Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng tâm tỉ cự của hệ điểm giải bài toán cực trị hình học giải tích trong không gian

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng tâm tỉ cự của hệ điểm giải bài toán cực trị hình học giải tích trong không gian

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ TRƯỜNG THPT LÊ LỢI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG TÂM TỈ CỰ CỦA HỆ ĐIỂM GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Lĩnh vực: Toán học Tên tác giả: Nguyễn Thị Minh Nguyệt Chức vụ : Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Lê Lợi NĂM HỌC 2018-2019
2. MỤC LỤC Trang A. Mục đích 2 I.Lý do 2 II. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu 2 III.Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 2 IV. Phương pháp nghiên cứu 2 V. Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu 2 B. Nội dung I.Cơ sở lý luận 3 II. Đánh giá thực trạng 3 III. Phương pháp sử dụng tâm tỉ cự để giải bài toán cực trị hình học giải tích trong không gian 1. Lý thuyết 3 2. Bài toán tổng quát 1 5 3. Bài toán tổng quát 2 8 C. Kết luận 9 Tài liệu tham khảo 10 Phụ lục 10 1
3. A. MỤC ĐÍCH I. Lý do chọn đề tài Với ý tưởng hướng đến kỳ thi THPTQG năm 2019. Tôi nhận thấy rằng để học sinh trường tôi tiếp cận được những câu hỏi vận dụng trong đề thi là một vấn đề khó khăn, tuy nhiên qua tìm hiểu đề minh học của Bộ giáo dục, đề thi thử của các trường tôi thấy có một số bài toán về sử dụng tâm tỉ cự để tìm cực trị đối với hình học giải tích trong không gian, đây là một dạng toán có thể khai thác, tổng quát và đặc biệt rất phù hợp với năng lực học sinh trường tôi. Chính vì vậy để giúp các em ôn tập tốt, đạt điểm cao trong kỳ thi THPTQG năm nay, tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm sau đây: “ỨNG DỤNG TÂM TỈ CỰ CỦA HỆ ĐIỂM GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN” II. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu 1.Mục đích: Phương pháp sử dụng tâm tỉ cự để tìm cực trị. 2.Nhiệm vụ: Tìm hiểu khái niệm tâm tỉ cự Phương pháp tìm cực trị trong không gian Thông qua việc phân tích và giải quyết các ví dụ cụ thể hình thành cho học sinh kỹ năng để giải bài toán cực trị hình học giải tích trong không gian. III. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Kiến thức hình học phẳng về vectơ (lớp 10) và phương pháp tọa độ Oxyz ( lớp 12) Đối tượng khảo sát là học sinh lớp 12A1,12A4 trường THPT Lê Lợi IV. Phương pháp nghiên cứu 1. Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết 2. Phương pháp phân loại và hệ thống hóa lý thuyết 3. Phương pháp kiểm tra đánh giá. V. Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu Thời gian nghiên cứu:Trong năm học 2018-2019, bắt đầu từ tháng 8/2018 và kết thúc vào tháng 5/2019. B. NỘI DUNG I. Cơ sở lý luận Tâm lý của đa số học sinh hiện nay đều rất ngại học toán, cùng với việc đổi mới kỳ thi tự luận sang trắc nghiệm nên khi gặp những bài toán khó học sinh lười suy nghĩ, không đầu tư thời gian và công sức tìm ra hướng giải quyết cho bài toán mà chỉ chọn “hú họa” một phương án nào đó, tuy nhiên cũng có nhiều học sinh có tiềm năng nhưng do nhiều nguyên nhân khác nhau chẳng hạn như: quên kiến thức của lớp dưới, chưa xây dựng được kế hoạch học tập theo các chuyên đề của môn toán, chưa biết phương pháp học tập môn toán, chưa biết cách tìm kiếm thông tin hoặc biết nhưng còn lười nhác nên cũng không có hứng thú với việc học toán. Xác 2
4. định được các nguyên nhân trên là điều rất quan trọng và cần thiết đối với mỗi học sinh. Công việc tiếp theo của giáo viên là tìm cách khắc phục các nguyên nhân trên. Giáo viên phải khơi gợi lại sự đam mê của các em, hướng dẫn cho các em biết cách tổng hợp kiến thức và tổng quát lên thành lớp các bài toán tương tự giúp các em học toán một cách nhẹ nhàng mà hiệu quả vẫn cao. II. Đánh giá thực trạng Qua tìm hiểu đồng nghiệp, thăm dò ý kiến học sinh và từ thực tế giảng dạy tôi nhận thấy năng lực học hình của học sinh trường tôi còn hạn chế, đặc biệt đối với các bài toán liên quan đến cực trị trong hình học không gian. Để góp phần nâng cao năng lực học tập và tạo hứng thú cho các em đối với bộ môn hình học nói chung và hình học giải tích trong không gian nói riêng, tôi đề xuất hai bài toán về ứng dụng tâm tỉ cự sau đây bước đầu giúp các em có định hướng đi tìm lời giải bài toán cực trị hình học giải tích trong không gian nhằm giúp các em đạt kết quả cao hơn trong học tập. III. Phương pháp sử dụng tâm tỉ cự để giải bài toán cực trị hình học giải tích trong không gian 1. Lý thuyết * Tâm tỉ cự: Trong không gian, cho hệ n điểm AAA1, 2 , , n và n số thực k, k , , k thỏa mãn k k k k 0 . Khi đó, tồn tại duy nhất một điểm 1 2 n 1 2  n   I trong không gian thoả mãn: k1 IA 1 k 2 IA 2 kn IA n 0 Điểm I như thế được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm A gắn với các hệ số i i 1, n k . i i 1, n * Nhận xét: Trong không gian Oxyz cho Axyz; ; , Axyz ; ; , , Axyz ; ; , Ixy ; ;z 1 A1 A 1 A 1 2 A 2 A 2 A 2 n An A n A n k1 xA k 2 x A k n x A x 1 2 n k k k 1 2 n k y k y k y Ta có công thức để tính tọa độ điểm I y 1A1 2 A 2 n An . k k k 1 2 n k z k z k z z 1A1 2 A 2 n An k1 k 2 kn 2. Bài toán tổng quát 1. Bài toán tổng quát 1: Trong không gian, cho n điểm AAA1, 2 , , n và n số thực k1, k 2 , , kn thỏa mãn k1 k 2 kn k 0 . Cho đường thẳng d hoặc mặt 3
5. phẳng P . Tìm điểm M trên đường thẳng d hoặc mặt phẳng P sao cho    k1 MA 1 k 2 MA 2 kn MA n đạt giá trị nhỏ nhất. Phương pháp:    + Tìm điểm I thỏa mãn: k1 IA 1 k 2 IA 2 kn IA n 0 .     + k1 MA 1 k 2 MA 2 kn MA n k MI + Điểm M cần tìm là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng d hoặc mặt phẳng P . Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz , cho các điểm AB 1;1;2 ; 0; 1; 3 . Xét điểm    M thay đổi trên mặt phẳng Oxz , giá trị nhỏ nhất của OM 2 MA 3 MB bằng? 3 1 1 A. 1. B. . C. . D. . 2 2 4 Lời giải Chọn A 2xAB 3 x x 4    2yAB 3 y 1 1 5 Gọi I x;; y z thỏa OI 2 IA 3 IB 0 y I ;; . 4 2 4 4 2z 3 z z AB 4         Ta có : OM 2 MA 3 MB OI 2 IA 3 IB 4 MI 4 MI .     OM 2 MA 3 MB nhỏ nhất 4 MI nhỏ nhất MI  Oxz .  Lúc đó 4MI 4 d I ; Oxz 1. Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 điểm AB 1;2;3 , 2;4;3 , x 6 y 9 z 1 C 5;0;8 và đường thẳng có phương trình : . Tìm 2 5 1    điểm M a;; b c trên sao cho 5MA 3 MB MC nhỏ nhất. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng? A. a b c 0. B. a b c . C. 2a b 3 c . D. 2a 3 b c 0. Lời giải Chọn A 4
6. Gọi I x;; y z là điểm thỏa mãn x 5 x 3 x x    ABC 53IA IB IC 0 y 53 yABC y y I 4;2;2. z 5 zABC 3 z z           Ta có 5MA 3 MB MC 5 MI 5 IA 3 MI 3 IB MI IC MI MI .    Vậy 5MA 3 MB MC nhỏ nhất MI  hay M là hình chiếu vuông góc của I trên . Ta có phương trình mặt phẳng P đi qua I và vuông góc với là 2x 5 y z 4 0. Vậy MPM  2;1; 3 Nhận xét: Nếu giả thiết bài toán thay đổi tìm điểm trên mặt cầu thỏa mãn yêu cầu cho trước, ta có thể tiến hành như sau Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm 2 2 2 1 ABC 0;1;1 , 3;0; 1 , 0;5; 6 và mặt cầu S : x 1 y 1 z 2 . 2 Biết điểm M x;; y z M x;; y z thuộc mặt cầu S và thỏa mãn giá trị của    T 3 MA 2 MB MC đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó tổng P x y z bằng 5 3 A. P 3. B. P . C. P . D. P 3. 2 2 Lời giải Chọn C    4 5 Gọi I là điểm thỏa mãn 5IA 2 IB IC 0, khi đó I 1; ; . 3 6     T 3 MA 2 MB MC 6 MI 6 MI . Do đó T nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất M là một trong hai giao điểm của đường 1 thẳng IE và mặt cầu S với E 1;1; là tâm của S . 2 3 x 1 M1 1;2; 2 Phương trình đường thẳng IE: y 1 t M IE  S 1 1 M 2 1;0; z t 2 2 5
7. 2 2 4 2 Ta có IM , IM . 13 2 3 3 3 3 Vậy M1 1;2; là điểm cần tìm. Vậy P 1 2 . 2 2 2 3. Bài toán tổng quát 2 Bài toán tổng quát 2: Trong không gian, cho n điểm AAA1, 2 , , n và n số thực k1, k 2 , , kn thỏa mãn k1 k 2 kn k 0 . Cho đường thẳng d hoặc mặt phẳng P . Tìm điểm M trên đường thẳng d hoặc mặt phẳng P sao cho 2 2 2 T k1 MA 1 k 2 MA 2 kn MA n đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc đạt giá trị lớn nhất). Phương pháp:    + Tìm điểm I thỏa mãn: k1 IA 1 k 2 IA 2 kn IA n 0 . 2 2 2 2 2 2 2 + T k1 MA 1 k 2 MA 2 kn MA n kMI k1 IA 1 k 2 IA 2 kn IA n . 2 2 2 + Do k1 IA 1 k 2 IA 2 kn IA n không đổi nên Nếu k 0 , T nhỏ nhất khi điểm M cần tìm là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng d hoặc mặt phẳng P . Nếu k 0 , T lớn nhất khi điểm M cần tìm là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng d hoặc mặt phẳng P . Ví dụ 1. ( Câu 41 đề minh họa 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2; 2;4 , B 3;3; 1 và mặt phẳng P : 2 x y 2 z 8 0. Xét M là điểm thay đổi thuộc P , giá trị nhỏ nhất của 2MA2 3 MB 2 bằng A. 135 . B. 105 . C. 108 . D. 145 . Lời giải Chọn A   Gọi I x;; y z là điểm thỏa mãn 2IA 3 IB 0 suy ra I 1;1;1 IA2 27 ; IB2 12 ; d I, P 3   2   2  2  2  2 2MA2 3 MB 2 2 MI IA 3 MI IB 5MI 2 IA 3 IB 5MI 2 90 Suy ra 2MA2 3 MB 2 nhỏ nhất MI nhỏ nhất Mà MI d I, P 3 Vậy 2MA2 3 MB 2 5.9 90 135. 6
8. Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm ABC 2;2; 1, 1;2;1, 2;3; 1 và M thay đổi thuộc mặt phẳng P :5 x y 3 z 4 0. Tìm giá trị lớn nhất của MA2 4 MB 2 2 MC 2 . A. 35 . B. 31. C. 66. D. 97. Lời giải. Chọn B    Gọi điểm I x;; y z thỏa mãn hệ thức IA 4 IB 2 IC 0 xABC 4 x 2 x x x 2    Ta có IA 420 IB IC y 42 y y y y 0 I 2;0;7. ABC zABC 4 z 2 z z z 7 MA2 4 MB 2 2 MC 2 IA 2 4 IB 2 2 IC 2 IM 2 84 4.49 2.89 IM 2 66 IM 2 . Do đó MA2 4 MB 2 2 MC 2 lớn nhất IM bé nhất 5. 2 3.7 4 IM d I; P 35. 25 1 9 Suy ra max MA2 4 MB 2 2 MC 2 31. Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm ABC 3;4; 1, 2;1;4, 1;2;3 và x 1 y 6 z 9 M a;; b c thay đổi thuộc đường thẳng : sao cho 2 5 3 2MA2 3 MB 2 4 MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng P a b c. A. P 3 . B. P 10. C. P 4 . D. P 3 . Lời giải. Chọn C    Gọi điểm I x;; y z thỏa mãn hệ thức 2IA 3 IB 4 IC 0 2xABC 3 x 4 x x x 4    Ta có 234IA IB IC 0234 y y y y y 3 I 4;3;2. ABC 2zABC 3 z 4 z z z 2 2MA2 3 MB 2 4 MC 2 2 IA 2 3 IB 2 4 IC 2 IM 2 Do đó 2MA2 3 MB 2 4 MC 2 nhỏ nhất IM nhỏ nhất M là hình chiếu vuông góc của I lên .  Ta có M 12;65;93 t t t IM 2 t 5;5 t 9;3 t 7. 7