Sáng kiến kinh nghiệm Xác định chân đường vuông góc hạ từ một điểm xuống một mặt phẳng

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Xác định chân đường vuông góc hạ từ một điểm xuống một mặt phẳng

1. SKKN: “Xác định chân đường vuông góc hạ từ một điểm xuống một mặt phẳng” Phần I: Mở Đầu I. Lý do chọn đề tài: Trong chương trình giảng dạy và học tập bộ môn toán ở trường trung học phổ thông, Hình học chiếm vị trí tương đối quan trọng. Đặc biệt là hình không gian lớp 11, 12, phần này chiếm tới một phần ba chương trình. Những năm gần đây, hình học không gian là một trong những vấn đề thường gặp trong các đề thi đại học, cao đẳng và tốt nghiệp. Một trong những vấn đề thường hay đề cập đến là các bài toán trong quan hệ vuông góc. Việc mở ra huớng chứng minh cho bài tập hình không gian là đi xác định chân đường vuông góc hạ từ một điểm. Trong hình học phẳng, các em đã được làm quen với việc xác định chân đường vuông góc hạ từ một điểm xuống đường thẳng. Nhưng trong không gian, xác định vị trí của nó không đơn giản, đòi hỏi người học phải trí tưởng tượng, mắt quan sát.Tuy nhiên, nó không phải quá khó như một số em vẫn tưởng. Việc xác định chân đường vuông góc có vai trò quan trọng để tìm ra lời giải các dạng bài toán: tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, xác định số đo góc, tính thể tích khối đa diện Chính vì vậy, khi giải toán học sinh không xác định được chân đường cao nằm ở đâu? Phải dựa vào yếu tố nào để xác định? Và điểm đó có mối quan hệ gì với giả thiết của bài toán? Cho nên, học sinh thường hay khó tưởng tượng, không có hứng thú với hình học không gian. Khi gặp dạng này trong đề thi thường hay bỏ qua. Xuất phát từ việc nghiên cứu các đề thi tốt nghiệp, đề thi đại học và thực tế giảng dạy tôi quyết định chọn đề tài: “xác định chân đường vuông góc hạ từ một điểm xuống một mặt phẳng”.Qua nội dung này nhằm giúp các em có một kỹ năng tốt để giải các bài toán về hình không gian.
2. SKKN: “Xác định chân đường vuông góc hạ từ một điểm xuống một mặt phẳng” Phần II: nội dung I. Cơ sở lí luận của đề tài: 1. Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Một đường thẳng gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Khi đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), ta còn nói mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a hoặc a và (P) vuông góc với nhau. Kí hiệu: a  (P) hoặc (P)  a . 2. Định lý đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P). 3. Các tính chất: Tính chất 1: Có duy nhất một mặt phẳng (P) đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với đường thẳng a cho trước Tính chất 2: Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước. 4. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng Tính chất 3: a) Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại. b)Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. 2
3. SKKN: “Xác định chân đường vuông góc hạ từ một điểm xuống một mặt phẳng” 5. Hai mặt phẳng vuông góc. Định nghĩa: Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900 . Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc. Định lý 1: Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau. Định lý 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng đó. Tính chất hai mặt phẳng vuông góc: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q). Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là một điểm nằm trong (P) thì đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P). II. Thực trạng của vấn đề Hình học không gian là môn học mới đối với học sinh lớp 11 vì nó có nội dung mới và phong phú hơn hình học phẳng. Nó rèn luyện cho học sinh trí tưởng tượng không gian thông qua các hình ảnh, mô hình cụ thể theo con đường tư duy từ trực quan sang tư duy trừu tượng. Khi giải các bài hình về xác định chân đường vuông góc, học sinh cứ hạ hình chiếu vuông góc nhưng không chính xác vị trí chân đường cao nằm ở vị trí nào? Để làm được điều đó đòi hỏi ngưòi học phải có trí tưởng tượng, có kiến thức tốt về hình học phẳng, nhớ nhiều các định nghĩa và tính chất, quan trọng hơn là vận dụng kiến thức đó vào làm bài tập. Chính vì điều đó gây ra khó khăn cho không ít học sinh trong quá trình học môn này. 3
4. SKKN: “Xác định chân đường vuông góc hạ từ một điểm xuống một mặt phẳng” III. CáC biện pháp tiến hành Bài toán tổng quát: Cho mặt phẳng (P) và một điểm M không thuộc mặt phẳng đó với M và (P) thoả mãn điều kiện nào đó. Xác định chân đường vuông góc H hạ từ M xuống mặt phẳng (P). Trước hết ta hiểu rằng, việc xác định H không đơn thuần là thể hiện vị trí điểm H trên hình vẽ mà ta phải chỉ ra tính chất của điểm H. Duới đây là một số trường hợp thường gặp và phương pháp giải một số trường hợp đó. 1. Dạng1: Trong mặt phẳng (P) có một điểm A và một đường thẳng d không đi qua A sao cho AM  d. 1.1 Phương pháp: Để xác định H ta tiến hành các bước sau: - Trong mặt phẳng (P) kẻ đường thẳng d/ đi qua A và d  d . - Trong mặt phẳng chứa M và d/ dựng MH  d thì H là điểm cần tìm. 1.2 Ví dụ áp dụng 1.2.1 Bài tập 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC.Xác định chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt phẳng (SBC). 4
5. SKKN: “Xác định chân đường vuông góc hạ từ một điểm xuống một mặt phẳng” S Gọi H là trực tâm của ABC , AH  BC I Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều nênSH  ABC K AH  BC  BC  SAH SH  BC A C  H Hay BC SAI I Trong mặt phẳng (SAI), kẻ AK  SI B mà AK  BC AK  (SBC) Vậy K là điểm cần tìm 2.2.2 Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông.SA vuông góc với mặt phẳng đáy.Xác định chân đường vuông góc hạ từ C xuống mặt phẳng (SBD). Ta có S BD  SA  BD  (SAC) BD  AC Gọi O AC  BD B C Trong (SAC), kẻ CH  SO(H SO) O Như vậy: H CH  SO A D  CH  (SBD) CH  BD 5
6. SKKN: “Xác định chân đường vuông góc hạ từ một điểm xuống một mặt phẳng” Vậy H là điểm cần tìm. 2.Dạng 2: Trong mặt phẳng (P) có hai điểm A và B sao cho MA = MB. 2.1 Phương pháp: Để tìm H ta tiến hành các bước sau: - Trong mặt phẳng (P) kẻ đường trung trực d củađoạn thẳng AB. - Trong mặt phẳng chứa M và d,dựng MH  d thì H là điểm cần tìm. 2.2 Các ví dụ áp dụng. 2.2.1 Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác cân tại A và Sã AB Sã AC .Xác định chân đường cao của hình chóp. S Ta có SAB SAC(c.g.c) SB SC Dựng đường cao AM của ABC AM là đường trung trực BC . C SM  BC  A  BC  (SAM) AM  BC H M Trong mặt phẳng (SAM), kẻ SH  AM B SH  BC (vì BC  (SAM) ) SH  (ABC) 6
7. SKKN: “Xác định chân đường vuông góc hạ từ một điểm xuống một mặt phẳng” Như vậy, H là điểm cần tìm. 2.2.2 Bài tập 2. Cho hình hộp ABCD.A B C D có các cạnh AB = AD và Ã AB Ã AD .Xác định chân đường vuông góc hạ từ đỉnh A/ xuống mặt phẳng (ABCD). A AB= A AD (c g c) B' C' A D A B Vì ABCD là hình thoi nên AC là A' D' đường trung trực của BD. dựng A H  AC tại A (1) Ta có : BD  AC   BD  (A AO) DB  OA  B C BD  A H(2) H O Từ (1) và (2) A H  (ABCD) D A Vậy H là điểm cần tìm. 2.2.3 Bài tập 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Một mặt phẳng ( ) đi qua AB cắt các cạnh SC và SD lần lượt tại các điểm M và N. Xác định chân đường vuông góc hạ từ S xuống mặt phẳng ( ) 7
8. SKKN: “Xác định chân đường vuông góc hạ từ một điểm xuống một mặt phẳng” Vì S ( )  AB   AB PCD,CD  (SCD) ( )  (SCD) MN PCD E N (M SC, N SD) Tứ giác ABMN là hình thang M D H A cân. Gọi E, F là trung điểm của MN, O F AB. C B nên E F là đường trung trực của hai đáy AB, MN. Ta có: SA = SB SF  AB mà AB  EF AB  (SEF) Trong (SEF), kẻ SH  EF MàSH  AB( vì AB  (SEF) ) SH  (ABMN) haySH  ( ) Vậy H là điểm cần tìm. 2.2.4 Bài tập 4 Cho ba tia Ox, Oy, Oz không nằm trong một mặt phẳng thoả mãn điều kiện xã Oy xã Oz . Xác định chân đường vuông góc hạ từ một điểm M thuộc tia Ox xuống mặt phẳng(yOz). 8
9. SKKN: “Xác định chân đường vuông góc hạ từ một điểm xuống một mặt phẳng” Lấy A Oy,B Oz sao cho M x OA = OB. Ta có : VOMA VOMB Do đó MA = MB. O A y Gọi E là trung điểm của AB. H E AB  OE,ME  AB AB  (MOE) B z Trong mặt phẳng (OME), dựng MH  OE tại H Mà MH  AB MH  (OAB) Vậy H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống mặt phẳng (yOz). 3.Dạng 3: Tồn tại một đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P). 3.1 Phương pháp: Để tìm H ta tiến hành các bước Q sau: M Xác định giao tuyến d của a d mặt phẳng (P) và mặt phẳng H (Q) đi qua a và M. P Kẻ qua M đường thẳng song song với a cắt giao tuyến tại H thì H là điểm cần tìm. 9
10. SKKN: “Xác định chân đường vuông góc hạ từ một điểm xuống một mặt phẳng” 3.2 Ví dụ áp dụng: 3.2.1 Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại C và cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).Xác định chân đường vuông góc hạ từ điểm M thuộc cạnh AB xuống mặt phẳng (SBC). S BC  AC  BC  (SAC) BC  SA Chọn K trên SC sao cho AK  SC AK  (SBC) M Nối BK, chọn trên BK điểm H B A H K sao cho MH  BK Vậy H là điểm cần tìm. C 3.2.2 Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA = SC, SB = SD và đáy ABCD là hình thoi 1) Xác định chân đường vuông góc hạ từ giao điểm các đường chéo của mặt phẳng đáy xuống một mặt bên. 2) Xác định chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt bên (SBC). 10
11. SKKN: “Xác định chân đường vuông góc hạ từ một điểm xuống một mặt phẳng” 1) S Trong (ABCD), kẻ OI  BC SO  BC(SO  (ABCD)) BC  (SOI) Trong (SOI), kẻOJ  SI D J C OJ  BC H OJ  (SBC) O I Vậy J là chân đường vuông góc A B hạ từ O xuống mặt phẳng (SBC). 2) Trong (SBC), kéo dài JC. Từ A kẻ đường thẳng AH song song OJ.Khi đó , AH  (SBC) 3.2.3Bài tập 3 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang, Ã BC Bã AD 900 , BA = BC = a, AD = 2a.Cạnh bên SA vuông góc với đáyvà SA 2a .Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB.Xác định chân đường vuông góc hạ từ H xuống mặt phẳng (SCD). 11