Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc THPT

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc THPT

1. Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. LỜI MỞ ĐẦU: To¸n häc lµ mét m«n häc cã vai trß kh¸ quan träng trong tr­êng THPT. Qua to¸n häc gióp cho ng­êi häc n©ng cao ®­îc kh¶ n¨ng t­ duy , kh¶ n¨ng suy luËn vµ viÖc vËn dông c¸c kiÕn thøc ®ã vµo c¸c m«n häc kh¸c. Qua ®ã gióp ng­êi häc ph¸t triÓn vµ hoµn thiÖn nh©n c¸ch cña m×nh. ChÝnh v× lÏ ®ã viÖc lÜnh héi vµ tiÕp thu m«n to¸n lµ c¶ mét vÊn ®Ò mµ kh«ng ng­êi gi¸o viªn d¹y to¸n nµo kh«ng quan t©m. §Æc biÖt trong c¸c ho¹t ®éng d¹y vµ häc m«n to¸n ®ßi hái ng­êi d¹y còng nh­ ng­êi häc ph¶i kh«ng ngõng t×m tßi s¸ng t¹o, tÝch luü kinh nghiÖm ®Ó ®­a ra nh÷ng ph­¬ng ph¸p gi¶ng d¹y, nh÷ng c¸ch lÜnh héi phï hîp nhÊt. §Ó gióp ng­êi häc n¾m v÷ng kiÕn thøc m«n häc cã tÝnh hÖ thèng ®©y lµ vÊn ®Ò ®­îc ®Æt ra. NhÊt lµ trong thùc hµnh viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n mang tÝnh vËn dông ®ßi hái ng­êi häc ph¶i n¾m v÷ng nh÷ng hÖ thèng kiÕn thøc c¬ b¶n vµ kh¶ n¨ng vËn dông linh ho¹t c¸c c«ng cô to¸n häc cã tÝnh hÖ thèng, c¸c kÜ n¨ng, kÜ s¶o trong khi thùc hiÖn. Trong ch­¬ng tr×nh to¸n häc phæ th«ng tam thøc bËc hai ®ãng vai trß kh¸ quan träng, nªn viÖc hiÓu vµ n¾m v÷ng ®­îc lµ mét viÖc lµm v« cïng cÇn thiÕt, nã lµm tiÒn ®Ò vÒ sau cho c¸c em khi c¸c em tiÕp tôc häc lªn nh÷ng bËc cao h¬n. Trong ch­¬ng tr×nh to¸n häc líp 9 chóng ta ®· lµm quen víi ph­¬ng tr×nh bËc hai vµ hµm sè bËc hai. Song viÖc øng dông vµ vËn dông ph­¬ng tr×nh bËc hai, hµm sè bËc hai trong viÖc gi¶i c¸c lo¹i to¸n kh¸c nh­ thÕ nµo ch­a ®­îc quan t©m nhiÒu. ChÝnh v× lÏ ®ã trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y cho c¸c em ®Æc biÖt lµ häc sinh kh¸ giái ,t«i nhËn thÊy ®©y lµ ®iÒu cÇn quan t©m. §Ó gióp c¸c em hiÓu s©u vÒ tam thøc bËc hai vµ viÖc vËn dông nã vµo viÖc gi¶i c¸c lo¹i to¸n kh¸c; t«i m¹nh d¹n nªu lªn vÊn ®Ò:" vËn dông tam thøc bËc hai vµo gi¶i to¸n ë bËc THPT" Víi ®Ò tµi nµy, t«i hi väng sÏ gióp c¸c em n¾m v÷ng h¬n kiÕn thøc c¬ b¶n cña m«n häc vµ cã ®ñ tù tin khi thùc hµnh gi¶i to¸n. Tõ ®ã ph¸t huy ®­îc kh¶ n¨ng vËn dông kiÕn thøc linh ho¹t, kh¶ n¨ng s¸ng t¹o còng nh­ t­ duy ®éc lËp ®Æc biÖt gióp c¸c em cã mét hµnh trang tèt chuÈn bÞ cho mét cÊp häc cao h¬n. Tuy vËy do khu«n khæ cña ®Ò tµi còng nh­ kinh nghiÖm cßn h¹n chÕ ch¾c r»ng cßn gÆp nh÷ng thiÕu xãt kh«ng mong muèn, rÊt mong sù ®ãng gãp x©y dùng cña quÝ ®ång nghiÖp. GV: Lư Thành Giới 1
2. Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt MỘT SỐ DẠNG TOÁN VẬN DỤNG TAM THỨC BẬC HAI (I):GIẢI PHƯƠNG TRÌNH : A:KIẾN THỨC CƠ BẢN: Để vận dụng tam thức bậc hai vào giải phương trình ta đưa phương trình đó về dạng phương trình bậc hai dạng :ax 2+ bx + c = 0 bằng cách đặt hoặc biến đổi. Khi đưa phương trình đó về dạng phương trình bậc hai một ẩn ta đã có công cụ giải ở lớp 9. Đó là công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai . B :MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN : 1 : PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG A :KIẾN THỨC CƠ BẢN : Phương trình trùng phương có dạng : a x4 +bx2 +c =0 (a 0 ) Để đưa phương trìng trên về dạng phương trìng bậc hai ta đặt ẩn phụ :x2= t (t 0 ) Ta được phương trìng bậc hai : at2 +bt +c = 0 B.Ví dụ : Giải phương trình : 2x4-3x2-2=0 Giải : Đặt x2 =t Điều kiện t 0 ta được phương trình bậc hai đối với ẩn t . 2t2 - 3t - 2 = 0 =9 +16 = 25; =5 Phương trình có hai nghiệm: 3 5 1 3 5 t1= ; t2= 2 4 2 4 t2=2 thoả mãn điều kiện t2 0 . 2 với t=t2=2 ta có x =2 x1 = 2 ; x2=- 2 . Vậy phương trình có ha inghiệm : x1 = 2 ; x2=- 2 2: PHƯƠNG TRÌNG ĐỐI XỨNG BẬC CHÃN : A: KIẾN THỨC CƠ BẢN : Ta xét phương trình bậc bốn dạng : a x4 + bx3 +c x2 +bx +a = 0 (a 0; các hệ số của ẩn cách đều số hạng chính giữa ) vì x= 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của phương trình cho x2 ta có : ax4 bx3 cx2 bx a + 0 x2 x2 x2 x2 x2 b a a x2 + bx +c - 0 x x2 2 1 1 a(x ) b(x ) c 0 (1) x2 x 1 1 1 Đặt x+ y ta có : x2 + (x ) 2 2 y 2 2. x x 2 x GV: Lư Thành Giới 2
3. Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt Do đó phương trình ( 1) có dạng phương trình bậc hai : ay2 + by +c -2a = 0 (2) Giải phương trình bậc hai với ẩn số y ta tìm được y từ đó suy ra x . B: ví dụ : Giải phương trình : 2x4 + 3x3 - x2 +3x +2 = 0 Giải : Nhận thấy x= 0 không là nghiệm của phương trình , với x 0 chia cả hai vế của phương trình cho x2 ta được phương trình tương đương : 3 2 2x2 + 3x -1 + 0 x x 2 1 1 2(x 2 2 ) 3(x ) 5 0 x 2 x 1 1 2(x ) 2 3(x ) 5 0 x x 1 tới đây ta nhận thấy phương trình trên có dạng bậc hai nếu đặt x + y x đưa phương trình về dạng : 2y2 + 3y -5 = 0 giải phương trình ta được : 5 y1 =1 ; y2 = - 2 1 với x + 1 ta có : x2 + 1 -x = 0 vô nghiệm x 1 5 với x + 2x 2 + 5x + 2 = 0 giải phương trình ta được hai nghiệm : x 2 1 x1 = -2 ; x2 = - 2 C : NHẬN XÉT : phương trình đối xứng bậc chẵn nếu m là nghiệm thì 1 m cũng là nghiệm của phương trình . 5 4 3 2 Nếu phương trình có dạng : a x +bx cx +cx +bx +a = 0 được gọi là phương trình đối xứng bậc lẻ , phương trình này bao giờ cũng nhận - 1 làm nghiệm . Do đó có thể hạ bậc để đưa phương trình về phương trình đối xứng bậc chẵn mà ta vưà trình bày cách giải ở trên . 3 : PHƯƠNG TRÌNH HỒI QUY : A: PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẠNG : a x4+ bx3+cx2+dx +k = 0 (a 0) vì x= 0 không phải là nghiệm nên ta chia cả hai vế cho x2 ta được phương trình tương đương : k d a(x2 + ) + b(x + ) c 0 ax 2 bx k d d d 2 d trong đó : ( ) 2 đặt x + t x 2 t 2 2 a b bx b 2 x b GV: Lư Thành Giới 3
4. Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt k d hay x2 + t 2 2 vậy phương trình đã cho được đưa vể dạng phương trình ax 2 b bậc hai đối với ẩn t : ad at2 + bt + c +2 0 b B: ví dụ : Giải phương trình : 2x4 - 21x3 + 74x2 - 105x + 50 = 0 Giải : x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho x2 ta được phương trình tương đương : 25 5 2(x2 + ) 21(x ) 74 0 x 2 x 5 25 Đặt x + t x 2 t 2 - 10 x x 2 khi đó phương trình trên có dạng phương trình bậc hai đối với ẩn t 2t2 - 21t +54 = 0 Giải phương trình bậc hai trên ta được hai nghiệm : t1 = 6 và t2 = 4,5 5 2 với t1 = 6 ta có x 6 hay x - 6x + 5 = 0 x giải phương trình trên ta được : x1 = 1 ; x2 =5 5 2 với t2 = 4,5 ta có : x + 4,5 hay x - 4,5x + 5 = 0 x Giải phương trình ta được x3 = 2 ; x4 =2,5 vậy phương trình đã cho có các nghiệm là : x1 = 1 ; x2 = 5 ; x3 = 2 ; x4 =2,5 C : NHẬN XÉT : k d Phương trình hồi quy trong đó ( ) 2 ; k 0 có ẩn phụ dạng a b t =x + d bx 4 : PHƯƠNG TRÌNH DẠNG : (x + a) (x + b )(x + c)( x+ d) = m hoặc : ( x + a )(x +b)(x + c)(x +d) = mx2 A: ví dụ1: Giải phương trình : ( x + 1 )( x+ 2)(x +3)(x+4) =3 Giải : GV: Lư Thành Giới 4
5. Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt ( x+1)(x+2)(x +3)( x+4) = 3 ( x+1)(x+4)(x+2)(x+3) = 3 (x2 + 5x +4 )(x2 +5x+6) = 3 Đặt : x2 +5x + 4 = t ta được phương trình bậc hai với ẩn t : t(t + 2) = 3 t2 +2t-3 = 0 Giải phương trình bậc hai đối với ẩn t ta được : t1 =1 ;t2 = -3 2 2 với t1 = 1 ta có : x +5x+4 = 1 x +5x +3 =0 Giải phương trình ta được : 5 13 x1;2 = 2 2 2 t2 = -3 ta có : x +5x+4= -3 x + 5x + 7 = 0 ; phương trình này vô nghiệm (vì = 25 - 28 < 0 ) 5 13 vậy phương trình đã cho có nghiệm : x1;2 = 2 B.Ví dụ 2 : giải phương trình : 4(x+5)(x+6)(x+10)(x+12) = 3x2 (1) Giải : (1) 4(x2+17x + 60)(x2 + 16x + 60) = 3x2 60 60 4(x +17 + )(x + 16 + ) = 3 (vì x 0) x 2 x Đặt x+16 + 60 = y x Ta được phương trình bậc hai ẩn y : 4y2 + 4y - 3 = 0 Phương trình có hai nghiệm vì / = 4 + 12 = 16 Giải phương trình ta được : 1 3 y1 = ; y2 = 2 2 1 2 với y1 = ta có : 2x + 31x +120 = 0 2 15 giải phương trình ta được x1 = - 8 ;x2 = - 2 3 2 với y2 = - ta có : 2x + 35x + 120 = 0 giải phương trình ta được : 2 GV: Lư Thành Giới 5
6. Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt 35 265 x3;4 = 4 vậy phương trình đã cho có nghiệm : 15 35 265 x1 = - 8 ; x2 = ; x3;4 = 2 4 C: NHẬN XÉT : Đối với tphương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = 0 trong đó a + d = b +c ta nhóm (x a)(x d)(x b)(x c) m từ đó ta đặt ẩn phụ để đưa phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai một ẩn . Đối với phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx2 trong đó :ad = bc ta nhóm (x a)(x d)(x b)(x c) mx 2 ẩn phụ có thể đặt là : y= x + ad hoặc y = (x + a)(x + d). x Đối với phương trình dạng d(x + a)(x + b)(x + c) = mx trong đó d = a b c 2 m = (d - a)(d - b)(d - c) ta đặt ẩn phụ y = x + d một nghiệm của phương trình là y y = 0 5: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ : A) CƠ SỞ LÍ THUYẾT : Trong quá trình giải phương trình vô tỉ đôi khi ta gặp những phương trình nếu ta dùng phương pháp bình phương hai vế để phá căn thức bậc hai thì dẫn đến phương trình bậc cao mà việc giải phương trình đó không đơn giản . Song nếu khéo léo đặt ẩn phụ ta có thể qui phương trình đó về phương trình bậc hai sau đây ta sẽ xét một vài ví dụ: B) VÍ DỤ : Ví dụ 1: Giải phương trình : 2x2 - 8x - 3 x 2 4x 5 = 12 (2) Giải : (2) 2(x 2 4x 5) 3 x 2 4x 5 - 2 = 0 Đặt x 2 4x 5 = t (t 0) ta quy phương trình bậc hai với ẩn t : 2t2 - 3t - 2 = 0 1 Giải phương trình này ta được hai nghiệm t1 = 2 ; t2 = - 2 1 với t2 = - loại ( vì t 0) 2 2 với t1 = 2 ta giải phương trình : x 4x 5 = 2 hai vế không âm phương trình GV: Lư Thành Giới 6
7. Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt tương đương với x2 - 4x - 5 = 4 x2 - 4x - 9 = 0 giải phương trình trên ta được hai nghiệm : x1;2 = 2 13 ví dụ 2 : Giải phương trình : (4x - 1) x 2 1 = 2x2 + 2x + 1 Giải : Nếu bình phương hai vế để phá căn thức ta quy về phương trình bậc bốn đầy đủ việc giải gặp khó khăn hơn , nếu đặt t = x 2 1 ( t 1) x2 = t2 - 1 phương trình trên trở thành (4x - 1)t = 2(t2 - 1) + 2x + 1 ta quy về phương trình bậc hai đối với ẩn t : 2t2 -(4x - 1)t + 2x - 1 = 0 = (4x - 1)2 - 8(2x - 1) = (4x - 3)2 4x 1 (4x 3) t1;2 = 4 1 t1 = 2x - 1 ; t2 = < 0 (loại) 2 với t = 2x - 1 thay t = x 2 1 ta được phương triình: 4x2- 4x + 1 = x2+ 1 (t 1) 3x2 - 4x = 0 4 Giải phương trình ta được x1 = ; x2 = 0 (loại) 3 vậy x = 4 là nghiệm của phương trình đã cho. 3 6: Giải và biện luận phương trình : A)KIẾN THỨC CƠ BẢN: Đối với phương trình bậc cao với những tham số đây không phải là những phương trình đặc biệt nên việc giải đôi khi rất khó khăn, nếu phương trình đã cho có tham số là bậc hai ta có thể đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai đối với ẩn là tham số: b) Ví dụ: Giải và biện luận phương trình : x4 - 10x3 - 2(a - 11)x2 +(5a + 6)x + 2a + a2 = 0 Giải : Phương trình trên có thể viết dưới dạng: a2 - 2(x2 - 5x - 1)a + (x4 - 10x3+ 22x2 - 12x ) = 0 / 2 2 4 3 2 2 a = (x - 5x - 1) - (x - 10x + 22x - 12x ) = (x - 1) 2 2 a1 = x - 4x - 2 ; a2 = x - 6x - Với a = x2 - 4x - 2 x2 - 4x - 2 - a = 0 ta có : = 4+ 2+ a = 6 + a GV: Lư Thành Giới 7