kinh nghiệm a b c d B abc ab a 1 bcd bc b 1 cda cd c 1 dab da d 1 Lời giải: Tương tự bài toán 9 ta có: 1 Từ abcd 1 a thay vào biểu thức ta có: bcd a b c d B abc ab a 1 bcd bc b 1 cda cd c 1 dab da d 1 1 b bc bcd bcd bc b 1 bcd bc b 1 bcd bc b 1 bcd bc b 1 1 b bc bcd 1 bcd bc b 1 Bài toán 11: 1 Cho a b c và ax by cz 0 2015 Rút gọn biểu thức sau: ax2 by2 cz2 C 2 2 2 bc y z ac x z ab x y Lời giải: Từ giả thiết ax by cz 0 2 Bình phương hai vế ta có: ax by cz 0 a2x2 b2y2 c2z2 2 axby axcz bycz (*) Biến đổi mẩu số của phân thức đã cho ta có: 2 2 2 bc y z ac x z ab x y bcy2 2bcyz bcz2 bcz2 acx2 2acxz acz2 abx2 2abxy aby2 bcy2 bcz2 acx2 acz2 abx2 aby2 2 bcyz acxz abxy ( ) Thay (*) vào ( ) ta có: 2 2 2 bc y z ac x z ab x y bcy2 bcz2 acx2 acz2 abx2 aby2 a2x2 b2y2 c2z2 bcy2 acx2 c2z2 bcz2 abx2 b2y2 acz2 aby2 a2x2 c by2 ax2 cz2 b cz2 ax2 by2 a cz2 by2 ax2 by2 ax2 cz2 a b c Từ đó: Phương pháp khai thác đẳng thức cho trước vào bài toán chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thứ9c