SKKN Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) trong chương trình Toán THCS

Nội dung text: SKKN Phương pháp giải một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) trong chương trình Toán THCS

1. Sáng kiến kinh nghiệm A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.Lời nĩi đầu: Qua nhiều năm giảng dạy mơn Tốn ở trường THCS. Tơi nhận thấy, phát hiện và bồi dưỡng nhân tài là vấn đề rất quan trọng trong dạy học, nhất là mơn Khoa học tự nhiên đặc biệt là mơn Tốn. Nhằm phát huy năng lực tư duy của học sinh trong quá trình giải Tốn và phát hiện những học sinh cĩ năng lực về Tốn. Ai cũng thấy rằng: học thuộc bài học hồn tồn khơng đủ, mà phải biết vận dụng kiến thức và rèn luyện kĩ năng trong việc giải Tốn. Chuẩn bị cho việc vận dụng các kiến thức Tốn vào thực tiễn cơng tác sau này. Số bài tốn thì nhiều khơng kể xiết, mỗi bài mỗi vẻ, thời gian học tập lại hạn chế, do đĩ cần rèn luyện ĩc phân tích bài tốn và nắm vững tính đặc thù của từng dạng bài. Hơn nữa việc đổi mới phương pháp dạy học ở trường Phổ thơng nhằm đào tạo nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài đáp ứng yêu cầu của xã hội trong thời kỳ hội nhập quốc tế, địi hỏi người giáo viên phải chú trọng đến việc thiết kế và hướng dẫn học sinh thực hiện các dạng bài tập phát triển tư duy và rèn luyện kỹ năng, động viên khuyến khích, tạo cơ hội và điều kiện cho học sinh tham gia một cách tích cực, chủ động, sáng tạo vào quá trình khám phá và lĩnh hội nội dung bài học, chú ý khai thác vốn kiến thức, kinh nghiệm và kĩ năng đã cĩ của học sinh, bồi dưỡng hứng thú, nhu cầu hành động và thái độ tự tin trong học tập của học sinh, gĩp phần phát triển tối đa tiềm năng của bản thân. Với thực tế và yêu cầu chung đĩ việc nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng của giáo viên là hết sức cần thiết. Trong tài liệu này tơi xin giới thiệu đề tài “Phương pháp giải một số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất(GTLN), giá trị nhỏ nhất(GTNN) trong chương trình Tốn THCS” Trong quá trình thực hiện đề tài với kiến thức và kinh nghiệm cịn khiêm tốn chắc nội dung của sáng kiến cịn chưa phong phú và khơng thể tránh khỏi những sai sĩt. Rất mong nhận được sự đĩng gĩp chân thành của đồng nghiệp để sáng kiến được hồn thiện hơn giúp ích cho việc dạy và học tốn. Xin trân trọng cảm ơn! 2.Lý do chọn đề tài: Từ những cơ sở và nhận thức trên và cũng để đáp ứng nhu cầu tìm hiểu, học tập của giáo viên và nhiều học sinh trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi. Phương pháp giải những dạng tốn khĩ đã được xây dựng. Một trong những dạng Phương pháp giải một số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong chương trình tốn THCS 1
2. Sáng kiến kinh nghiệm tốn đĩ là: phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong tốn Trung học cơ sở. Tuy nhiên việc biên soạn các bài tốn này trong các cuốn sách chưa hồn chỉnh và cịn hạn chế về phương pháp giải. Bài tốn tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất cĩ ý nghĩa quan trọng trong chương trình tốn phổ thơng. Chuyên đề này sẽ trình bày một số phương pháp thường gặp để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong đĩ những phương pháp quan trọng như đưa về tổng các bình phương, phương pháp sử dụng điều kiện cĩ nghiệm của phương trình bậc 2 Do đĩ trong quá trình dạy học bản thân luơn cố gắng tìm tịi và nghiên cứu tài liệu, tích lũy kinh nghiệm trong nhiều năm để viết nên sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “Phương pháp giải một số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong chương trình Tốn THCS”. II. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 1. Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 7; 8; 9 bậc THCS 2. Phạm vi nghiên cứu: +Các tiết dạy trên lớp, dạy bồi dưỡng học sinh giỏi tốn 6; 7; 8; 9 qua các năm. +Tham khảo tài liệu, chuẩn kiến thức của bộ GD&ĐT, tài liệu bồi dưỡng thường xuyên, các loại sách tham khảo. +Các tiết sinh hoạt chuyên đề trong tổ chuyên mơn. III. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Khi viết sáng kiến kinh nghiệm này tơi luơn cố gắng hệ thống, xây dựng cơ đọng và đầy đủ những phương pháp giải, phát triển bài tốn nhằm nâng cao năng lực tự học của học sinh, ứng dụng kết quả của bài tốn vào giải quyết một số bài tốn thực tế khác. Từ đĩ rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy, phân tích bài tốn, tránh những sai lầm, ngộ nhận trong suy luận logic, phát hiện và bồi dưỡng những học sinh cĩ năng khiếu về tốn. Hơn nữa trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, thường cĩ bài tốn tìm cực trị đại số nên đây cũng là một tài liệu cho giáo viên tham khảo giúp ích cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi, đáp ứng nhu cầu học hỏi tìm hiểu của học sinh làm cho các em yêu thích mơn Tốn hơn. Nghiên cứu về “Phương pháp giải một số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong chương trình Tốn THCS”. Giúp giáo viên nâng cao năng lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp các tri thức đã học, mở rộng, đào sâu và hồn thiện hiểu biết. Từ đĩ cĩ phương pháp giảng dạy phần này cĩ hiệu quả. 2 Phương pháp giải một số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong chương trình tốn THCS
3. Sáng kiến kinh nghiệm Nghiên cứu vấn đề này để nắm được những thuận lợi, khĩ khăn khi dạy học phần chứng minh đẳng thức và rút gọn biểu thức trong bồi dưỡng học sinh khá giỏi, từ đĩ định hướng nâng cao chất lượng dạy và học mơn tốn. Nghiên cứu vấn đề này cịn giúp giáo viên cĩ tư liệu tham khảo và dạy thành cơng về tìm GTLN, GTNN của biểu thức. IV. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 1. Nghiên cứu về tình hình dạy học và học vấn đề này ở nhà trường. 2. Hệ thống hĩa kiến thức và phương pháp giải tốn tìm GTLN, GTNN 3. Đưa ra được những kĩ năng cần thiết khi biến đổi và tìm GTLN, GTNN. 4. Tạo ra sự đam mê tìm hiểu, nghiên cứu, sáng tạo trong việc dạy học tốn. 5. Tìm hiểu mức độ và kết quả đạt được khi triển khai đề tài. 6. Phân tích rút ra bài học kinh nghiệm. V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1. Phương pháp nghiên cứu tài liệu. 2. Phương pháp điều tra, khảo sát. 3. Phương pháp thử nghiệm . 4. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm . VI. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Nâng cao chất lượng dạy và học trong và sau khi nghiên cứu áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, giúp cho giáo viên dạy cĩ hiệu quả cao hơn, học sinh ham thích học dạng tốn này hơn . Phương pháp giải một số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong chương trình tốn THCS 3
4. Sáng kiến kinh nghiệm B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I.CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN 1. Cơ sở lý luận: -Với mục tiêu phát hiện, bồi dưỡng và phát triển những học sinh cĩ năng lực về Tốn, từ đĩ xây dựng cho học sinh kĩ năng nhận dạng và giải Tốn. -Thúc đẩy việc tìm hiểu và mở rộng kiến thức thêm của giáo viên cũng như của học sinh. -Xây dựng một tài liệu hồn chỉnh về một số dạng Tốn khĩ ở cấp học THCS. -Với nội dung của đề tài học sinh cĩ thể tự học, tự nghiên cứu và nội dung khơng những giới hạn ở cấp THCS mà cịn vận dụng ở nhiều cấp học cao hơn. 2. Cơ sở thực tiễn: -Thực tế chương trình Tốn THCS chưa xây dựng hồn chỉnh về nội dung và phương pháp của một số dạng Tốn khĩ, thường chỉ mang tính chất giới thiệu chưa sâu. -Nhiều học sinh muốn tìm hiểu thêm cịn lúng túng trong tài liệu nghiên cứu. -Việc tìm hiểu của giáo viên về một số đề tài cịn chưa tập trung trong một tài liệu cụ thể, do đĩ làm mất nhiều thời gian. -Cần phải phát triển cao hơn, đầy đủ hơn một số dạng Tốn để xây dựng chuyên đề về Tốn học làm tài liệu tham khảo cho việc dạy và học tốt hơn. -Việc viết sáng kiến kinh nghiệm là một định hướng của ngành. II. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI. 1. Định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN): ❖ Cho biểu thức f(x) xác định trên miền D. Ta nĩi M là giá trị lớn nhất của f(x) trên D. Kí hiệu M=max f(x), nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn. + Với mọi x thuộc D thì f(x) M, M là hằng số. + Tồn tại xo thuộc D sao cho f(xo) = M. ❖ Cho biểu thức f(x) xác định trên miền D. Ta nĩi m là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D, kí hiệu m = min f(x), nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn: + Với mọi x thuộc D thì f(x) m, m là hằng số. + Tồn tại xo thuộc D sao cho f(xo) = m. 2. Mở rộng khái niệm trên đối với biểu thức f(x,y ), xác định trên miền D như sau: ❖ Cho biểu thức f(x ; y ). Ta nĩi M là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức f(x ; y ) ký hiệu Max f = M nếu hai điều kiện sau đây được thõa mãn : 4 Phương pháp giải một số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong chương trình tốn THCS
5. Sáng kiến kinh nghiệm - Với mọi x , y để f(x ; y ) xác định thì f(x ; y ) M (1). - Tồn tại xo , yo sao cho f(xo ; yo ) = M (M là hằng số) (2). ❖ Cho biểu thức f(x ; y ). Ta nĩi m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x ; y ) ký hiệu Min f = m nếu hai điều kiện sau đây được thõa mãn : - Với mọi x , y để f(x ; y ) xác định thì f(x ; y ) m. (1)’. - Tồn tại xo , yo sao cho f(xo ; yo ) = m (m là hằng số) (2)’. ❖ Chú ý rằng : Nếu chỉ cĩ điều kiện (1) hay (1)’ thì chưa thể nĩi gì về cực trị của một biểu thức. Ví dụ : Xét biểu thức A = (x – 1)2 + (x – 3)2. Mặc dù ta cĩ A 0 nhưng chưa thể kết luận Min A = 0 vì khơng tồn tại giá trị nào của x để A = 0. Cách giải đúng như sau : A = x2 – 2x + 1 + x2 – 6x + 9 = 2(x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + 2 2. A = 2 x – 2 = 0 x = 2. Vậy Min A = 2 khi và chỉ khi x = 2. 3. Định nghĩa và tính chất giá trị tuyệt đối của một số a.Định nghĩa: a = a nếu a 0 a = - a nếu a 0. 3) a b a - b ( đẳng thức xảy ra khi a b 0 hoặc a b 0 ) 4) | a | + | b | | a + b |, 5) | a | – | b | | a – b |. a b 6) 2 với a > 0, b> 0. b a 4. Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất. Nhị thức ax + b (a 0) cùng dấu với a với các giá trị của x lớn hơn nghiệm của nhị thức, trái dấu với a với các giá trị x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức. x -b/a ax + b Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a Việc xét dấu của nhị thức bậc nhất cĩ nhiều ứng dụng như: giải bất phương trình tích bằng cách xét dấu các nhân tử của tích. Nếu số nhân tử âm mà chẳn thì tích dương, ngược lại tích sẽ âm. Khử dấu giá trị tuyệt đối nhờ xét từng khoảng giá trị của biến. Phương pháp giải một số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong chương trình tốn THCS 5
6. Sáng kiến kinh nghiệm 5. Các hằng đẳng thức đáng nhớ, các bất đẳng thức đã học, các quy tắc so sánh phân số 6. Sử dụng các mệnh đề tương đương: * A nhỏ nhất – A lớn nhất. * B lớn nhất B2 lớn nhất. (B > 0) 1 * C nhỏ nhất lớn nhất. (C > 0) C 7. Trong các hằng đẳng thức cần chú ý đến 2 mệnh đề sau cho ta GTLN của tích, GTNN của tổng. a) Nếu hai số cĩ tổng khơng đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đĩ bằng nhau: Chứng minh: Nếu a, b cĩ a + b = k ( k là hằng số ) thì (a + b)2 4ab ta cĩ a.b k 2 k 2 do đĩ max(a.b) = khi và chỉ khi a = b. 4 4 b)Nếu hai số dương cĩ tích khơng đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đĩ bằng nhau: Chứng minh: Nếu hai số dương a và b cĩ a.b = h (hằng số) thì (a + b) nhỏ nhất khi và chỉ khi (a + b)2 nhỏ nhất. Mà (a + b)2 4ab Min (a + b)2 = 4h, (khi và chỉ khi a = b) Min (a + b) = 2 h , (khi và chỉ khi a = b). III. KHẢO SÁT BAN ĐẦU: Đơn vị Khối 8;9 Hứng thú với dạng Biết cách tiếp tốn cận dạng tốn Tổng số 240 HS 50 20 Tỷ số% 100% 20,8% 8,3% IV. THỰC TRẠNG VÀ NGUYÊN NHÂN: 1. Thực trạng: - Qua kết quả khảo sát chất lượng ban đầu đã phản ánh học sinh khơng hứng thú với dạng tốn này đặc biệt rất ít học sinh biết tiếp cận dạng tốn một cách thực sự. - Chất lượng bài làm của học sinh rất thấp - Tiềm năng của học sinh về mơn tốn chưa được khai thác hết. 6 Phương pháp giải một số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong chương trình tốn THCS