SKKN Giải pháp thực hiện phép nhân, chia đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó

Nội dung text: SKKN Giải pháp thực hiện phép nhân, chia đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó

1. Phần thứ nhất Đặt vấn đề 1.1. Lý do chọn sáng kiến. Trong trường THCS việc nâng cao chất lượng dạy và học là vấn đề thường xuyên, liên tục và cực kỳ quan trọng. Để chất lượng học sinh ngày càng được nâng cao yêu cầu người giáo viên phải có một phương pháp giảng dạy phù hợp và hệ thống bài tập đa dạng, phong phú đối với mọi đối tượng học sinh. Qua thời gian dạy lớp 8, tôi thấy khi giảng dạy Chương I phép nhân và phép chia các đa thức, và phân tích đa thức thành nhân tử học sinh thường làm sai đáp số .đối với học sinh lớp 8 đều cần phải thực hiện thành thạo phép nhân chia đa thức và biến đổi đa thức thành nhân tử. Chính vì vậy người giáo viên khi dạy học sinh học toán phải cung cấp cho các em một cách hệ thống các phương pháp thực hiện nhanh các phép toán nhân chia đơn thức đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử vì nó là công cụ giải toán rất hữu hiệu, giải quyết hầu hết các dạng toán trong chương I môn Đại số lớp 8. Các vấn đề trong sáng kiến đều được lựa chọn để mọi đối tượng học sinh đều có thể tiếp thu được. Ngoài ra trong sáng kiến một số vấn đề khó được diễn đạt một cách đơn giản, dễ hiểu, các lời giải, trình bày ngắn gọn để vừa tăng lượng thông tin trong khuôn khổ có hạn của sáng kiến, vừa dành lại phần độc lập nghiên cứu cho học sinh, đồng thời nêu bật những khâu mấu chốt của lời giải. Xuất phát từ yêu cầu và mong ước trên, tôi đã chọn sáng kiến: “ Giải pháp thực hiện phép nhân, chia đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó”. 1.2. Mục đích của sáng kiến: - Trang bị cho học sinh lớp 8 một cách có hệ thống các phương pháp thực hiện phép nhân, phép chia các đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp học sinh có khả năng vận dung tốt dạng toán này. 1
2. - Học sinh có khả năng thực hiện thành thạo các phép tính nhân chia các đa thức. - Học sinh có khả năng phân tích thành thạo một đa thức. - Phát huy khả năng suy luận, phán đoán và tính linh hoạt của học sinh. - Thấy được vai trò của việc thực hiện các phép tính nhân, chia các đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán để từ đó giáo dục ý thức học tập của học sinh. 1.3. Phương pháp nghiên cứu chủ yếu: Với sáng kiến này tôi đã thực hiện trong nhiều năm qua. Bản thân đã nghiên cứu và hệ thống các kiến thức cơ bản về thực hiện các phép tính nhân, chia các đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử. Cụ thể là các tài liệu rất thiết thực đối với học sinh THCS: - Sách giáo khoa lớp 7, 8. - Sách giáo viên lớp 7, 8. - Sách bồi dưỡng thường xuyên và các tài liệu tham khảo cho học sinh, giáo viên. 2
3. Phần thứ hai Nội dung 2.1. Phép nhân và phép chia các đa thức 2.1.1. Nhân đơn thức với đa thức: Khi thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức mà đơn thức mang dấu âm học sinh khi thực hiện thường lúng túng và thực hiện sai kết quả 3 2 1 Ví dụ: 2x . x 5x 2 Để học sinh thực hiện được nhanh và chính xác kết quả của bài toán trước khi dạy bài này cho học ôn tập lại phép nhân đơn thức với đơn thức đã học ở lớp 7 Gọi 3 học sinh: Học sinh 1 thực hiện phép tính 2x3 .x2 2x5 Học sinh 2 thực hiện phép tính 2x3 .5x 10x4 3 1 3 Học sinh 3 thực hiện phép tính 2x . x . 2 Yêu cầu học sinh lên bảng điền vào chỗ trống , kết quả khi điền giáo viên đưa cho học sinh phấn màu để làm nổi bật kết quả nhận được qua đó rút ra kết luận kết quả của phép nhân đơn thức 2x3 và đa thức 2 1 x 5x được kết quả là phần phép nối kết quả của 3 học sinh vừa thực 2 hiện là 2x5 10x4 x3 Từ kết quả trên gọi 1 học sinh đưa ra quy tắc nhân đơn thức với đa thức nhằm giúp học sinh khắc sâu quy trình khi thực hiện nhân đơn thức với đa thức. 2.1.2. Nhân đa thức với đa thức. Sau khi học sinh đã thực hiện thành thạo phép nhân đơn thức học sinh có thể dễ dàng thực hiện phép nhân đa thức với đa thức. 2 1 Ví dụ: x 2 . 6x 5x . 2 3
4. 2 1 Gọi 2 học sinh : Học sinh 1 thực hiện phép tính x. 6x 5x 2 2 1 Học sinh 2 thực hiện phép tính 2. 6x 5x 2 1 Kết quả của học sinh 1là : 6x3 5x2 x 2 Kết quả của học sinh 2 là: -12x2 + 10x - 1. 1 GV ghép nối 2 kết quả trên được : 6x3 5x2 x -12x2 + 10x - 1. 2 Yêu càu học sinh thu gọn các hạng tử đồng dạng sau khi thu gọn GV kết 2 1 luận đó chính là kết quả phép nhân đa thức x 2 với đa thức 6x 5x 2 2.2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Phân tích đa thức thành nhân tử ( hay thừa số) là biến đổi thành tíc của những đa thức bậc nhỏ hơn. Ví dụ: x3 + y3 = ( x + y) (x2 + xy + y2) Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp. 2.2.1.Phương pháp 1 : Đặt nhân tử chung ( thừa số). * Các ví dụ: phân tích đa thức thành nhân tử. a. 12x2y – 18y3. b. 3x2( y -2z) - 15x(y – 2z)2. Giải a. Các hạng tử có nhân tử chung là 6y, do đó: 12x2y – 18y3 = 6y.2x2 – 6y.3y2 = 6y( 2x2 -3y2). b. Cacs hạng tử có nhân tử chung là: 3x( y- 2z). Do đó ta có: 3x2( y -2z) - 15x(y – 2z)2 = 3x(y-2z) [x- 5(y-2z) ]. = 3(y – 2zx- 5y +10z). * Chú ý: Nhiều khi cần đổi dấu để làm xuất hiện nhân tử chung. Chẳng hạn đa thức: 2x2 ( 3y –z) + ( z- 3y)( x + y). Có thể viết: 2x2 ( 3y –z) - (3y - z)( x + y) và xuất hiện nhân tử chung là (3y –z). 4
5. 2.2.2.Phương pháp 2: Phương pháp dùng hằng đẳng thức. * Các ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử. a. 4x2 -12x +9. c. 16x2 – 9( x +y)2. b. 27 –27x +9x2 –x3. d. 1 – 27x3y6. Giải a. 4x2 -12x +9 = ( 2x)2 – 2.2x.3 + 32 = ( 2x – 3)2. b. 27 –27x +9x2 –x3 = 33 – 3.32.x +3.3.x2 – x3 = ( 3 – x)3. c. 16x2 – 9( x +y)2 = ( 4x)2 - [ 3( x+y) ]2 = ( x-3y)( 7x +y). d. 1 – 27x3y6 = 13 – (3xy2)3 = ( 1- 3xy2)(1+ 3xy2 + 9x2y4). * Chú ý. Đôi khi phải đổi dấu mới áp dụng được hằng đẳng thức, chẳng hạn: -x4y2 – 8x2y – 16 = -( x4y2 + 8x2y +16) = - ( x2 y + 4)2. 2.2.3.Phương pháp 3: Phương pháp nhóm nhiều hạng tử . * Dạng tam thức bậc hai. V í d ụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – 6x + 8. Giải Đa thức trên không có thừa số chung, cũng không có dạng của một hằng đẳng thức đáng nhớ và cùng không thể nhóm hạng tử. Ta biến đổi đa thức ấy thành đa thức có nhiều hạng tử hơn bằng cách tách một hạng tử thành 2 hay nhiều hạng tử. Cách 1. x2 – 6x + 8 = x2 – 2x - 4x2 + 8. = x( x - 2) - 4( x-2) = ( x - 2)( x - 4). Cách 2. x2 – 6x + 8 = x2 – 6x + 9 - 1 = ( x - 3)2 - 1. = ( x - 2)( x - 4). Cách 3. x2 – 6x + 8 = x2 – 4x + 4 - 2x +4. = ( x - 2)2 – 2( x - 2 ). = ( x - 2) ( x - 4). Cách 4 . x2 – 6x + 8 = x2 –4 - 6x + 12. 5
6. = ( x - 2)( x + 2) – 6( x - 2). = ( x - 2) ( x-4). Cách 5 . x2 – 6x + 8 = x2 –16 - 6x + 24. = ( x - 4)( x+ 4) – 6( x - 4). = ( x - 2) ( x- 4). Cách 6 . x2 – 6x + 8 = 3x2 - 6x + 2x2 + 8. = 3x( x - 2) – 2( x - 2)( x + 2) . = ( x - 2) ( x- 4). Nhận xét: Trong các cách giải trên, cách 1 là đơn giản nhất và dễ làm nhất. Ở đây ta đã tách số hạng bậc nhất -6x thành 2 số hạng -2x và -4x. Trong đa thức x 2 – 2x - 4x2 + 8 bằng hệ số của các số hạng là: 1; -2; -4; 8 các hệ số thứ hai và thứ tư đều gấp -2 lần hệ số liền trước nó, nhờ đó xuất hiện nhân tử chung ( x – 2). Một cách tổng quát để phân tích đa thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân b1 c tử và tách hạng tử bx thành b1x + b2x sao cho , tức là b1.b2 = a.c. a b2 Trong thực hành ta làm như sau: Bước 1: tìm tích a.c Bước 2: phân tích ac thành tích của hai thừa số, hai thừa số này cùng dấu nhau (vì tích của chúng bằng 8) và cùng âm ( vì tổng của chúng bằng -6). Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 9x2 + 6x - 8. Giải cách 1. tách hạng tử thứ hai. 9x2 + 6x – 8 = 9x2 - 6x + 12x - 8. = 3x( 3x – 2) + 4( 3x – 2). = ( 3x – 2)( 3x + 4) Chú ý: hệ số 6 được tách thành -6 và 12 vì tích của ac = 9.(-8) = 72. Cách 2. Tách hạng tử thứ ba. 9x2 + 6x – 8 = 9x2 + 6x + 1 - 9. = ( 3x + 1)2 – 33. 6
7. = ( 3x – 2)( 3x + 4) Nhận xét. Qua 2 ví dụ trên ta thấy việc tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác nhau thường nhằm mục đích: - Làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ, nhờ đó mà xuất hiện nhâ tử chung ( cách 1). - Làm xuất hiện hiệu của hai bình phương ( cách 2). Chú ý: a. Đa thức dạng ax 2 + bxy + cy2 khi phân tích cách làm tương tự đa thức bậc hai một biến. Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 4x2 – 7xy + 3y2. Giải Cách 1: 4x2 – 7xy + 3y2 = 4x2 – 4xy – 3xy + 3y2 = 4x(x - y)- 3y(x - y) = ( x - y)(4x-3y) Cách 2: 4x2 – 7xy + 3y2 = 4x2 – 8xy + xy + 4y2 – y2 = 4(( x- y)2 + y(x - y) = ( x - y)(4x - 3y) b. Đa thức bậc hai ax2 + bx + c không phân tích thành tích các nhân tử trong phạm vi số hữu tỷ, nếu theo cách 1 khi phân tích a.c ra tích 2 thừa số nguyên bằng mọi cách không có hai thừa số nào có tổng bằng b, hoặc theo cách hai sau khi đưa ra đa thức bậc hai về dạng a(x2 – k) thì k không phải là bình phương của một số hữu tỷ. Chẳng hạn đa thức x2 + 4x + 6 có tích a.c = 6 = 1.6= 2.3 , nhưng không có hai thừa số nào có tổng bằng 4. Còn theo cách hai thì: x2 + 4x + 6 = x2 + 4x + 4 + 2 = ( x+2)2 – (-2); -2 không là bình phường của số hữu tỷ nào. Vậy đa thức x 2 + 4x + 6 không phân tích thành tích được. 2.3. Đa thức bậc ba trở lên. Để tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ ta thường dùng cách tìm nghiệm của đa thức. 7
8. 2.3.1. Nhắc lại một số kiến thức về nghiệm của đa thức. * Định nghĩa nghiệm của đa thức. Số a được gọi là nghiệm của đa thức f(x) = 0, như vậy nếu đa thức f(x) có nghiệm x = 0 thì nó chứa thừa số x-a. Khi xét nghiệm của đa thức ta cần nhớ các định lý sau: * Định lí 1: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì là một nghiệm của đa thức . * Định lí 2: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các số hạng bậc lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức . * Định lí 3: nếu đa thức f(x) với các hệ số nguyên có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó sẽ là ước của hệ số tự do. Chú ý: để nhanh chióng loại trừ các nghiệm của hệ số tự do, không là nghiệm của đa thức có thể dùng nhận xét sau: a là nghiệm nguyên của đa thức f(x) và f(1), f(-1) khác 0 thì f (1) và a 1 f ( 1) đều là số nguyên. a 1 Ví dụ : f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x – 18. Có các ước của 18 là: 1; 6; 9; 18 2; 3 f(1) = -18. f(1) = -44. Hiển nhiên 1 không là nghiệm của f(x) . 18 18 18 18 Ta thấy ; ; ; không nguyên nên 3; 9; 18 không là ( 3 1) 6 1 9 1 18 1 nghiệm của f(x) ; 44 không nguyên nên 2 không phải là nghiệm của f(x). (2 1) Chỉ còn -2 và 3 kiểm tra thấy 3 là nghiệm của f(x). * Định lí 4: Đa thức f(x) với các hệ số nguyên nếu có nghiệm hữu tỷ x=p/q thì p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất . 2.3.2.Các ví dụ. Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 – 5x2 + 8x – 4. Ta thấy đa thức đã cho có tổng các hệ số là 1 -5 + 8 – 4 = 0, nên là 1 nghiệm của đa thức . Đa thức đã cho chứa thừa số là x-1; ta tách các hạng tử như sau: 8