SKKN Áp dụng định Vi-ét giải bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một hoặc hai số thực

Nội dung text: SKKN Áp dụng định Vi-ét giải bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một hoặc hai số thực

1. TR ƯỜNG THPT PH ẠM NG Ũ LÃO. GV: Ph¹m TrÞnh C−¬ng ChÝnh SÁNG KI ẾN KINH NGHI ỆM 5/2011
2. TR ƯỜNG THPT PH ẠM NG Ũ LÃO. GV: Ph¹m TrÞnh C−¬ng ChÝnh SÁNG KI ẾN KINH NGHI ỆM 5/2011
3. TR ƯỜNG THPT PH ẠM NG Ũ LÃO. GV: Ph¹m TrÞnh C−¬ng ChÝnh MỞ ĐẦ U I. LÝ DO CH ỌN ĐỀ TÀI Hi ện nay trong ch ươ ng trình Toán THPT phân ban c ủa B ộ GD & ĐT không đưa vào n ội dung đị nh lý đả o v ề d ấu của tam th ức b ậc hai, trong khi đó m ột s ố bài t ập so sánh nghi ệm c ủa ph ươ ng trình b ậc hai v ới m ột ho ặc hai s ố th ực trong ch ươ ng trình Toán THPT v ẫn th ường được s ử d ụng b ằng ph ươ ng pháp này gây ra khó kh ăn cho giáo viên gi ảng d ạy và h ọc sinh gi ải các bài t ập này. Trong khi ph ươ ng pháp “Áp dụng đị nh Vi - ét gi ải bài toán so sánh nghi ệm c ủa ph ươ ng trình b ậc hai v ới một ho ặc hai s ố th ực ” lại t ỏ ra h ữu ích v ới các lo ại bài này vì công n ăng đa d ạng và đơ n gi ản trong t ư duy c ủa h ọc sinh. II. M ỤC ĐÍCH NGHIÊN C ỨU Đư a ra m ột s ố các d ạng toán c ơ b ản có th ể s ử d ụng ph ươ ng pháp “Áp d ụng định Vi - ét gi ải bài toán so sánh nghi ệm c ủa ph ươ ng trình b ậc hai v ới m ột ho ặc hai s ố th ực ” để gi ải quy ết, góp ph ần nâng cao n ăng l ực gi ải toán c ủa h ọc sinh THPT. III. ĐỐI T ƯỢNG NGHIÊN C ỨU H ọc sinh kh ối 10,11 &12- THPT PH ẠM NG Ũ LÃO t ừ n ăm 2007 đến 2011. IV. PH ƯƠ NG PHÁP NGHIÊN C ỨU Để th ực hi ện nghiên c ứu c ần th ực hi ện ph ối h ợp linh ho ạt các ph ươ ng pháp nghiên c ứu. 1. Nghiên c ứu lý lu ận Phân tích ch ươ ng trình môn toán SGK 10. Nghiên c ứu v ề kỹ n ăng s ử d ụng ph ươ ng pháp “Áp d ụng đị nh Vi - ét gi ải bài toán so sánh nghi ệm c ủa ph ươ ng trình b ậc hai v ới m ột ho ặc hai s ố th ực ” trong các tài li ệu lý lu ận, sách tham kh ảo. 2. Th ực nghi ệm và rút kinh nghi ệm Thông qua d ự gi ờ th ăm l ớp, trao đổ i kinh nghi ệm gi ảng d ạy, v ới các b ạn đồ ng nghi ệp, trao đổ i và sát h ạch h ọc sinh b ằng các bài ki ểm tra. T ừ đó rút ra kinh nghi ệm gi ảng d ạy. V.C ẤU TRÚC SÁNG KI ẾN KINH NGHI ỆM Mở đầ u Ti ềm n ăng và th ực ti ễn c ủa vi ệc rèn luy ện k ỹ n ăng s ử d ụng phươ ng pháp “Áp d ụng đị nh Vi - ét gi ải bài toán so sánh nghi ệm c ủa ph ươ ng trình b ậc hai với m ột ho ặc hai s ố th ực ” cho h ọc sinh THPT. Định h ướng và bi ện pháp rèn luy ện k ỹ n ăng s ử d ụng phươ ng pháp “Áp dụng đị nh Vi - ét gi ải bài toán so sánh nghi ệm c ủa ph ươ ng trình b ậc hai v ới một ho ặc hai s ố th ực ” cho h ọc sinh THPT. Tài li ệu tham kh ảo. NỘI DUNG NGHIÊN C ỨU I. Ti ềm n ăng c ủa phươ ng pháp “Áp d ụng đị nh Vi - ét gi ải bài toán so sánh nghi ệm c ủa ph ươ ng trình b ậc hai v ới m ột ho ặc hai s ố th ực ” “Áp d ụng định Vi - ét gi ải bài toán so sánh nghi ệm c ủa ph ươ ng trình b ậc hai với m ột ho ặc hai s ố th ực ” là ph ươ ng pháp sử d ụng m ối liên h ệ gi ữa các nghi ệm SÁNG KI ẾN KINH NGHI ỆM 5/2011
4. TR ƯỜNG THPT PH ẠM NG Ũ LÃO. GV: Ph¹m TrÞnh C−¬ng ChÝnh của ph ươ ng trình b ậc hai thông qua định lí Vi-ét để gi ải các bài toán so sánh nghi ệm của ph ươ ng trình b ậc hai v ới m ột ho ặc hai s ố th ực. Trong khuôn kh ổ sáng ki ến kinh nghi ệm c ủa mình tôi xin đư a ra m ột s ố d ạng bài có th ể gi ải được b ằng ph ươ ng pháp “Áp d ụng đị nh Vi - ét gi ải bài toán so sánh nghi ệm c ủa ph ươ ng trình b ậc hai v ới m ột ho ặc hai s ố th ực ” So sánh hai nghi ệm c ủa ph ươ ng trình b ậc hai v ới m ột s ố th ực α . So sánh hai nghi ệm c ủa ph ươ ng trình b ậc hai v ới hai s ố th ực α và β . So sánh các nghi ệm c ủa ph ươ ng trình b ậc ba v ới s ố th ực α . Tìm điều ki ện của tham s ố để hàm s ố có c ực tr ị th ỏa mãn điều ki ện cho tr ước. Tìm điều ki ện c ủa tham s ố để hai đồ th ị hàm s ố c ắt nhau t ại n điểm (n = 2 ho ặc n = 3) th ảo mãn điều ki ện cho tr ước. 1. Bài toán so sánh nghi ệm c ủa phươ ng trình b ậc hai f(x) ≡≡≡ ax 2 + bx +c = 0 (*) với m ột s ố th ực ααα Ki ến th ức c ơ b ản: a>0  a 0 a+b>0 b 0 ab>0 a   b0  ab . 0  b>0 Điều ki ện để s ố α n ằm gi ữa hai nghi ệm c ủa (*) là: x −α > 0  1  −α x2 0 Điều ki ện để s ố α nh ỏ h ơn hai nghi ệm c ủa (*) là: −α > ( −α) +( − α ) > + > α x 0  x1 x 2 0 x x 2 1 ⇔  ⇔  1 2 −α > ()()−α − α > −α + + α 2 > x2 0  x1. x 2 0 xx12( x 1 x 2 ) 0 Điều ki ện để s ố α l ớn h ơn hai nghi ệm c ủa (*) là: −α −α + + α 2 > x2 0  x1. x 2 0 xx12( x 1 x 2 ) 0 Điều ki ện để có đúng 1 nghi ệm c ủa (*) nh ỏ h ơn α là: TH1: a = 0. SÁNG KI ẾN KINH NGHI ỆM 5/2011
5. TR ƯỜNG THPT PH ẠM NG Ũ LÃO. GV: Ph¹m TrÞnh C−¬ng ChÝnh TH2: a ≠≠≠ 0  f (α )= 0  f (α )= 0   x+ x 0 xx−α( x + x ) + α > 0  α  1 2  12 1 2 x1 0  xx−α( x + x ) + α > 0  2α + > α  1 2 x1 x 2 2 α =x  + > α   x1 x 2 0 x1 x 2 2 ⇔ 0  xx−α( x + x ) + α > 0  <α <  1 2  12 1 2 x1 x 2   ()()−α − α < −α + + α 2 < x1. x 2 0 xx12( x 1 x 2 ) 0     Điều ki ện để (*) có đúng 1 nghi ệm l ớn h ơn α là: SÁNG KI ẾN KINH NGHI ỆM 5/2011
6. TR ƯỜNG THPT PH ẠM NG Ũ LÃO. GV: Ph¹m TrÞnh C−¬ng ChÝnh TH1: a = 0. TH2: a ≠≠≠ 0  f (α )= 0  f (α )= 0   x+ x > 2α + > α  1 2 x1 x 2 2  α = ⇔ αα +> α  xx12 x 1 x 20  xx 12 2   x −α + + α 2 >  1 2  x1. x 2 0 xx12( x 1 x 2 ) 0   ()()−α − α ( −) +( −) > +> x2 0 x12 x 2 2 0  x x 4 ⇔1 ⇔  ⇔  1 2 −>()()− − > −++> x2 20 x12. x 2 2 0  xxxx12 2()40 1 2 Trình bày: Ph ươ ng trình (*) có hai nghi ệm m+≠10  m ≠− 1  −≤≤ 21 m ⇔ ⇔  ⇔  (1) ∆≥' 0  (mmm −+ 1)( 2)( +≥ 3) 0  m ≤− 3 −  + = 2(m 1) x1 x 2  m+1  (2) Khi đó, theo định lý Vi-ét (*) có hai nghi ệm x 1, x 2 th ỏa mãn: m2 +4 m − 5 x x =  1 2 m+1 Mặt khác, theo bài ra thì hai nghi ệm c ủa ph ươ ng trình l ớn h ơn 2 SÁNG KI ẾN KINH NGHI ỆM 5/2011
7. TR ƯỜNG THPT PH ẠM NG Ũ LÃO. GV: Ph¹m TrÞnh C−¬ng ChÝnh x−>2 0( x−2) +( x − 2) > 0  x +> x 4 1 ⇔ 1 2 ⇔  1 2 ⇔ −>()()− − > −++> (3) x2 20 x12. x 2 2 0  xxxx12 2()40 1 2 Thay (2) vào (3) ta được: − − − 2(m 1)  m 3 >  > 4  0 m+1  m+1 ⇔  ⇔− 0  > 0 m+1 m + 1  m+1 K ết h ợp, (1) và (4) ta được: -2 ≤ m −++> x2 10 x11. x 2 1 0  xxxx12 ()10 1 2 Trình bày: Ph ươ ng trình (*) có hai nghi ệm m+≠10  m ≠− 1  −≤≤ 21 m ⇔ ⇔  ⇔  (1) ∆≥' 0  (mmm −+ 1)( 2)( +≥ 3) 0  m ≤− 3 −  + = 2(m 1) x1 x 2  m+1  (2) Khi đó, theo định lý Vi-ét (*) có hai nghi ệm x 1, x 2 th ỏa mãn: m2 +4 m − 5 x x =  1 2 m+1 Mặt khác, theo bài ra thì hai nghi ệm c ủa ph ươ ng trình l ớn h ơn 2 − −++> (3) x2 10 x11. x 2 1 0  xxxx12 ()10 1 2 Thay (2) vào (3) ta được: 2(m− 1)  − 2  0 m+1  m + 1 −3 + 17 ⇔  ⇔− 1 0  > 0 m+1 m + 1  m + 1 −3 + 17 K ết h ợp, (1) và (4) ta được: −1 <m < . 2 −3 + 17 V ậy v ới −1 <m < thì ph ươ ng trình (*) có hai nghi ệm nh ỏ h ơn 1. 2 Ví d ụ 1.2: Cho ph ươ ng trình f(x) = (m+2)x2 - 2mx -1 = 0(1) . Hãy tìm m để ph ươ ng trình (1) có nghi ệm nh ỏ h ơn 1? SÁNG KI ẾN KINH NGHI ỆM 5/2011
8. TR ƯỜNG THPT PH ẠM NG Ũ LÃO. GV: Ph¹m TrÞnh C−¬ng ChÝnh G: Phân tích: Phươ ng trình bậc 2 có nghi ệm nh ỏ h ơn 1 ngh ĩa là có th ể x ảy ra 3 0, ∀m ∈ R nên (1) luôn có 2 nghi ệm phân bi ệt  + = 2m x1 x 2  m+2  (2) x1, x 2 . Theo định lí vi - ét ta có: −1 . x x =  1 2 m+2 M ặt khác, theo bài ra thì ph ươ ng trình (1) có nghi ệm nh ỏ h ơn 1  f (1)= 0  f (1)= 0   + 0  xx−1( x + x ) +> 1 0  −  2m m 2  − 2 ⇔m 2 ⇔ ⇔≠−   m 2  −12m − 0 m+2 m + 2   m >1  −1 2 m   − +1 < 0 m< − 2 m+2 m + 2  V ậy v ới mọi giá tr ị c ủa m thì ph ươ ng trình (1) đều có nghi ệm nh ỏ h ơn 1. SÁNG KI ẾN KINH NGHI ỆM 5/2011