SKKN Áp dụng bất đẳng thức phụ để tìm GTNN, GTLN và chứng minh bất đẳng thức - Đỗ Tất Thắng

Nội dung text: SKKN Áp dụng bất đẳng thức phụ để tìm GTNN, GTLN và chứng minh bất đẳng thức - Đỗ Tất Thắng

1. Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị Trường THPT Ngô Quyền Mã số: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ ĐỂ TÌM GTNN, GTLN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Người thực hiện: ĐỖ TẤT THẮNG. Lĩnh vực nghiên cứu: Quản lý giáo dục  Phương pháp dạy học bộ môn: TOÁN  Phương pháp giáo dục  Lĩnh vực khác:  Có đính kèm:  Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác Năm học: 2011-2012 - 0 -
2. Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN 1. Họ và tên: ĐỖ TẤT THẮNG 2. Ngày tháng năm sinh: 06/09/1981 3. Nam, nữ: Nam 4. Địa chỉ: 149/7 Khu phố 2 phường Trung Dũng, BH-Đồng Nai. 5. Điện thoại: 0918.306.113 6. E-mail: thangtatdo@yahoo.com 7. Chức vụ: Gíao viên Toán 8. Đơn vị công tác: Trường THPT Ngô Quyền II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Thạc sĩ Toán - Năm nhận bằng: 2010 - Chuyên ngành đào tạo: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán. - 1 -
3. Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ ĐỂ TÌM GTNN, GTLN VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI - Ngày nay, bất đẳng thức(BĐT) được đề cập đến nhiều hơn trong chương trình do tầm quan trọng và cách giải độc đáo của chúng. BĐT là kiến thức không thể thiếu trong các kì thi đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi. BĐT áp dụng rất nhiều trong trong cuộc sống nói chung và toán học nói riêng chẳng hạn: giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình, các bài toán cực trị . . . - Đa số học sinh khi gặp BĐT thường hay lúng túng, không biết nên xuất phát từ đâu? Phương pháp giải như thế nào? Với vai trò là giáo viên dạy môn Toán, tôi muốn học sinh lớp 10 được tiếp cận một số đề thi cao đẳng, đại học, bài BĐT hay từ những kiến thức bình thường, dễ hiểu nhất. - Áp dụng bất đẳng thức phụ để tìm GTLN, GTNN và chứng minh các BĐT là một trong các phương pháp đơn giản, dễ hiểu hơn so với đa số các phương pháp khác, phù hợp với học sinh lớp 10. II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI Qua thực tế dạy học và từ ghi nhận trên chúng tôi nhận thấy trong chương trình lớp 10 phần BĐT, số bài tập trong sách giáo khoa hạn chế và thời lượng dành cho nó rất ít. Do đó, tôi mạnh dạn làm SKKN này với mong muốn là một tài liệu nhỏ giúp học sinh đỡ khó khăn hơn khi gặp một số bài BĐT có dạng trên. III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI A) Sử dụng bất đẳng thức phụ chứng minh bất đẳng thức Bất đẳng thức phụ: Cho 2 số dương a, b ta có: 1 1 1 1 1 1 4 Hay  a b4 a b a b a b Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b Khi gặp một số bài toán BĐT mà ta áp dụng được BĐT phụ, lời giải sẽ trở nên ngắn gọn, dễ hiểu hơn so với các cách làm khác. Để khách quan hơn chúng ta cùng xét bài toán sau: - 2 -
4. Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai Ví dụ 1. Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 1. 1 1 16 Chứng minh rằng: ac bc Lời giải 1: (Không dùng BĐT phụ) Áp dụng BĐT Bunnhiacốpski ta được 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ac bc ac. bc 4 ac bc ac bc 1 1 4 4 4 ac bc acbc ( abc ) (1 cc ) 4 Ta sẽ chứng minh rằng 16 (1 c ) c 4 16(1 c ) c 4(2c 1)2 0 (đpcm) 1 1 16 Vậy ac bc . 1 a b 4 Đẳng thức xẩy ra 1 c 2 Lời giải 2: (Áp dụng BĐT phụ) 1 1 1 1 1 4 4 16 Áp dụng BĐT  ta có: ac bc c a b c() a b 2 . c a b 2 1 1 c, a b Đẳng thức xảy ra 2 4 . Bảng so sánh các ưu, nhược điểm của Lời giải 1 và Lời giải 2: Khó khăn hay thuận Kiến thức sử dụng Phạm vi kiến thức lợi đối với HS 10 Ngoài chương trình BĐT Bunnhiacốpski SGK phổ thông. LG1 Biến đổi tương đương Lớp 10 Khó khăn Hàng đẳng thức đáng Lớp 8 nhớ LG2 BĐT phụ Lớp 8,9,10 Thuận lợi - 3 -
5. Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai Qua bảng so sánh trên ta thấy : + Áp dụng LG1 phải dùng tới các kiến thức ngoài chương trình(BĐT Bunnhiacốpski), lời giải khá dài dòng, do đó gây khó hiểu đối với đối với HS lớp 10. + Áp dụng LG2 chỉ dùng BĐT phụ trong chương trình, lời giải ngắn gọn, do đó rất dễ hiểu đối với đối với HS lớp 10. Từ BĐT phụ trên chúng ta cũng có thể chứng minh được các bài toán BĐT khó hơn . Sau đây là một số ví dụ minh họa. 1 1 1 1 1 1 1 Ví dụ 2. Cho ba số dương a, b, c, ta có: ( ) a b b c c a 2 a b c Lời giải: Áp dụng BĐT ta có 1 1 1 1 (1) a b4 a b 1 1 1 1 (2) b c4 b c 1 1 1 1 (3) c a4 c a 1 1 1 1 1 1 1 Cộng (1)+(2)+(3) ta được ( ) (đpcm) a b b c c a 2 a b c Đẳng thức xẩy ra a b c Ví dụ 3. Với a, b, c là các số dương Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 ( ) a 2b c b 2c a c 2a b 4 a b c Lời giải: Áp dụng BĐT ta có 1 1 11 1 1111111 1121 ()()() abcabbc 2 4 abbc 4 4 ab 4 bc 16 abc 1 1 1 2 1 (1) a 2 b c 16 a b c 1 1 1 1 2 tương tự: (2) b 2 c a 16 a b c 1 1 2 1 1 (3) c 2 a b 16 a b c 1 1 1 1 1 1 1 Cộng (1)+(2)+(3) ta được: ( ) (đpcm) a 2b c b 2c a c 2a b 4 a b c - 4 -
6. Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a=b=c. Nhận xét: 1 1 1 + Trong Ví dụ 3 cho 4 và đổi biến a,b,c lần lượt thành x,y,z thì bài toán trở a b c thành đề thi đại học năm 2005 khối A. 1 1 1 Cho x,, y z là các số dương thỏa mãn 4 . Chứng minh rằng: x y z 1 1 1 1 2x y z x 2 y z x y 2 z 1 1 1 1 1 1 + Cho ba số dương a, b, c theo Ví dụ 2 ta có: ( ) 2 a b c a b b c c a Nếu áp dụng liên tiếp BĐT trên 2n lần thì 1 1 11 1 1 1 ( ) 2 a b c a b b c c a 2 1 1 1 2 a 2 b c a b 2 c 2 a b c 3 1 1 1 2 2a 3 b 3 c 3 a 2 b 3 c 3 a 3 b 2 c 4 1 1 1 2 5a 5 b 6 c 6 a 5 b 5 c 5 a 6 b 5 c 5 1 1 1 2 11a 10 b 11 c 11 a 11 b 10 c 10 a 11 b 11 c 6 1 1 1 2 22a 21 b 21c 21 a 22 b 21 c 21 a 21 b 22 c 2n 1 1 1 2 2n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 222121212221212122 a b c a b c a b c Từ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 đây quan sát và tổng quát hóa ta có BĐT mở rộng 1 : Cho ba số dương a, b, c , n N * thì 1 1 1 1 1 1 22n 2n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n a b c 222121212221212122 a b c a b c a b c 3 3 3 3 3 3 3 3 3 - 5 -
7. Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai Có thể chứng minh BĐT trên bằng BĐT VD2 kết hợp với phương pháp chứng minh qui nạp. 1 1 1 1 1 1 1 + Cho ba số dương a, b, c theo Ví dụ 2 ta có: ( ) a b b c c a 2 a b c Nếu áp dụng liên tiếp BĐT trên 2n+1 lần thì 1 1 11 1 1 1 ( ) 2 a b c a b b c c a 2 1 1 1 2 a 2 b c a b 2 c 2 a b c 3 1 1 1 2 2a 3 b 3 c 3 a 2 b 3 c 3 a 3 b 2 c 4 1 1 1 2 5a 5 b 6 c 6 a 5 b 5 c 5 a 6 b 5 c 5 1 1 1 2 11a 10 b 11 c 11 a 11 b 10 c 10 a 11 b 11 c 2n 1 1 1 1 2 21n 21 n 21 n 21 n 21 n 21 n 21 n 21 n 21 n 2 22121212221212122 a b c a b c a b c 3 3 3 3 3 3 3 3 3 BĐT mở rộng 2: Cho ba số dương a, b, c , n N * , ta 1 1 12n 1 1 1 1 2 21n 21 n 21 n 21 n 21 n 21 n 21 n 21 n 21 n a b c 222121212221212122 a b c a b c a b c 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Từ BĐT mở rộng 1 và 2 ta nhận thấy, càng áp dụng BĐT trong VD2 nhiều lần thì vế phải càng nhỏ dần. Bằng cách áp dụng BĐT trong VD2 và phương pháp qui nạp chúng ta thu được các BĐT mở rộng 3, theo tôi là rất mới và hay sau. BĐT mở rộng 3a: - 6 -
8. Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai Cho ba số dương a, b, c , n,: k N* k n , ta có: 2k 1 1 1 2 2k 2 k 2 k 2 k 2 k 2 k 2 k 2 k 2 k 222121212221212122 a b c a b c a b c 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2n 1 1 1 2 2n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 222121212221212122 a b c a b c a b c 3 3 3 3 3 3 3 3 3 BĐT mở rộng 3b: Cho ba số dương a, b, c , n,: k N* k n , ta có: 2k 1 1 1 1 2 21k 21 k 21 k 21 k 21 k 21 k 21 k 21 k 21 k 222121212221212122 a b c a b c a b c 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2n 1 1 1 1 2 21n 21 n 21 n 21 n 21 n 21 n 21 n 21 n 2n 1 22212121222121212 2 a b c a b c a b c 3 3 3 3 3 3 3 3 3 BĐT mở rộng 3c: * Cho ba số dương a, b, c , n,: k N k n , ta có: 2k 1 1 1 2 2k 2 k 2 k 2 k 2 k 2 k 2 k 2 k 2 k 222121212221212122 a b c a b c a b c 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2n 1 1 1 1 2 21n 21 n 21 n 21 n 21 n 21 n 21 n 21 n 21 n 222121212221212122 a b c a b c a b c 3 3 3 3 3 3 3 3 3 BĐT mở rộng 3d: - 7 -
9. Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai * Cho ba số dương a, b, c , n,: k N k n , ta có: 2k 1 1 1 1 2 21k 21 k 21 k 21 k 21 k 21 k 21 k 21 k 21 k 222121212221212122 a b c a b c a b c 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2n 1 1 1 2 2n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 222121212221212122 a b c a b c a b c 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Tất cả các BĐT mở rộng 1,2,3a,3b,3c,3d đều chứng minh được bằng BĐT trong VD2 kết hợp với phương pháp qui nạp. Ví dụ 4. Chứng minh rằng với a, b, c dương: 1 1 1 1 1 1 a 2b c b 2c a c 2a b a 3b b 3c c 3a Lời giải: Vận dụng BĐT  ta có: 1 1 4 2 a 3b b 2c a (a 3b) (b 2c a) a 2b c 1 1 4 2 b 3c c 2a b (b 3c) (c 2a b) b 2c a 1 1 4 2 c 3a a 2b c (c 3a) (a 2b c) c 2a b Cộng vế theo vế các BĐT trên và rút gọn ta có BĐT cần phải chứng minh a 3b b 2c a Đẳng thức xảy ra khi: b 3c c 2a b a b c c 3a a 2b c Sau đây là một số bài tập tương tự để luyện tập: Bài 1. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác ( p là nửa chu vi). Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c (Đề HK2 Khối 10A Trường Ngô Quyền 2007-2008) Bài 2. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 2abc 2 bac 2 cab 4 a 4 b 4 c - 8 -