Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng lượng giác trong đại số và hình học

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng lượng giác trong đại số và hình học

1. Phần I: MỞ ĐẦU 1.Mục đích của sáng kiến Lượng Giác là một trong những lĩnh vực cơ bản nhất của toán học, đã tồn tại và tiếp tục phát triển trong hàng ngàn năm qua. Lượng giác không chỉ là một nhánh của đại số mà còn là một ngành toán học độc lập, có nhiều ứng dụng trong khoa học và thực tiễn. Trong khuôn khổ toán phổ thông, lượng giác được giảng dạy vào cuối năm lớp 10 và đầu năm lớp 11 với những chủ đề cơ bản như: Công thức lượng giác, Phương trình lượng giác và Hệ thức lượng trong tam giác. Tuy nhiên lượng giác xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác của toán học như: Hình học, Tích phân. Nhằm giúp các em học sinh có một cái nhìn khác về chuyên ngành lượng giác. Đó là việc sử dụng các công thức, tính chất lượng giác để giải quyết các bài toán về đại số và hình học. Bản thân các bài toán này có thể không liên quan gì tới lượng giác. Qua một số năm giảng dạy tôi nhận thấy học sinh khối 10 khi học về lượng giác rất khó tiếp thu và vận dụng cao. Vì vậy để giúp học sinh học tốt nội dung lượng giác lớp 10 tôi đã chọn đề tài “ Ứng dụng lượng giác trong đại số và hình học”. 2.Đóng góp của sáng kiến Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh của trường, tạo hứng thú học tập cho học sinh. Làm cho học sinh hiểu rõ các phép biến đổi lượng giác và ứng dụng của nó trong việc giải toán. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các tiết học và chuẩn bị tốt kiến thức trong khi làm những bài tập có tính phân loại cao trong các đề thi học sinh giỏi và đề thi THPT quốc gia. 2
2. Phần II: NỘI DUNG Chương 1: Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn 1. Cơ sở lí luận: Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình phát triển. Vì vậy trong quá trình giúp đỡ học sinh, Giáo viên cần chú trọng gợi động cơ học tập giúp các em thấy được sự mâu thuẫn giữa những điều chưa biết với khả năng nhận thức của mình, phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh trong việc lĩnh hội tri thức. Tình huống này phản ánh một cách lôgíc và biện chứng trong quan niệm nội tại của bản thân các em. Từ đó kích thích các em phát triển tốt hơn. 2. Cơ sở thực tiễn: Căn cứ vào quy luật phát triển nhận thức và hình thành các đặc điểm tâm lí thì từ những lớp cuối của cấp THCS, học sinh đã bộc lộ thiên hướng, sở trường và hứng thú đối với những lĩnh vực kiến thức, kĩ năng nhất định. Một số học sinh có khả năng và ham thích Toán học, các môn khoa học tự nhiên; số khác lại thích thú văn chương và các môn khoa học xã hội, nhân văn khác. Ngoài ra còn có những học sinh thể hiện năng khiếu trong những lĩnh vực đặc biệt Những vấn đề cơ bản về lượng giác như công thức lượng giác, phương trình lượng giác đều đã được đề cập tới trong chương trình Trung học phổ thông. Tuy nhiên trong khuôn khổ sách giáo khoa thì những ứng dụng của lượng giác hầu như không được nhắc đến. Chuyên đề này được viết nhằm giúp độc giả có thể thấy được những ứng dụng của lượng giác trong việc giải quyết các bài toán khác. Qua đó rèn luyên kĩ năng tư duy, phát triển bài toán ở nhiều góc độ khác nhau. Tài liệu không nhắc lại các công thức lượng giác cơ bản. Đọc giả muốn tìm hiểu tất nhiên phải nắm các tính chất trong chương trình phổ thông. 3
3. Chương II: Thực trạng vấn đề mà sáng kiến kinh nghiệm đề cập đến 1. Những khó khăn và sai lầm mà học sinh thường mắc phải Tôi nhận thấy đa số học sinh khi biến đổi lượng giác còn lúng túng và dẫn đến sai lầm. Vì vậy việc lĩnh hội kiến thức và rèn luyện kĩ năng ở học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời gian. Sự nhận thức của học sinh thể hiện khá rõ: - Các em còn lúng túng trong việc vận dụng các công thức lượng giác. - Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc. - Khả năng tưởng tượng, tư duy hàm, tư duy lôgíc còn hạn chế. - Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt. - Nhiều học sinh có tâm lí sợ học môn hình học. Hơn nữa trong những năm trở lại đây đề thi vào Đại học nay là kỳ thi THPT quốc gia thường phân loại học sinh ở những câu khó và có tính vận dụng cao. Chính vì vậy SKKN giúp một phần nào đó trang bị thêm ứng dụng để các em có thêm hướng giải quyết bài làm trong những câu phân loại. 2. Hướng khắc phục Ngoài những công thức biến đổi lượng giác, phương trình lượng giác mà các em đã học. Sau đây là một số lưu ý về một số phép thế đặc trưng: 2.1. Một số phép thế lượng giác chung a) Nếu x a a 0 thì có thể đặt: x asin ; ; 2 2 x acos ; 0;  Biểu thức áp dụng: a2 x2 . b) Nếu x2 y2 a2 thì có thể đặt: x asin ; 0;2  y acos c) Nếu x a thì có thể đặt: 4
4. a a x , x cos sin Biểu thức áp dụng: x2 a2 . d) Với mọi x đều có thể đặt: x tan ; ; 2 2 x y Biểu thức áp dụng: x2 a2 , . 1 xy 2.2. Một số phép thế lượng giác trong tam giác a) Nếu xy yz zx 1 thì tồn tại các góc ,, sao cho:   x tan , y tan , z tan 2 2 2   b) Nếu x y z xyz thì tồn tại các góc ,, sao cho: x tan , y tan , z tan   Đặc biệt: Nếu ba số dương x, y, z thỏa xy yz zx 1 thì tồn tại tam giác ABC sao cho: A B C x tan , y tan , z tan 2 2 2 Nếu ba số dương x, y, z thỏa x y z xyz thì tồn tại tam giác nhọn ABC thỏa: x tan A, y tan B, z tanC 5
5. Chương III: Giải quyết vấn đề Vấn đề 1: Một số ứng dụng của lượng giác trong đại số. Các dạng toán cơ bản như Giải phương trình, Hệ phương trình, Chứng minh bất đẳng thức sẽ được nhắc tới. Vấn đề 2: Ứng dụng của lượng giác trong hình học. Bản thân lượng giác xuất phát từ hình học. Tiêu biểu là Hệ thức lượng trong tam giác. Tài liệu còn đưa ra một số bài toán hình học phẳng mà có thể giải được bằng công cụ lượng giác. Do chuyên đề không nhắc lại những kiến thức về lượng giác cơ bản nên tác giả chủ yếu sẽ đưa ra những bài tập để bạn đọc tham khảo. Các em học sinh cần có những kiến thức cơ sở về lượng giác để theo dõi những bài tập dưới đây 6
6. Vấn đề 1: ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC TRONG ĐẠI SỐ I. Chứng minh Đẳng thức, Bất đẳng thức Bài 1: Cho x y . Chứng minh rằng: x y x y x x2 y2 x x2 y2 . Giải Nếu x=0 thì y=0: đẳng thức hiển nhiên đúng. Nếu x 0: chia hai vế cho |x| 2 2 y y y y 1 1 1 1 1 1 (1) x x x x y y Vì 1 nên có thể đặt cos 0 . x x 1 1 cos 1 cos 1 sin 1 sin 1 cos 1 cos 1 sin 1 sin Đẳng thức cuối đúng, ta có điều phải chứng minh. Bài 2: Cho a, b, c là các số thuộc khoảng (0;1). Chứng minh: abc 1 a 1 b 1 c 1. Giải Vì 0 a,b,c 1 nên tồn tại các góc x, y, z 0; thỏa: 2 a cos2 x,b cos2 y,c cos2 z . Bất đẳng thức trở thành: cos xcos ycos z sin xsin ysin z 1. Thật vậy: cos xcos ycos z sin xsin ysin z cos xcos y sin xsin y cos x y 1. Bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. 7
7. Bài 3: Cho hai số thực x, y thỏa x2 y2 1. Chứng minh rằng: 16 x5 y5 20 x3 y3 5 x y 2 . Giải Đặt x cosa, y sin a;a 0;2 . Áp dụng các công thức lượng giác: cos5a 16cos5 a 20cos3 a 5cosa 16x5 20x3 5x sin5a 16sin5 a 20sin3 a 5sin a 16y5 20y3 5y Do đó: 5 5 3 3 16 x y 20 x y 5 x y sin5a cos5a 2 sin 5a 2 . 4 Bài 4: x2 y2 1 x2 y2 1 Cho biểu thức P 2 2 . Chứng minh P . 1 x2 1 y2 4 Giải x2 y2 Ta có: P 2 2 . 1 x2 1 y2 2x 2y Đặt x tan , y tan  thì sin 2 ,sin 2 . 1 x2 1 y2 Do đó: 1 1 P sin 2 2 sin 2 2 sin  sin 2 sin 2 sin 2 4 4 cos  sin  sin  cos  1 sin 2 2 sin 2 2 4 1 Vậy P . 4 8
8. Bài 5: Cho ba số dương x, y, z thỏa xy+yz+zx=1. Chứng minh: 2x 2y 2z 1 1 1 . 1 x2 1 y2 1 z 2 1 x2 1 y2 1 z 2 Giải A B C Tồn tại tam giác ABC thỏa: x tan , y tan , z tan . 2 2 2 Bất đẳng thức được viết lại: A B C sin A sin B sinC cos cos cos . 2 2 2 Ta có: A B A B C sin A sin B 2sin cos 2cos . 2 2 2 Tương tự A sin B sinC 2cos 2 B sinC sin A 2cos 2 Cộng ba bất đẳng thức lại ta được điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi: 1 A B C x y z . 3 3 Bài 6: Cho ba số dương a, b, c thỏa abc+a+c=b. Chứng minh: 2 2 3 10 . a2 1 b2 1 c2 1 3 Giải a c Từ điều kiện của a, b, c suy ra b . 1 ac 9
9. Đặt a tan A,c tanC thì b tan A C . Bất đẳng thức được viết lại: 2 2 3 10 tan 2 A 1 tan 2 A C 1 tan 2 C 1 3 Ta có: 2 2 3 tan 2 A 1 tan 2 A C 1 tan 2 C 1 2cos2 A 2cos2 A C 3cos2 C cos2A cos2 A C 3cos2 C 2sin 2A C sinC 3cos2 C 2 sinC 3 1 sin 2 C 2 10 1 10 3 sinC 3 3 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi: sin 2A C sinC 0 sin 2A C 1 1 sinC 3 Bài 7: Cho ba số dương a, b, c thỏa điều kiện: 1 1 1 2 1 a 1 2 b 1 2 c 1 2 a 1 b 1 c 1 Chứng minh: abc 1. Giải Từ giả thiết, tồn tại các góc nhọn A, B, C thỏa: 1 1 1 cos A ,cos B ,cosC . a 1 b 1 c 1 10
10. Ta có: cos2 A cos2 B cos2 C 2cos Acos BcosC 1 cos A cos BcosC 2 1 cos2 B 1 cos2 C cos A cos BcosC sin BsinC cos A cos B C A B C Vậy A, B, C là ba góc của một tam giác. 1 cos A 1 cos B 1 cosC Theo cách đặt thì: a ,b ,c . cos A cos B cosC Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: 1 cos A 1 cos B 1 cosC cos Acos BcosC 1 cos A 1 cos B 1 cosC . . cot Acot BcotC sin A sin B sinC A B C tan tan tan cot Acot BcotC 2 2 2 A B C tan Atan B tanC cot cot cot 2 2 2 A B C tan A tan B tanC cot cot cot 2 2 2 Để ý rằng: sin A B 2sinC 2sinC C tan A tan B 2cot cos Acos B cos A B cos A B 1 cosC 2 Tương tự: A tan B tanC 2cot 2 B tanC tan A 2cot 2 Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều, ta được điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi tam giác ABC đều, tức là a=b=c=1. 11
11. LUYỆN TẬP Bài 8: Cho các số dương a, b, c, d. Chứng minh: ab cd a d b c . Bài 9: Cho x, y là hai số thỏa 4x2 9y2 25. Chứng minh: 6x 12y 25. Bài 10: Cho ba số dương x, y, z thỏa x+y+z=xyz. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 . 1 x2 1 y2 1 z 2 2 Bài 11: Cho ba số dương thỏa xy+yz+zx=1. Chứng minh rằng: 2x y z 9 . 1 x2 1 y2 1 z 2 4 II. Giải phương trình Bài 12: Giải phương trình: 1 x2 4x3 3x . Giải Điều kiện: 1 x 1. Đặt x cos 0 , ta được phương trình: 3 k2 2 sin cos3 cos3 cos k ¢ 2 3 k2 2 5 3  Đối chiếu điều kiện 0 , ta tính được: ; ; . 8 8 4  Nghiệm của phương trình ban đầu là: 12