Sáng kiến kinh nghiệm Xác định công thức tổng quát của dãy số

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Xác định công thức tổng quát của dãy số

1. đặt vấn đề Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy số là một phần quan trọng của đại số và giải tích lớp 11 , Học sinh thường phải đối mặt với nhiều dạng toán khó liên quan đến vấn đề này và gặp khó khăn trong vấn đề xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số. Đặc biệt ở một số lớp bài toán khi đã xác định được công thức tổng quát của dãy số thì nội dung của bài toán gần như được giải quyết Để đáp ứng được một phần đề tài “ Xác định công thức tổng quát của dãy số “ và kết hợp với sự tiếp cận “ Lý thuyết phương trình sai phân “ qua một số chuyên đề mà bản thân tác giả đã được học Nội dung của đề tài nhằm cung cấp một số phương pháp cơ bản xác định công thức tổng quát của dãy số và có sự phân loại ở một số lớp bài toán . Đây cũng là đề tài và bài giảng mà tác giả đã dạy cho học sinh , đặc biệt là học sinh khá giỏi và lớp chọn, là tài liệu học sinh và đồng nghiệm tham khảo Trong đề tài này tác giả đã sử dung một số kết quả có tính hệ thống của ‘ Lý thuyết phương trình sai phân “ . Tuy nhiên những vấn đề áp dụng kiến thức toán học hiện đại chỉ dừng lại ở một số trường hợp đặc biệt và giới hạn trong trường số thực . Giới hạn của đề tài chỉ dừng lại ở việc xác định công thức tổng quát của một số dãy số , từ đó có áp dụng vào một số bài toán cụ thể . Qua đó, người đọc có thể trang bị thêm cho mình phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số. Đặc biệt các thầy cô có thể tự kiểm tra kết quả và xây dựng cho mình một lớp các bài toán về dãy số được trình bày trong đề tài 1
2. Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy số A. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình sai phân dạng * u1 , a.un 1 b.un fn , n N trong đó a,b, là các hằng số ,a # 0 và fn là biểu thức của n cho trước Dạng 1 Tìm un thoả mãn điều kiện u1 , a.un 1 b.un 0 (1.1) trong đó a,b, cho trước n N * Phương pháp giải n Giải phương trình đặc trưng a. b 0 để tìm  Khi đó un q (q là hằng số ) , trong đó q được xác định khi biết u1 Bài toán 1: Xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân, biết số hạng đầu tiên bằng 1 và công bội bằng 2 Bài giải Ta có un 1 2un , u1 1 (1.2) n Phương trình đặc trưng có nghiệm  2 Vậy un c.2 . Từ u1 1suy ra 1 c Do đó u 2n 1 2 n Dạng 2 Tìm un thoả mãn điều kiện * u1 , aun 1 bun fn , n N (2 .1) 2
3. trong đó fn là đa thức theo n Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a. b 0 ta tìm được  Ta có 0 * 0 * un un un Trong đó un là nghiệm của phương trình thuần nhất (1.1) và un là nghiệm riêng tuỳ ý của phương trình không thuần nhất (2.1) Vậy 0 n un q. q là hằng số sẽ được xác định sau * Ta xác định un như sau : * 1) Nếu  #1 thì un là đa thức cùng bậc với fn * 2) Nếu  1 thì un n.gn với gn là đa thức cùng bậc với fn * * Thay un vào phương trình, đồng nhất các hệ số ta tính được các hệ số của un Bài toán 2: Tìm un thoả mãn điều kiện * u1 2; un 1 un 2n, n N (2.2) Bài giải Phương trình đặc trưng  1 0 có nghiệm  1 Ta có 0 * 0 n * * un un un trong đó un c.1 c, un n an b Thay un và phương trình (2.2) ta được n 1 a n 1 b n an b 2n (2.3) thay n=1và n=2 vào (2.3) ta được hệ phương trình sau 3a b 2 a 1 5a b 4 b 1 Do đó un n n 1 0 * Ta có un un un c n n 1 Vì u1 2 nên 2 c 1 1 1 c 2 2 Vậy un 2 n n 1 , hay un n n 2 Dạng 3 Tìm un thoả mãn điều kiện * u1 , a.un 1 bun v.n , n N (3.1) 3
4. trong đó fn là đa thức theo n Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a. b 0 ta tìm được  Ta có 0 * 0 n * un un un Trong đó un c. , c là hằng số chưa được xác định , un được xác định như sau : * n 1) Nếu  # thì un A. * n 2) Nếu   thì un A.n. * Thay un vào phương trình (3.1) đồng nhất các hệ số ta tính được các hệ số * 0 * của un . Biết u1 , từ hệ thức un un un , tính được c Bài toán 3: Tìm un thoả mãn điều kiện n * u1 1; un 1 3.un 2 , n N (3.2) Bài giải Phương trình đặc trưng  3 0 có nghiệm  3 Ta có 0 * 0 n * n un un un trong đó un c.3 , un a.2 * n Thay un a.2 vào phương trình (3.2) , ta thu được a.2n 1 3a.2n 2n 2a 3a 1 a 1 n n n n Suy ra un 2 Do đó un c.3 2n vì u1 1 nên c=1 Vậy un 3 2 Dạng 4 Tìm un thoả mãn điều kiện * u1 , a.un 1 bun f1n f2n , n N (4.1) n Trong đó f1n là đa thức theo n và f2n v. Phương pháp giải 0 * * 0 Ta có un un u1n u2n Trong đó un là nghiệm tổng quát của phương * trình thuần nhất aun 1 bun 0, un là một nghiệm riêng của phương trình * không thuần nhất a.un 1 b.un f1n , u2n là nghiệm riêng bất kỳ của phương trình không thuần nhất a.un 1 b.un f2n 4
5. Bài toán 4: Tìm un thoả mãn điều kiện 2 n * u1 1; un 1 2un n 3.2 , n N (4.2) Bài giải Phương trình đặc trưng  2 0 có nghiệm  2 Ta có 0 * * 0 n * 2 * n un un u1n u2n trong đó un c.2 , un a.n b.n c , u2n An.2 * 2 Thay un vào phương trình un 1 2.un n , ta được a n 1 2 b n 1 c 2an2 2bn 2c n2 Cho n=1 , n=2 ta thu được hệ phương trình 2a c 1 a 1 a b c 4 b 2 2a 2b c 9 c 3 * 2 * n Vậy u1n n 2n 3 thay u2n vào phương trình un 1 2.un 3.2 Ta được 3 A n 1 2n 1 2An.2n 3.2n 2A n 1 2An 3 A 2 Vậy 3 u* n.2n 3n.2n 1 2n 2 n 2 n 1 Do đó un c.2 n 2n 3 3n.2 . Ta có u1 1 nên n 1 2 1 2c 2 3 c 0 Vậy un 3n.2 n 2n 3 B. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình sai phân dạng * u1 , u2 , a.un 1 bun c.un 1 fn , n N trong đó a,b,c, ,  là các hằng số , a # 0 và fn là biểu thức của n cho trước 5
6. (NX: Phương trình đặc trưng của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai luôn có hai nghiệm kể cả nghiệm phức, song nội dung của đề tài chỉ dừng lại trong trường số thực , tức là chỉ xét nghiệm thực ) Dạng 1 Tìm un thoả mãn điều kiện * u1 , u2 , aun 1 bun c.un 1 0, n N (5.1) Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a. 2 b. c 0 tìm  Khi đó n n 1) Nếu 1 ,2 là hai nghiệm thực khác nhau thì un A.1 B.2 , trong đó A và B được xác định khi biết u1 ,u2 n 2) Nếu 1 ,2 là hai nghiệm kép 1 2  thì un A Bn . , trong đó A và B được xác định khi biết u1 ,u2 Bài toán 5: Tìm un thoả mãn điều kiện sau u0 1, u1 16, un 2 8.un 1 16.un (5.1) Bài giải Phương trình đặc trưng  2 8 16 0 có nghiệm kép  4 Ta có n un A B.n .4 (5.2) Cho n=0 , n=1 thay vào (5.2) ta thu được hệ phương trình u0 1 A A 1 B 3 u1 1 B .4 16 n Vậy un 1 3n .4 Dạng 2 Tìm un thoả mãn điều kiện u1 , u2  , a.un 1 b.un c.un 1 fn , n 2, (6.1) trong đó a # 0, fn là đa thức theo n cho trước Phương pháp giải 6
7. Giải phương trình đặc trưng a. 2 b. c 0 để tìm  . Khi đó ta có 0 * 0 un un un , trong đó un là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất * a.un 1 b.un c.un 1 0 và un là một nghiệm tuỳ ý của phương trình a.un 1 b.un c.un 1 fn 0 * Theo dạng 1 ta tìm được un , trong đó hệ số A, B chưa được xác định , un được xác định như sau : * 1) Nếu  #1 thì un là đa thức cùng bậc với fn * 2) Nếu  1 là nghiệm đơn thì un n.gn , gn là đa thức cùng bậc với fn * 2 3) Nếu  1 là nghiệm kép thì un n. gn , gn là đa thức cùng bậc với fn , * * Thay un vào phương trình , đồng nhất các hệ số, tính được các hệ số của un . 0 * Biết u1 , u2 từ hệ thức un un un tính được A, B Bài toán 6: Tìm un thoả mãn điều kiện u1 1; u2 0, un 1 2un un 1 n 1, n 2 (6.2) Bài giải Phương trình đặc trưng  2 2 1 0 có nghiệm kép  1 Ta 0 * 0 n * 2 có un un un trong đó un A B.n .1 A Bn, un n a.n b * Thay un vào phương trình (6,2) , ta được 2 2 2 n 1 a n 1 b 2n a.n b n 1 a n 1 b n 1 Cho n=1 , n=2 ta thu được hệ phương trình 1 a 4 2a b 2 a b 2 6 9 3a b 8 2a b a b 3 1 b 2 * 2 n 1 Vậy un n 6 2 Do đó 7
8. 0 * 2 n 1 un un un A Bn n 6 2 Mặt khác 1 1 A B 1 A 4 6 2 11 1 1 B A 2B 4 0 3 3 2 Vậy 11 2 n 1 un 4 n n 3 6 2 Dạng 3 Tìm un thoả mãn điều kiện n u1 , u2 , aun 1 bun c.un 1 d. , n 2 (7.1) Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a. 2 b. c 0 để tìm  Khi đó ta có 0 * 0 un un un , trong đó un được xác định như dạng 1 và hệ số A và B chưa * được xác định, un được xác định như sau * n 1) Nếu  # thì un k. * n 2) Nếu   là nghiệm đơn thì un k.n * 2 n 3) Nếu   là nghiệm kép thì un k.n.  * Thay un vào phương trình , dùng phương pháp đồng nhất thức các hệ số sẽ 0 * tính được hệ số k . Biết u1 , u2 từ hệ thức un un un tính được A,B Bài toán 7: Tìm un thoả mãn điều kiện n u1 0; u2 0, un 1 2un un 1 3.2 , n 2 Bài giải Phương trình đặc trưng  2 2 1 0 có nghiệm kép  1 Ta 0 * 0 n * n có un un u1n trong đó un A B.n .1 A Bn, un k.2 8
9. * Thay un vào phương trình , ta được k.2n 1 2k.2n k.2n 1 3.2n k 6 * n n 1 0 * n 1 Vậy un 6.2 3.2 . Do đó un un un A bn 3.2 . (1) Thay u1 1, u2 0 vào phương trình ta thu được 1 A B 12 A 2 0 A 2B 24 B 13 Vậy n 1 un 2 13n 3.2 Dạng 4 Tìm un thoả mãn điều kiện u1 , u2 , aun 1 bun c.un 1 fn gn , n 2 (8.1) n trong đó a # 0 , fn là đa thức theo n và gn v. Phương pháp giải 0 * * 0 Ta có un un u1n u2n trong đó un là nghiệm tổng quát của phương * trình thuần nhất aun 1 bun c.un 1 0 , u1n là nghiệm riêng tùy ý của * phương trình không thuần nhất aun 1 bun c.un 1 fn u2n là nghiệm riêng tùy ý của phương trình không thuần nhất aun 1 bun c.un 1 gn Bài toán 8: ( Đề thi OLYPIC 30 -4 Toán 11 Lần thứ VIII- 2002 ) Tìm un thoả mãn điều kiện n u1 0; u2 0, un 1 2un 3un 1 n 2 , n 2 (8.2) 2 Bài giải Phương trình đặc trưng  2 3 0 có nghiệm 1 1,2 3 Ta có 0 * * un un u1n u2n trong đó 0 n n * * n un A 1 B.3 , u1n a bn, u2n k.2 9