Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng tam giác đồng dạng vào giải bài tập

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng tam giác đồng dạng vào giải bài tập

1. Tam giác đồng dạng và vận dụng T.giả: Lê Văn Hậu I. Đặt vấn đề Hiện nay việc vận dụng các kiến thức toán học vào giải bài tập là một yêu cầu quan trọng trong việc dạy và học toán, đặc biệt là việc vận dụng kiến thức hình học trong học tập và trong ứng dụng đời sống hàng ngày lại càng quan trọng hơn. Thông qua vấn đề này, người học không những củng cố được kiến thức – mở rộng nhận thức mà còn hình thành nâng cao phẩm chất quý giá trong học tập: Rèn tính cẩn thẩn chính xác, tính độc lập suy nghĩ, phát triển tư duy sáng tạo. Biết lập luận chứng minh logic và vận dụng vào thực tiễn. Từ xa xưa con người đã thấy được vai trò quan trọng của hình học trong cuộc sống. Họ biết cách vận dụng toán học vào tính toán, xác định vị trí địa lý, vào cách tính thiên văn, vẽ hình, Như nhà toán học Talet (Hi Lạp) vào khoảng thế kỷ thứ V trước công nguyên, từ lúc còn trẻ đã biết vận dụng tính chất của tam giác đồng dạng để tính được chiều cao của kim tự tháp Ai Cập bằng một phương pháp hết sức đơn giản, nhưng điều đó lại có ý nghĩa thật vĩ đại cho toán học đương thời, và những công trình nghiên cứu của ông là một kho tàng quý giá cho hình học ngày nay. Bộ môn hình học là một phần quan trọng trong chương trình toán học THCS, một trong những nội dung quan trọng đó trong chương trình hình học 8 là chương III: ” Tam giác đồng dạng”. Thông qua tam giác đồng dạng, ta có thể vận dụng giải được một số dạng toán cần thiết như: 1. Chứng minh hai góc bằng nhau. 2. Lập được các đoạn thẳng tỉ lệ mà không cần tính độ dài. 3. Tính độ dài các đoạn thẳng. 4. Chứng minh các đẳng thức trong hình học. 5. Chứng minh tích của các đoạn thẳng không đổi. 6. Chứng minh tia phân giác của một góc. Chú thích: Trong bài viết có sử dụng - Kí hiệu góc:  (Ví dụ: A - góc A) 1 - Kí hiệu đồng dạng: 
2. Tam giác đồng dạng và vận dụng T.giả: Lê Văn Hậu 7. Tính chu vi, diện tích của tam giác. 8.ứng dụng tam giác đồng dạng vào thực tiễn (như xác định chiều cao của một vật, xác đinh khoảng cách giữa hai địa điểm trong dó có một điểm không thể tới được, vẽ hình đồng dạng, ). 9.áp dụng vào hình học lớp 9 để chứng minh tứ giác nội tiếp Và một số dạng toán khác có liên quan. Trong thực tế hiện nay, phần lớn học sinh chưa vận dụng thành thạo lý thuyết vào chứng minh tam giác đồng dạng, và ngược lại chưa biết khai thác triệt để các tính chất của tam giác đồng dạng vào giải toán. Nguyên nhân chủ yếu là do học sinh chưa nắm vững kiến thức, chưa hiểu hết mục đích, ý nghĩa của việc học toán. Trong chương trình sách giáo khoa chưa nói tường minh các vấn đề nên học sinh chưa tiếp nhận kiến thức một cách chặt chẽ; suy diễn lập luận trong chứng minh hình học còn lủng củng, chưa hiểu hết bản chất của bài toán dẫn đến có những định hướng lệch lạc, những suy luận thiếu chính xác, sai kết quả. Điều đó dẫn đến có nhiều em lại tỏ vẻ chán nản, lơ là với bộ môn toán. Qua đó tôi nhận thấy rằng việc nghiên cứu hướng dẫn học sinh học tập, vận dụng kiến thức của tam giác đồng dạng vào giải toán là một yêu cầu quan trọng trong học tập hiện nay. Việc này không những giúp học sinh củng cố được các kiến thức về các trường hợp đồng dạng của hai tam giác, các suy luận được rút ra khi biết được hai tam giác đồng dạng, chứng minh các bài tập hình học với những kiến thức liên quan; rèn luyện kĩ năng phân tích suy diễn trong hình học, rèn tính cẩn thận, chính xác trong vẽ hình và trình bày bài làm. Mà còn giúp cho giáo viên khắc sâu thêm kiến thức, rèn luyện khả năng sáng tạo và đặt ra những bài toán hay để truyền đạt cho học sinh, kích thích học sinh có hứng thú học toán, giúp các em yêu thích môn toán hơn. Ngoài ra giáo viên còn rèn luyện được cho mình phong cách dạy toán, trình bày bài dạy bằng lời nói, chữ viết và kĩ năng vẽ hình, cách sử dụng các kí hiệu logic và hợp Chú thích: Trong bài viết có sử dụng - Kí hiệu góc:  (Ví dụ: A - góc A) 2 - Kí hiệu đồng dạng: 
3. Tam giác đồng dạng và vận dụng T.giả: Lê Văn Hậu lí. Vấn đề này không chỉ vận dụng cho các bài toán lớp 8 mà còn phục vụ cho cả những bài tập hình học lớp 9. Với lí do trên, tôi đã chọn đề tài về tam giác đồng dạng và viết bài này xin giới thiệu thầy cô và các bạn đọc cùng tham khảo. Vấn đề mà tôi đã vận dụng và truyền đạt cho học sinh trong những buổi học chính khoá, đặc biệt là các buổi học bồi dưỡng và phụ đạo học sinh trong những năm gần đây. II. nội dung A. Các vấn đề về lí thuyết Trước khi giải các bài tập, cần cho học sinh nắm vững được các nội dung cơ bản về lí thuyết trong phần tam giác đồng dạng. 1/ Các cách chứng minh tam giác đồng dạng: Cách 1: Dựa vào định lí về tam giác đồng dạng: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho. Cách 2: (Trường hợp đồng dạng thứ nhất): Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng. Cách 3: (Trường hợp đồng dạng thứ hai): Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đồng dạng với nhau. Cách 4: (Trường hợp đồng dạng thứ ba): Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau. * Đối với tam giác vuông: Cách 1: Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng. Chú thích: Trong bài viết có sử dụng - Kí hiệu góc:  (Ví dụ: A - góc A) 3 - Kí hiệu đồng dạng: 
4. Tam giác đồng dạng và vận dụng T.giả: Lê Văn Hậu Cách 2: Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng. Cách 3: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng. 2/ Từ định nghĩa hai tam giác đồng dạng suy ra: - Các cặp góc tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng nhau. - Các cặp cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng tỉ lệ (lập được hệ thức tỉ lệ giữa các cạnh). - Hai tam giác đồng dạng thì tỉ số hai đường cao tương ứng, tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng, tỉ số hai đường phân giác tương ứng bằng tỉ số đồng dạng. - Tỉ số chu vi của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng. - Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng. 3/ Cách xác định các đỉnh tương ứng, các góc tương ứng, các cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng. Nếu hai tam giác đồng dạng: a. Cách xác định đỉnh tương ứng: - Hai góc của tam giác bằng nhau thì hai đỉnh của hai góc đó tương ứng. - Hai đỉnh đối diện với hai cạnh tương ứng là hai đỉnh tương ứng. b. Cách xác định góc tương ứng: - Hai đỉnh tương ứng thì hai góc có hai đỉnh đó tương ứng (tức hai góc đó bằng nhau). - Hai góc đối diện với hai cạnh tương ứng là hai góc tương ứng. c. Cách xác định cạnh tương ứng: - Hai cạnh đối diện với hai đỉnh tương ứng là hai cạnh tương ứng. - Hai cạnh đối diện với hai góc tương ứng là hai cạnh tương ứng. Chú thích: Trong bài viết có sử dụng - Kí hiệu góc:  (Ví dụ: A - góc A) 4 - Kí hiệu đồng dạng: 
5. Tam giác đồng dạng và vận dụng T.giả: Lê Văn Hậu d. Lưu ý: Nên rèn luyện cho học sinh nhận biết các đỉnh tương ứng, các góc tương ứng, các cạnh tương ứng trên hình vẽ để học sinh dễ hiểu, dễ nhận biết, nhớ lâu và khắc sâu được kiến thức. 4/ Các sai sót khi vận dụng kiến thức của tam giác đồng dạng vào giải toán. a. Xác định không đúng các đỉnh tương ứng, các góc tương ứng, các cạnh tương ứng. b. Ghi kí hiệu các tam giác đồng dạng không đúng thứ tự các đỉnh tương ứng, dẫn đến xác định sai các cặp góc bằng nhau, lập hệ thức tỉ lệ giữa các cạnh sai. c.Lẫn lộn giữa sự tương ứng tỉ lệ giữa các cạnh với sự bằng nhau của các cạnh. B. các vận dụng vào giải bài tập. 1/ Một vài đặc điểm về các dạng bài toán trong phần tam giác đồng dạng . a. Chứng minh hai góc bằng nhau: Để chứng minh hai góc bằng nhau, trong một số trường hợp khó có thể áp dụng được cách chứng minh thông thường đã biết, mà chỉ có thể vận dụng kiến thức về tam giác đồng dạng mới giải quyết được, đặc biệt là trường hợp các cạnh của các góc không cố định, số đo các góc có thể thay đổi. b. Chứng minh các hệ thức hình học: Ta có thể dựa vào các tam giác đồng dạng, từ các tam giác đồng dạng ta lập được hệ thức tỉ lệ giữa các cạnh của tam giác, so sánh các tỉ số để được tỉ lệ thức theo yêu cầu của đề bài, lập được các đẳng thức tích giữa các đoạn thẳng. c. Chứng minh tích các đoạn thẳng không đổi. Để chứng minh điều này, trước hết ta phải xác định trong bài toán có những đại lượng nào cố định: (cạnh tam giác, bán kính đường tròn, ). Tìm mối liên hệ giữa các đoạn thẳng cố định với các đoạn thẳng khác. Dựa vào tam giác đồng dạng lập ra các tỉ lệ thức, từ đó lập được đẳng thức tích của các đoạn thẳng trong đó có tích của các đoạn thẳng không đổi. Chú thích: Trong bài viết có sử dụng - Kí hiệu góc:  (Ví dụ: A - góc A) 5 - Kí hiệu đồng dạng: 
6. Tam giác đồng dạng và vận dụng T.giả: Lê Văn Hậu d. Liên hệ với thực tế đo gián tiếp chiều cao của vật, xác định khoảng cách giữa hai địa điểm trong đó có một điểm không tới được. e.Vận dụng vào để chứng minh tứ giác nội tiếp và giải các bài tập liên quan 2/ Vận dụng kiến thức về tam giác đồng dạng vào giải toán như thế nào? Kiến thức về tam giác đồng dạng có thể vận dụng để giải được nhiều dạng toán hình học. Tuy nhiên vì điều kiện trong đề tài này ta chỉ nghiên cứu và xét một số dạng đặc biệt thường gặp trong chương trình, phục vụ cho việc dạy và học trong nhà trường THCS, một số ví dụ đại diện cho các dạng toán. Dạng 1: Chứng minh hai góc bằng nhau (lớp 8) Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A và H là trung điểm của BC. Gọi I là hình chiếu của H trên cạnh AC, O là trung điểm của HI. Chứng minh rằng: HAO = CBI. Phân tích bài toán: - Để chứng minh HAO = CBI ta đưa về chứng minh hai tam giác đồng dạng. - Hai tam giác nào có chứa cặp góc trên? Hãy chứng minh hai tam giác đó đồng dạng? Thật vậy: A Từ AHC  HIC (vì có H = I = 900, góc C chung) HA HC BC Suy ra , mà HC và HI = 2HO HI IC 2 nên ta có: I O HA BC HA BC HA HO (1) B H C 2HO 2IC HO IC BC IC Mặt khác: AHO = BCI (cùng phụ với HAI). (2) Nên từ (1) và (2) ta suy ra AHO  BCI (c-g-c) HAO = CBI (hai góc tương ứng). Chú thích: Trong bài viết có sử dụng - Kí hiệu góc:  (Ví dụ: A - góc A) 6 - Kí hiệu đồng dạng: 