Sáng kiến kinh nghiệm Vài kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải toán

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Vài kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải toán

1. Lê Trinh Tường Tổng kết kinh nghiệm 03-04 VÀI KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI TOÁN LỜI MỞ ĐẦU Trong những năm giảng dạy bộ môn toán ở trường phổ thông tôi thường được nhiều học sinh yêu toán hỏi : Tại sao khi giải bài toán này phải bắt đầu như thế này hoặc thế kia ? Khi đọc sách giải em không hiểu tại sao người giải lại biết phải xuất phát từ đối tượng mà tưởng chừng như không liên quan(!) đến đối tượng cần phải tìm ? . Những câu hỏi như thế đã làm tôi suy nghĩ và trăn trở nhiều trong quá trình truyền thụ tri thức cho học sinh .Đành rằng việc giải toán là một quá trình mò mẫm tìm tòi dựa trên những hiểu biết của người học toán .Tuy nhiên có người phải mầy mò rất lâu lại có người tìm được hướng giải khá nhanh bí quyết là ở chỗ nào ?! Mặc dù việc hướng dẫn học sinh giải toán đã có nhiều thầy ,cô giáo đề cập khá nhiều ,thậm chí còn thực hiện trên tầm vĩ mô hơn xong việc trình bày lại một chút ít kinh nghiệm của từng cá nhân thiết nghĩ là không thừa. Bằng những kinh nghiệm nhỏ nhoi của bản thân xin viết ra đây để chúng ta cùng nhau bổ sung và hoàn thiện hầu giúp cho học sinh chúng ta có thêm phương pháp học tốt hơn . Rất mong được sư đóng góp xây dựng của quí đồng nghiệp ! A/ Quan niệm về việc giải toán : Có thể coi một bài toán là một chuỗi hữu hạn các gút logíc được nguỵ trang khá công phu . Người làm toán cần phải tìm cách mở có hệ thống các gút logíc đó ,quá trình gồm hai giai đoạn . 1- Định hướng giải . 2- Kỷ năng giải bài toán . Trong quá trình giải toán hai nội dung trên có khi tiến hành đồng thời nhưng cũng có khi tiến hành riêng biệt,người làm toán cần nhận thức rõ ý nghĩa và tác dụng của mỗi nội dung và sự tương hỗ của chúng.Mặc dù kỷ năng giải bài toán là quan trọng nhưng việc định hướng giải là giai đoạn có tính quyết định bỡi các lí do sau: i) Kỷ thuật giải toán cao , thành thạo trong các thao tác ,các phép tính nhưng chưa có phương hướng ,hoặc chưa có phương hướng tốt sẽ không có lời giải hoặc chưa có lời giải tốt 2i)Định hướng giải bài toán giúp cho học sinh khả năng làm việc độc lập ,tư duy logic , sáng tạo ,linh hoạt . B/Nội dung việc định hướng giải các bài toán: 1) Đối với mỗi bài toán người giải toán cần nắm rõ đề bài cho gì ,tìm gì ,nghĩa là nắm chắc giả thiết ,các điều kiện liên quan cũng như yêu cầu mà đề bài cần xác định. Từ đó giúp ta phân loại bài toán ,vạch đường lối để giải và tìm phương pháp cũng như công cụ thích hợp . 2) Phân tích các giả thiết ,những tiềm ẩn sau những giả thiết những điều kiện liên quan.Làm sáng tỏ nguồn gốc các giả thiết và điều kiện của bài toán ,có khi còn phân tích kết quả của bài nhằm tìm mối liên hệ giữa các đối tượng cho và đối tượng phải tìm. 3) Tìm kiếm các bài toán liên quan nhằm tương tự hoá trong quá trình suy luận ;đồng thời sáng tạo bài toán mới . Trong các nội dung trên ,tuy mỗi nội dung có những yêu cầu khác nhau nhưng lại có quan hệ hỗ trợ cho nhau một cách đắc lực .Vì vậy khi giải một bài toán ta cần phải tiến hành toàn diện các nội dung trên . Trường THPT Trưng Vương Quy Nhơn Tổ : Toán – Tin 1
2. Lê Trinh Tường Tổng kết kinh nghiệm 03-04 C/ Các phương pháp tìm tòi lời giải : I-Phương pháp khai thác giả thiết của bài toán: Đây là công việc đầu tiên của người làm toán ,làm tốt được điều này giúp chúng ta nắm được đặc điểm về dạng của bài toán ,tức là nắm được phần hình thức của bài toán .Trên cơ sở sự thống nhất giữa nội dung và hình thức (quan hệ biện chứng của triết học ) giúp ta khám phá những đặc điểm trong nội dung của bài toán .(mà hình thức là muôn màu muôn vẻ) 1/Tìm hiểu những con số biết nói trong bài toán: Ví dụ1: Giải phương trình 2(tgx - sinx) + 3(cotgx - cosx) + 5 = 0 . (1) *Nhận xét và hướng giải :Sự xuất hiện các con số 2 và 3 trong hai hạng tử đầu của phương trình giúp ta nghĩ đến việc phân tích số 5 = 2 + 3 . Khi đó (1) 2(tgx - sinx + 1) + 3(cotgx - cosx + 1) = 0 .( phương trình thuần cung nhưng đa hàm lượng giác thử làm giảm bớt hàm) sin x cos x 2( sin x 1) 3( cos x 1) 0 cos x sin x 2 3 (sinx + cosx - sinx.cosx ) ( ) 0 cos x sin x sin xcos x 0 sin x cos x sin xcos x 0 2 3 đến đây ta đã đưa về việc giải các phương 0 cos x sin x trình quen thuộc . Ví du2: Cho phương trình : x2 x 1 x2 x 1 m (2).Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm ? *Nhận xét và hường giải: Đây là bài toán trong bộ đề thi tuyển sinh ,cách giải trong bộ đề có phần khó hiểu . Ta hãy biến đổi các biểu thức trong các căn thức để tìm hình thức thể hiện khác của phương trình . 1 3 1 3 (2) (x )2 ( )2 (x )2 ( )2 m . Từ những con số ,biểu thức số có mặt 2 2 2 2 trong phương trình giúp ta nghĩ đến công thức tính độ dài các véc tơ trong mặt phẳng Oxy, chuyển hướng giải bằng phương pháp toạ độ phẳng như sau : 1 1 3 Trong mpOxy xét các điểm A( ,0) , B( ,0) , M (x, ) , ta có : 2 2 2 1 3 1 3 AM (x , ) => AM= x2 x 1 và BM (x , ) => BM = x2 x 1 2 2 2 2 Do đó : x2 x 1 x2 x 1 m AM -BM = m 3 Ta còn có AM BM AB 1 , M (x, ) .Do đó phương trình có nghiệm với các 2 3 điểm M (x, ) thoã AM BM AB 1 hay m 1. 2 Ghi chú : Các bạn có thể tìm thêm ở những bài toán thường gặp có liên quan các con số biết nói chứ không phải biết hù. Trường THPT Trưng Vương Quy Nhơn Tổ : Toán – Tin 2
3. Lê Trinh Tường Tổng kết kinh nghiệm 03-04 2/Tìm hiểu các nhóm hạng tử tham gia trong bài toán: *Nhóm hạng tử tham gia trong bài toán có sự biểu diễn qua lại . Cái khó khăn của bài toán là các mối liên hệ vốn có giữa các đại lượng tham gia trong bài toán thường dễ thấy được nhưng có khi lại "ẩn nấp" khá kín đáo ,đến nỗi người giải toán tưởng chừng là chúng không có liên quan gì với nhau. Bài có những nhóm hạng tử kiểu này ta thường dùng phương pháp đặc ẩn phụ. 6 Ví dụ3: Giải phương trình sau 4sin x 3cos x 6 , (3) 4sin x 3cos x 1 Dễ thấy ẩn phụ cần đặc u = 4sinx + 3cosx = 5sin(x+ ) , trong đó là góc có tg = 3/4 Điều kiện :4sinx + 3cosx +1 0 . u 4sin x 3cos x, 5 u 5 u 4sin x 3cos x Ta có : (3) 6 u 0 , -5 u 5 ,u 1 u 6 1 u u 5 Trở lại tìm x , giải pt i ) 5sin(x+ ) = 0 x + = k , k  x = - + k , k  2i ) 5sin(x+ ) = 5 sin(x+ ) = 1 x = ( ) l2 , l  2 Đôi khi ta phải biến đổi các nhóm hạng tử tham gia trong phương trình mới thấy được mối liên hệ giữa các hạng tử tìm cơ hội để chọn ẩn phụ thích hợp . sin 2 (x ) 4 tg (x ) Ví dụ4 :Giải bất phương trình : 2 4 2.0,25 cos 2x 1 (4) *Nhận xét định hướng giải : Trong bất phương trình trên có chứa các hàm số mũ có cơ số quan hệ rõ rệt không là mối bận tâm .Tuy nhiên các nhóm hạng tử ở mũ là những biểu thức lượng giác liệu có mối liên hệ bên trong qua cái hình thức biểu hiện đồng sàn dị tịch này chăng? .Ta hãy thử thăm dò qua việc biến đổi hai biểu thức ở mũ . Ta có : cos2x = -(sin2x - cos2x) = - (sinx - cosx )( sinx + cosx ) , (tìm cách quy cung) = - 2 sin(x ). 2 sin(x ) 2sin(x )cos(x ) 4 4 4 4 sin 2 (x ) 1 Do đó: - 4 tg(x ) , đến đây ta đã có cơ hội để thực hiện việc đặt ẩn phụ. cos2x 2 4 tg (x ) tg (x ) tg (x ) u 2 4 0,cos2x 0 4 4 Ta có : (4) 2 2.2 1 1 u 2. 1 0 u tg (x ) tg (x ) 4 4 u 2 u 2 0 u 2 2 u u 2 0 u 1 u 2 tg (x ) Trở lại tìm x ,ta giải bất phương trình 2 4 2 ,việc giải bất phương trình này đơn giản (xin nhường cho bạn đọc) Ghi chú : Các bạn có thể tìm thêm ở những bài toán thường gặp có liên quan các nhóm hạng tử có cách biểu hiện như trên để thực hành ,xin chúc các bạn thành công. 3/Tìm hiểu bài toán qua việc thể hiện tính chất của hình (của điểm) ,vị trí tương đối của các đường,dạng của các biểu thức ,khai thác các điều kiện v.v . Trường THPT Trưng Vương Quy Nhơn Tổ : Toán – Tin 3
4. Lê Trinh Tường Tổng kết kinh nghiệm 03-04 Ví dụ 5: Cho tam giác nhọn ABC có BC= a ,CA = b , AB = c . Gọi đường cao hạ từ các đỉnh A,B,C xuống các cạnh BC ,CA và AB tương ứng là ha ,hb ,hc . M là điểm bất kỳ trong tam giác đó ,khoảng cách từ M đến các cạnh BC ,CA,và AB tương ứng là x , y và z . x y z a) Tính P = ha hb hc b) Xác định vị trí của điểm M sao cho tổng : T = MA + MB + MC đạt giá trị bé nhất *Nhận xét định hướng giải :Do vai trò của các đỉnh A,B,C , các đường cao h a ,hb ,hc trong tam x giác các giá trị x ,y z có vai trò như nhau cho nên việc tính P qui về tính đối tượng rồi bằng ha phép tương tự ta có thể đạt được kết quả. * Để tính x/ha ta xem x và ha là chiều cao của hai tam giác có chung cạnh đáy BC đó là MBC và ABC . Ta có x x.BC 2S S BMC BMC . ha ha BC 2SBAC S ABC Áp dụng tương tự ta thu được y S z S AMC và AMB hb S ABC hc S ABC S S S S Do đó P= BMC CMA AMB ABC 1 S ABC S ABC c) Ta cần đánh giá tổng độ dài các đoạn thẳng trong T = MA + MB + MC, qua các đoạn thẳng bằng nó ,điều này dẫn ta nghĩ đến việc thực hiện một phép dời hình , vì phép dời hình bảo toàn khoảng cách .Ta thử chọn phép quay để thực hiện và thăm dò, có nên chuyển về độ dài ba cạnh của tam giác không ? nếu làm được việc này thì chúng ta có nhiều cơ sở để lập luận dựa vào các bất đẳng thức quan hệ về cạnh của tam giác và thú vị hơn khi tam giác suy biến . Xét phép quay tâm B góc quay 600 - Q(B,600) : C C' BM =BM' M M' => MBM'= 600 Suy ra : MBM' đều => BM = MM' (a) kết hợp CM = C'M' (t/c Q(B,600)) Ta được T=MA+ MB + MC = AM + MM' + M'C' AC' (B,C cố định luôn tồn tại M thuộc tam giác ABC thoả điều này) => min T = AC' . Dấu bằng xảy ra A,M,M',C thẳng hàng ,khi đó góc tạo bỡi MC và M'C' khiệu :(MC,M'C') = 600 => B· MC = 1200 (vì B·MM ' = 600 ) Mặt khác ,phép Q(B, 600) : NB M'C' và A· MB = 1200 => A· MC = 1200 Do đó : B· MC = A· MB = A· MC = 1200 . Kluận : Điểm M là giao điểm của 3 cung chứa góc 120 0 được dựng trên 3 cạnh của ABC . Ghi chú : Các bạn thử dùng phép đối xứng trục để giải bài toán và cho biết nhận định của mình hoặc có thể quay tam giác AMC một góc 600 để giải bài toán. *Trong bài kiểm tra số 2 môn đại số của khối 11 có bài toán sau : Cmr ,nếu x,y > 0 và Trường THPT Trưng Vương Quy Nhơn Tổ : Toán – Tin 4