SKKN Hướng dẫn học sinh giải một số dạng phương trình đưa được về phương trình bậc hai một ẩn số

Nội dung text: SKKN Hướng dẫn học sinh giải một số dạng phương trình đưa được về phương trình bậc hai một ẩn số

1. A. Đặt vấn đề. Để hình thành cho học sinh thói quen độc lập suy nghĩ , sáng tạo thông qua phương pháp học giải bài tập toán , giúp học sinh tự tìm được lời giải của bài toán dựa trên hệ thống những kiến thức đã học là việc làm thường xuyên ,liên tục và không đơn giản đối với một người giáo viên dậy toán .Học toán là học sự sáng tạo dựa trên nền tảng là những kiến thức cơ bản phổ thông của toán học, đây là vấn đề không phải dễ dàng đối với học sinh kể cả học sinh khá giỏi nhưng lại là điều hết sức cần thiết đối với mỗi học sinh. Qua thực tế giảng dậy tôi thấy các em học sinh phần lớn nắm được các kiến thức , kỹ năng cơ bản nhưng thường khó khăn trong việc phân loại bài tập , hệ thống hoá kiến thức . Các em còn lúng túng khi tìm phương pháp giải đối với mỗi dạng bài tập sao cho có hiệu quả nhất . Chính vì vậy tôi đã cố gắng dành nhiều thời gian nghiên cứu sách vở , học hỏi các đồng nghiệp có nhiều kinh nghiệm giảng dậy để từ đó đúc rút hình thành cho bản thân mình một phương pháp giảng dậy với mong muốn giúp học sinh phát huy được tốt nhất tiềm năng trong học toán , giúp các em có được cái nhìn tổng quát hơn về phương pháp giải một số dạng toán thường gặp. Trong bài viết nhỏ này tôi xin trao đổi một số kinh nghiêm về : “Hướng dẫn học sinh giải một số dạng phương trình đưa được về phương trình bậc hai một ẩn số “ sau khi học sinh được học về phương trình bậc hai một ẩn số và bài: Phương trình quy về phương trình bậc hai – Trong chương trình Đại số 9, chương III. B. Giải quyết vấn đề. I. Phương pháp nghiên cứu : 1. Với thầy: Thường xuyên tìm tòi tài liệu , sách tham khảo , các đề thi học sinh giỏi , các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Từ đó chọn lọc các bài tập phù hợp . Soạn viết các chuyên đề và đưa vào giảng dậy , đặc biệt là trong quá trình dậy bồi dưỡng học sinh.Trong giảng dậy tôi luôn chú trọng phương pháp lấy học sinh làm trung tâm của hoạt động dậy – học, giúp học sinh tích cực, tự giác tìm tòi tiếp thu kiến thức . Tiến hành khảo sát , đúc rút kinh nghiệm thường xuyên ở các lớp học ,các đội tuyển học sinh giỏi , qua đó hình thành phương pháp giải một số dạng phương trình quy về phương trình bậc hai cho học sinh. 2.Với trò. Học sinh được học nội dung của kinh nghiệm từ đó hình thành kỹ năng và phương pháp giải đối với từng dạng bài tập , có được khả năng tự nghiên cứu , tìm tòi trong các tài liệu tham khảo về các dạng phương trình có thể đưa được về phương trình bậc hai một ẩn số . Các em được làm các bài kiểm tra , giải các bài tập về phương trình có thể quy về phương trình bậc hai. 1
2. II.Các biện pháp đã thực hiện. 1.Kiến thức trọng tâm: Để thực hiện tốt việc hướng dẫn cho học sinh nhận dạng và giải một số phương trình có thể biến đổi về dạng phương trình bậc hai một ẩn số , đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức , kỹ năng có liên quan, đặc biệt là một số kiến thức của các phương trình dạng sau: 1.1-Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn số: Phương trình bậc hai một ẩn số là phương trình có dạng a.x2 +bx +c =0 trong đó x là ẩn số a,b,c là các hệ số đã cho ,a 0. 1.2-Công thức nghiệm của phương trình bậc hai: = b2-4ac. *Nếu = 0 Phương trình có nghiệm kép: x1=x2=-b/2a. b b * Nếu > 0 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1= ;x2= 2a 2a * Nếu 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt : x1= ;x2= a a Nếu , < 0: Phương trình vô nghiệm. 1.4-Hệ thức Viét: - Nếu phương trình bậc hai : a.x2 +bx +c =0 (a 0) a,b,c: hằng số có 2 nghiệm x1, x2 thì : Tổng hai nghiệm đó là: S = x1+x2 =-b/a Tích của hai nghiệm là: P = x1x2 = c/a. áp dụng : 2 - Nếu phương trình bậc hai : a.x +bx +c =0 (a 0) có một nghiệm x1=1 thì a+b+c = 0 và ngược lại nếu : a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm x1=1 và x2= c/a 2 - Nếu phương trình bậc hai : a.x +bx +c =0 (a 0) có một nghiệm x1=-1 thì a-b+c = 0 và ngược lại nếu : a-b+c = 0 thì phương trình có nghiệm x1=-1 và x2=- c/a. 1.5 –Phương trình tích: Phương trình tích( một ẩn) là phương trình có dạng: A(x).B(x) M(x)= 0 (1) Trong đó : A(x),B(x), ,M(x) là các đa thức của ẩn x. 2
3. (x+3)(x+2)-(x+1)(x-2)= x2-4x+24 x2 +5x+6- x2+x+2 = x2-4x+24 x2-10x+16 = 0 Giải phương trình trên có nghiệm : x1 = 8 ; x2 = 2 TXĐ. Vậy phương trình (2) có nghiệm : x= 8. x x 1 c. + +2 = 0 (3) TXĐ: x 0; x -1. x 1 x x 2 (x 1) 2 2x(x 1) + + = 0 x(x 1) x(x 1) x(x 1) x2 +(x+1)2 +2x(x+1) = 0 x2 + x2 +2x+1+2x2 +2x = 0 4 x2 +4x +1 = 0 (2x+1)2 = 0 2x+1 = 0 x = -1/2. Vậy phương trình có nghiệm : x = -1/2. 3. Khai thác bài toán Phương trình (3) ta có thể giải theo cách sau: x x 1 + +2 = 0 (3) TXĐ: x 0; x -1. x 1 x x Đặt = y (y 0) .Khi đó phương trình (3) có dạng: x 1 1 y+ +2 = 0 y y2 +2y+1 = 0 (y+1)2 = 0 y+1 = 0 y =- 1 TXĐ. x • Với y=-1 = -1 x 1 x=-x-1 -2x=1 x=-1/2 TXĐ. Vậy phương trình có nghiệm : x=-1/2 Dạng 2: Phương trình trùng phương. Ví dụ: Giải các phương trình sau: a. x4 –13x2 +36 = 0 (1) b. x4 –5x2 +6 = 0 1.Hướng dẫn cách tìm lời giải. Với phương trình trùng phương dạng : a x4 +bx2+c = 0 (1) (a 0) Ta có phương pháp giải như sau: 3
4. Phương trình (1) tương đương với : A(x) =0 B(x) =0 C(x)= 0 Lấy các nghiệm của phương trình trên ta được nghiệm của phương trình (1). 1.6- Phương trình chứa ẩn ở mẫu số: Yêu cầu học sinh nắm vững quá trình giải phương trình chứa ẩn ở mẫu số như sau: - Tìm tập xác định. - Quy đồng mẫu rồi khử mẫu . - Giải phương trình vừa tìm được. - Nghiệm của phương trình là các giá trị tìm được của ẩn thuộc tập xác định. 1.7- Phương trình trùng phương : a x4 +bx+c=0 (a 0) (1) Phương pháp giải : Đặt x2 =X; X 0. Phương trình (1) có dạng: a X2+bX+c = 0 (a 0) (2) Ta có = b2-4ac. *Nếu = 0 . Phương trình (2) có nghiệm kép: X1=X2=-b/2a, ta phải tìm nghiệm X thoả mãn X 0. b b * Nếu > 0 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: X1= ;X2= 2a 2a Ta tìm nghiệm X 0. * Nếu < 0 Phương trình (2) vô nghiệm nên phương trình (1) vô nghiệm. Với X 0 ta có x2 =X x = X là nghiệm của phương trình (1). 1.8 – Phương trình vô tỷ. - Đối với biểu thức chứa căn bậc hai cần đặc biệt lưu ý tới điều kiện tồn tại của căn thức bậc hai. - Yêu cầu học sinh nắm được phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỷ sau: Dạng 1 : f (x) = g(x) Dạng 2: f (x) + h(x) = g(x) Dạng 3. f (x) + h(x) = g(x) 1.9 – Phương trình có giá trị tuyệt đối A = B B 0 A2 = B2 Học sinh cần nắm vững và vận dụng thành thạo định nghĩa của giá trị tuyệt đối: A khi A 0 A = - A khi A<0 4
5. 1.10 – Phương trình giải bằng phương pháp dùng ẩn số phụ. 2. Hệ thống bài tập Với mục đích các bài tập áp dụng sau mỗi phần lý thuyết phải phù hợp với trình độ của học sinh và không làm mất tính tổng quát và tính liên tục , giúp học sinh có hứng thú say mê trong học toán tôi đã chọn một số bài tập được phân chia theo một số dạng sau: Dạng 1: Phương trình chứa ẩn ở mẫu. Ví dụ . Giải các phương trình sau: x 1 x 1 a. - =2 x x 1 x 3 x 1 x 2 4x 24 b. - = x 2 x 2 x 2 4 x x 1 c. + +2 = 0 x 1 x 1. Hướng dẫn học sinh cách tìm lời giải Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta chú ý quá trình giải như sau : - Tìm tập xác định. - Quy đồng mẫu rồi khử mẫu. - Giải phương trình vừa tìm được. - Nghiệm của phương trình là các giá trị tìm được của ẩn thuộc tập xác định . Các phương trình trên đều đưa được về phương trình bậc hai một ẩn số . Phương trình b ta chú ý : x2 - 4 = (x-2)(x+2) nên là mẫu chung. 2. Cách giải. x 1 x 1 a. - =2 (1) TXĐ : x 0, x 1 . x x 1 (x 1) x(x 1) 2x(x 1) - = x(x 1) x(x 1) x(x 1) (x-1)2 –x(x+1) = 2x(x-1) x2-2x+1- x2-x = 2x2-2x 2x2+x-1 = 0 Giải phương trình trên ta được nghiệm : x1= -1; x2= 1/2 thuộc tập xác định. Vậy phương trình có nghiệm : x1= -1; x2= 1/2. x 3 x 1 x 2 4x 24 b. - = (2) TXĐ: x 2 . x 2 x 2 x 2 4 (x 3)(x 2) (x 1)(x 2) x 2 4x 24 - = (x 2)(x 2) (x 2)(x 2) (x 2)(x 2) (x+3)(x+2)-(x+1)(x-2) = x2-4x +24 (x+3)(x+2)-(x+1)(x-2)= x2-4x+24 5
6. x2 +5x+6- x2+x+2 = x2-4x+24 x2-10x+16 = 0 Giải phương trình trên có nghiệm : x1 = 8 ; x2 = 2 TXĐ. Vậy phương trình (2) có nghiệm : x= 8. x x 1 c. + +2 = 0 (3) TXĐ: x 0; x -1. x 1 x x 2 (x 1) 2 2x(x 1) + + = 0 x(x 1) x(x 1) x(x 1) x2 +(x+1)2 +2x(x+1) = 0 x2 + x2 +2x+1+2x2 +2x = 0 4 x2 +4x +1 = 0 (2x+1)2 = 0 2x+1 = 0 x = -1/2. Vậy phương trình có nghiệm : x = -1/2. 3. Khai thác bài toán Phương trình (3) ta có thể giải theo cách sau: x x 1 + +2 = 0 (3) TXĐ: x 0; x -1. x 1 x x Đặt = y (y 0) .Khi đó phương trình (3) có dạng: x 1 1 y+ +2 = 0 y y2 +2y+1 = 0 (y+1)2 = 0 y+1 = 0 y =- 1 TXĐ. x • Với y=-1 = -1 x 1 x=-x-1 -2x=1 x=-1/2 TXĐ. Vậy phương trình có nghiệm : x=-1/2 Dạng 2: Phương trình trùng phương. Ví dụ: Giải các phương trình sau: a. x4 –13x2 +36 = 0 (1) c. x4 –5x2 +6 = 0 1.Hướng dẫn cách tìm lời giải. Với phương trình trùng phương dạng : a x4 +bx2+c = 0 (1) (a 0) Ta có phương pháp giải như sau: Đặt y = x2 y 0 . 6
7. Phương trình (1) có dạng : ay2+by +c = 0 (2) giải phương trình (2) chọn y 0 , giải phương trình y= x2 từ đó suy ra nghiệm của phương trình (1) . 2.Cách giải a. Đặt y = x2 y 0 phương trình (1) có dạng : y2-13y +36 = 0 Giải phương trình này ta có 2 nghiệm : y1= 9; y2= 4. • Với y = 4 x2 =4 (x-2)(x+2) = 0 x-2 = 0 x+2 = 0 x=2 x=-2 • Với y = 9 x2 = 9 (x-3)(x+3) = 0 x-3 = 0 x+3 = 0 x=3 x=-3 Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm : x1=-2 ; x2=-3; x3 =2; x4 =3. b. x4 –5x2 +6 = 0 (2) Đặt y = x2 y 0 phương trình (2) có dạng : y2-5y +6 = 0 Giải phương trình này ta được 2 nghiệm : y1= 3; y2= 2. • Với y =3 x2 =3 Phương trình này có 2 nghiệm : x1= 3 ; x2= - 3 • Với y = 2 x2 =2 Phương trình này có 2 nghiệm : x1= 2 ; x2= - 2 Vậy phương trình có 4 nghiệm: x1= 3 ; x2= - 3 ; x3= 2 ; x4 = - 2 . 3. Khai thác bài toán. 3.1. Phương trình : x4 –13x2 +36 = 0 có các cách giải khác như sau: x4 –13x2 +36 = 0 (1) ( x4 –12x2 +36) –x2 = 0 (x2 –6)2 –x2 = 0 (x2 –6 –x)( x2 – 6 +x) = 0 x2 –6 –x = 0 x2 – 6 +x = 0 Giải phương trình : x2 –6 –x = 0 ta được 2 nghiệm: x=-2; x= 3. 7