SKKN Ứng dụng các phép biến hình và đồng dạng vào giải toán hình học 11

Nội dung text: SKKN Ứng dụng các phép biến hình và đồng dạng vào giải toán hình học 11

1. Ứng dụng các phép biến hình và đồng dạng vào giải toán hình học MỤC LỤC Trang PHẦN MỞ ĐẦU 4 1. Lý do chọn đề tài 4 2. Mục đích nghiên cứu 5 3. Đối tượng và phạm vi ngiên cứu 5 4. Phương pháp nghiên cứu 5 PHẦN NỘI DUNG Chương I: Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiển 6 1. Cơ sở lí luận 6 2. Cơ sở thực tiễn 6 Chương II: Nội Dung 7 1.Định nghĩa phép biến hình 7 2.Một số tính chất của phép biến hình 9 3.Biểu thức toạ độ của một số phép biến hình 9 4.Các dạng bài tập cơ bản 9 Dạng 1: Dựng ảnh của một điểm và hình qua phép biến hình 9 Dạng 2: Xác định ảnh của một điểm và một hình qua phép biến hình đã 11 cho Dạng 3: Dùng phép biến hình để giải một số bài toán dựng hình 14 Dạng 4: Dùng phép biến hình để giải một số bài toán tìm tập hợp điểm. 16 PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾNNGHỊ 21 Kết luận 21 Kiến nghị 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO 23 3 Lê Phúc Cường Trường THPT A Lưới
2. Ứng dụng các phép biến hình và đồng dạng vào giải toán hình học PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng là môn học đòi hỏi học sinh phải tư duy trừu tượng, lập luận một cách chặt chẻ và logíc nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với phương pháp làm việc trong toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác. Trong chương trình hình học 11, chương phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng chiếm một vị trí hết sức quan trọng , hơn nữa các phép dời hình và đồng dạng được ứng dụng rộng rải trong thực tế như trong nhiếp ảnh Trong thực tiễn sư phạm cho thấy, khi học chương phép dời hình và phép đồng dạng, học sinh thường gặp rất nhiều khó khăn và lúng túng,đồng thời cũng nhiều khi mắc phải sai lầm. Trường THPT A Lưới là trường ở vùng cao, vùng sâu hiện nay chất lượng học tập của học sinh còn thấp. Các em chưa có điều kiện học tập, đặc biệt chương trình phân hoá học sinh. Nhà trường chưa có điều kiện tốt để học sinh khá giỏi, học sinh yếu kém phát triển nhận thức phù hợp với từng đối tượng học sinh. Học sinh hổng kiến thức từ lớp dưới rất lớn. Nhà trường chưa có đủ phương tiện dạy học theo phương pháp mới. Đặc biệt lượng kiến thức đưa ra là nặng đối với học sinh vùng sâu vùng xa. Có lẽ ai cũng nhận thấy điều đó, đội ngũ giáo viên của trường đang trực tiếp giảng dạy, các cấp lãnh đạo, các ngành đã làm gì để khắc phục tình trạng đó. Theo tôi đây là vấn đề bức xúc nóng bỏng còn đang tồn tại, sẽ tồn tại nếu ta không có giải pháp hợp lí. Qua bảy năm giảng dạy tôi nhận thấy học sinh khối 11 khi học về phép biến hình rất khó tiếp thu và áp dụng . Vì vậy để giúp học sinh học tốt môn hình học lớp 11 tôi đã chọn đề tài “ Ứng dụng các phép biến hình và đồng dạng vào giải toán hình học 11”. 4 Lê Phúc Cường Trường THPT A Lưới
3. Ứng dụng các phép biến hình và đồng dạng vào giải toán hình học 2. Mục đích nghiên cứu: Mục đích của sáng kiến này là người viết muốn đưa ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh vùng cao, tạo hứng thú học tập cho học sinh. Làm cho học sinh hiểu rõ các phép biến hình và ứng dụng của nó trong việc giải toán. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các tiết học. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm là các phép biến hình và ứng dụng của nó trong giải toán hình học lớp 11, và học sinh khối 11 trường THPT A Lưới. 4. Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS). Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn, ). Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của HS thông qua trao đổi trực tiếp). Phương pháp thực nghiệm. 5 Lê Phúc Cường Trường THPT A Lưới
4. Ứng dụng các phép biến hình và đồng dạng vào giải toán hình học PHẦN NỘI DUNG Chương I: Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiển 1. Cơ sở lý luận Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình phát triển. Vì vậy trong quá trình giúp đỡ học sinh, Giáo viên cần chú trọng gợi động cơ học tập giúp các em thấy được sự mâu thuẫn giữa những điều chưa biết với khả năng nhận thức của mình, phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh trong việc lĩnh hội tri thức. Tình huống này phản ánh một cách lôgíc và biện chứng trong quan niệm nội tại của bản thân các em. Từ đó kích thích các em phát triển, bộc lộ thiên hướng, sở trường và hứng thú đối với những lĩnh vực kiến thức, kĩ năng nhất định. 2. Cơ sở thực tiễn Trong thực tế giảng dạy cho thấy nhiều học sinh khi học về các phép biến hình và phép đồng dạng, các em thường có tâm lí: không biết ứng dụng của phép biến hình để làm gì, nói cách khác các em không gắn được lý thuyết vào thực hành, do đó các em không muốn học chương này.Vì vậy GV cần chỉ rõ, cụ thể và hướng dẫn cho học sinh ứng dụng các phép biến hình vào giải toán. Và chó thấy các phép biến hình và đồng dạng được ứng dụng trong thực tế rất nhiều. 6 Lê Phúc Cường Trường THPT A Lưới
5. Ứng dụng các phép biến hình và đồng dạng vào giải toán hình học Chương II: Nội Dung Trong các giờ học về chương: Các phép biến hình và đồng dạng, ứng dụng của nó học sinh nắm chưa chắc, chưa hiểu bản chất. Việc tư duy, suy luận lôgíc, khả năng khaí quát phân tích còn hạn chế, đặc biệt là phần ứng dụng các phép biến hình. Vì vậy học sinh còn lúng túng, xa lạ, khó hiểu chưa kích thích được nhu cầu học tập của học sinh. Để các em tiếp thu bài một cách có hiệu quả tôi xin đưa ra một vài ứng dụng của phép biến hình vá đồng dạng cụ thể trong giải toán hình học lớp 11: 1: Định nghĩa phép biến hình: 1.1: Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng. 1.2: Một số phép biến hình trong mặt phẳng: 1.2.1: Phép tịnh tiến: Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho vectơ v 0 , phép biến hình biến mỗi điểm  M thành điểm M’ sao cho MM ' = v , gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v . Kí hiệu: Tv .  Vậy: Tv (M) = M’ MM ' = v . 1.2.2: Phép đối xứng trục: Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho đường thẳng d, phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho d là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng MM’ gọi là phép đối xứng trục d. Kí hiệu: Đd.   Vậy: Đ d(M) = M’ M 0M ' M 0M (M0 là giao điểm của d với đoạn thẳng MM’). 1.2.3: Phép đối xứng tâm: 7 Lê Phúc Cường Trường THPT A Lưới
6. Ứng dụng các phép biến hình và đồng dạng vào giải toán hình học Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm I, phép biến hình biến mỗi điểm M khác I thành điểm M’ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM’ gọi là phép đối xứng tâm I. Kí hiệu: ĐI.   Vậy: ĐI(M) = M’ IM ' IM . 1.2.4: Phép quay: Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O và góc lượng giác , phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM=OM’, góc lượng giác (OM,OM’) = gọi là phép quay tâm O, góc quay . Kí hiệu: Q(O, ) OM OM ' Vậy: Q(O, )(M)=M’ (OM ,OM ') 1.2.5: Phép đồng nhất: Định nghĩa: Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó gọi là phép đồng nhất. 1.2.6: Phép vị tự: Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O và số k 0, phép biến hình biến mỗi   điểm M thành điểm M’ sao cho OM ' kOM , gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k. Kí hiệu: V(O,k)   Vậy: V(O,k)(M)=M’ OM ' kOM 1.2.7: Phép dời hình: Định nghĩa: Phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì gọi là phép dời hình. 1.2.8: Phép đồng dạng: Định nghĩa: Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k(k>0) nếu với 2 điểm M,N bất kì và ảnh M’,N’ tương ứng của chúng ta luôn có M’N’=kMN. 8 Lê Phúc Cường Trường THPT A Lưới
7. Ứng dụng các phép biến hình và đồng dạng vào giải toán hình học 2: Một số tính chất của phép biến hình: Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay thay đổi thứ tự giữa ba điểm đó. Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng. Biến tam giác thành tam giác bằng nó ( hoặc đồng dạng với nó), biến góc thành góc bằng nó. Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính R (hoặc kR). 3. Biểu thức toạ độ của một số phép biến hình: 3.1: Phép tịnh tiến: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho v(a,b) , M(x;y), M’(x’;y’). Khi đó nếu x ' x a Tv (M) = M’ thì y ' y b 3.2: Phép đối xứng trục: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho , M(x;y), M’(x’;y’). Khi đó nếu x ' x +) ĐOx(M) = M’ thì y ' y x ' x +) ĐOy(M) = M’ thì y ' y 3.3: Phép đối xứng tâm: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho I(a,b) , M(x;y), M’(x’;y’). Khi đó nếu x ' 2a x ĐI(M) = M’ thì y ' 2b y 4: Các dạng bài tập cơ bản: Dạng 1: Dựng ảnh của một điểm và hình qua phép biến hình. Phương pháp : Sử dụng định nghĩa. d B B' Bài 1: Trong mặt phẳng cho đường thẳng C' d và các A, B,C. Dựng ảnh của A , đoạn AB, C tam giác ABC qua phép đối xứng trục d. Giải:Đ d(A) = A’ A A' 9 Lê Phúc Cường Trường THPT A Lưới
8. Ứng dụng các phép biến hình và đồng dạng vào giải toán hình học Đd(B) = B’ Đd(C) = C’ A’B’ là ảnh của AB qua phép đối xứng trục d. Tam giác A’B’C’ là ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng trục d Bài 2: Trong mặt phẳng cho điểm O và các A, B,C. Dựng ảnh của A , đoạn AB, tam giác ABC qua phép đối xứng tâm O. Giải C' ĐO(A) = A’ B ĐO(B) = B’ A' ĐO(C) = C’ A’B’ là ảnh của AB qua phép đối xứng tâm O. A Tam giác A’B’C’ là ảnh của tam giác ABC B' qua đối xứng tâm O C Bài 3: Trong mặt phẳng cho vectơ v và các A, B,C. Dựng ảnh của A , đoạn AB, tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ v . Giải Tv (A) = A’ Tv (B) = B’ Tv (C) = C’ - A’B’ là ảnh của AB qua phép tịnh tiến theo vectơ v . - Tam giác A’B’C’ là ảnh của tam giác qua phép tịnh tiến theo vectơ v . Bài 4: Trong mặt phẳng cho điểm O và các A, B,C. Dựng ảnh của A , đoạn AB, tam giác ABC qua phép vị tự tâm O tỉ số k. 10 Lê Phúc Cường Trường THPT A Lưới
9. Ứng dụng các phép biến hình và đồng dạng vào giải toán hình học Giải A' A’ =V(O,2)(A) B' B’ =V(O,k)(B) A C’ =V(O,k)(C) B A’B’ là ảnh của AB qua phép vị tự tâm O C' tỉ số 2. O C Tam giác ABC là ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm O tỉ số 2. Dạng 2: Xác định ảnh của một điểm và một hình qua phép biến hình đã cho : Phương pháp chung: -Sử dụng định nghĩa. -Sử dụng biểu thức toạ độ của phép biến hình. -Sử dụng các tính chất của phép biến hình. Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho véctơ v ( 1; 2) ,hai điểm A(3 ; 5), B(-1 ; -1) và đường thẳng d có phương trình: x -2y+3 = 0. a. Tìm tọa độ của các điểm A’,B’ theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến v . b.Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ v . (Bài 3- Sách giáo khoa Hình học 11 – cơ bản –trang 7) Giải x' 3 -1 x' 2 a) Tv (A) = A’ thì Vậy Tv (A) = A’(2 ; 7) y' 5 2 y' 7 x' -1-1 x' 2 Tv (B) = B’ thì Vậy Tv (B) = B’(-2 ; 3) y' 1 2 y' 3 b) Cách 1: Gọi Tv (d) = d’. Chọn M(-1;1) thuộc d, M’=T v (M) =(-2 ;3). M’ d’. Vì d’//d nên d’ có phương trình x - 2y+C=0. M’ d’-2 -2.3 +C = 0  C = 8. Vậy phương trình đường thẳng d’ là:x- 2y + 8=0. Cách 2: Gọi M( x ; y) d, M’ = Tv (M) =(x’ ; y’) . 11 Lê Phúc Cường Trường THPT A Lưới