Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng, khai thác một bất đẳng thức

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng, khai thác một bất đẳng thức

1. Kinh nghiệm: ứng dụng và khai thác một bất đẳng thức- Nguyễn Xuân Phan A- Đặt vấn đề Trong giảng dạy môn toán, ngoài việc giúp học sinh năm chắc kiến thức cơ bản, thì việc phát huy tính tích cực của học sinh để khai thác thêm các bài toán mới từ những bài toán điển hình, đồng thời biết ứng dụng các bài toán đơn giản vào việc giải các bài toán phức tạp là điều rất cần thiết cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi. Chúng ta đều biết một bài toán dù có khó, phức tạp đến đâu lời giải của nó cũng có thể đưa được về một chuỗi hữu hạn các bước suy luận đơn giản, việc giải bài toán phức tạp đều có thể đưa về việc áp dụng, tiền đề là các bài toán đơn giản. Nên việc thường xuyên ứng dụng, khai thác các bài toán đơn giản để giải các bài toán khó là một cách nâng cao dần khả năng suy luận, tư duy sâu cho học sinh. Qua một số năm giảng dạy, tôi đã học hỏi được ở các đồng nghiệp và với kinh nghiệm của bản thân tôi luôn giúp học sinh khai thác, ứng dụng nhiều bài toán, nhất là các bài toán về chứng minh bất đẳng thức, trên cơ sở đó tôi viết sáng kiến kinh nghiệm. “ứng dụng, khai thác một bất đẳng thức “. Dù đã có nhiều cố gắng, song sáng kiến kinh nghiệm này chưa phải là hoàn chỉnh, còn có thiếu sót. Tôi rất mong được Hội đồng khoa học và các đồng nghiệp bổ sung thêm ý kiến đóng góp cho tôi, để trong quá trình giảng dạy sau này, tôi sẽ giúp được học sinh của mình nhiều hơn nữa trong lĩnh vực tìm tòi và chiếm lĩnh các tri thức, khám phá môn toán học . 3
2. Kinh nghiệm: ứng dụng và khai thác một bất đẳng thức- Nguyễn Xuân Phan B- Nội dung I- Cơ sở lý thuyết 1. Định nghĩa bất đẳng thức Cho hai số a và b. Ta nói : a lớn hơn b, ký hiệu a > b, nếu a - b > 0 a nhỏ hơn b, ký hiệu a b b b , b > c a > c a b a b +  a c b d +  a.c b.c c d c 0 a b a b 0 +  a.c b.c +  a.c b.d c 0 c d 0 3. Một số hằng bất đẳng thức + a 2 0 ; a 2 0 xảy ra đẳng thức khi a = 0. + a 0 . Xảy ra đẳng thức khi a = 0 4. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 4.1. Dùng định nghĩa Để chứng minh A > B, ta xét hiệu A - B và chứng minh rằng A - B > 0 4.2. Dùng các phép biến đổi tương đương Để chứng minh A > B ta biến đổi tương đương A B A1 B1 A2 B2 An Bn . Trong đó bất đẳng thức An > Bn luôn đúng, do quá trình biến đổi là tương đương nên ta suy ra A > B là đúng. 4.3. Dùng bất đẳng thức phụ Để chứng minh A > B, ta xuất phát từ một hằng bất đẳng thức hoặc một bất đẳng thức đơn giản (gọi là bđt phụ) và biến đổi tương đương suy ra A > B. II- Các nhận xét và các bài toán minh hoạ cho việc ứng dụng, khai thác một bất đẳng thức lớp 8 Nhận xét :Trong chương trình toán T.H.C.S có một bất đẳng thức quen thuộc mà 4
3. Kinh nghiệm: ứng dụng và khai thác một bất đẳng thức- Nguyễn Xuân Phan việc ứng dụng của nó trong khi giải các bài tập đại số và hình học rất có hiệu quả. Ta thường gọi đó là “bất đẳng thức kép”. Đó là bất đẳng thức sau : 2 2 2 (a b) Với mọi a, b ta luôn có : a b 2ab (*) 2 2(a 2 b2 ) (a b)2 (1) 2 Nhận thấy (*) (a b) 4ab (2) 2 2 a b 2ab (3) Cả ba bất đẳng thức trên đều tương đương với hằng bất đẳng thức (a b) 2 0 và do đó chúng xảy ra đẳng thức khi a = b. ý nghĩa của bất đẳng thức (*) là nêu nên quan hệ giữa tổng hai số với tích hai số và với tổng các bình phương của hai số đó. Sau đây là một số ví dụ minh hoạ việc vận dụngvà khai thác bất đẳng thức (*). Bài toán 1: Cho a + b = 1 . Chứng minh rằng: 1 1 1 a 2 b 2 ; a 4 b 4 ; a8 b8 2 8 128 * Giải : áp dụng bất đẳng thức (1) và giả thiết a + b = 1 ta có: 1 2 2 ( ) (a b) 1 (a 2 b 2 ) 2 1 a 2 b 2 ; a 4 b 4 2 2 2 2 2 8 1 ( ) 2 (a 4 b 4 ) 2 1 a8 b8 8 .Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1/2. 2 2 128 * Khai thác bài toán Nhận xét 1: Nếu tiếp tục áp dụng bđt (1) và tăng số mũ của biến ta thu được các kết quả như: 1 ( ) 2 (a8 b8 ) 2 1 a16 b16 128 2 2 215 Tổng quát ta có bài toán sau: 5
4. Kinh nghiệm: ứng dụng và khai thác một bất đẳng thức- Nguyễn Xuân Phan Bài toán 1.1: 2n 2n 1 Cho a + b = 1 . Chứng minh rằng: a b n 22 1 Cách giải bài toán 1.1 ta áp dụng phương pháp quy nạp toán học và làm tương tự bài toán 1. Nhận xét 2: Tiếp tục khái quát bài toán 1.1 khi thay giả thiết a + b = 1 bởi giả thiết n 2n 2n k a + b = k , làm tương tự như trên ta có a b n 22 1 Vậy có bài toán 1.2 như sau: Bài toán 1.2: n 2n 2n k Cho a + b = k . Chứng minh: a b n 22 1 Nhận xét 3: Từ bài toán 1.2 nếu ta thay giả thiết a + b = k bởi b = k - a ta được Bài toán 1.3: n 2n 2n k Chứng minh : a (k a) n với mọi k . 22 1 * Khai thác sâu bài toán Nhận xét 1: Nếu áp dụng bất đẳng thức (1) liên tiếp 2 lần ta có kết quả: 2 a b 2 (a 2 b 2 ) 2 2 a b 4 a 4 b 4 2 2 23 Tổng quát ta có bài toán sau: Bài toán1.4: Chứng minh : 4 2n 4 4 a b n n a b 2 2 a b a) 3 b) a b n 2 22 1 Nhận xét 2: Nếu áp dụng bất đẳng thức (1) liên tiếp nhiều lần và tăng số biến ta có: 6
5. Kinh nghiệm: ứng dụng và khai thác một bất đẳng thức- Nguyễn Xuân Phan 2 2 a b 2 c d 2 (a 2 b2 )2 (c 2 d 2 )2 2 2 a 4 b4 c 4 d 4 2 2 (a b)4 (c d)4 a b c d 4 8 8.23 4 a 4 b4 c 4 d 4 a b c d 4 a b c d . 4 4.8.23 4 Vậy có bài toán 1.5: 4 a 4 b 4 c 4 d 4 a b c d Chứng minh: 4 4 Cứ tiếp tục suy luận sâu hơn nữa ta thu được nhiều bài toán tổng quát hơn. Bài toán 2: Cho a, b, c > 0.Chứng minh rằng: (a b).(b c).(c a) 8abc. (a b) 2 4ab 2 * Giải: áp dụng bất đẳng thức (2) ta có : (c b) 4cb 2 (a c) 4ac (a b)(b c)(c a)2 64a 2b 2c 2 (vì a, b, c > 0) (a b)(b c)(c a) 8abc ( vì (a+b)(b+c)(c+a) > 0 và 8abc > 0). Đẳng thức xảy ra khi a = b = c . * Khai thác bài toán Nhận xét 1: Nếu cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Khi đó ta có 1 - a, 1- b, 1 - c > 0 và có 1 + c = 1 + 1 - a - b = (1 - a ) + (1 - b ). áp dụng bài toán 2 ta được : (1 a)(1 b)(1 c) 8(1 a)(1 b)(1 c) Vậy có bài toán 2.1: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: (1 a)(1 b)(1 c) 8(1 a)(1 b)(1 c) Nhận xét 2: Ta tiếp tục khai thác sâu hơn bài toán bằng cách cho a + b + c = n > 0 . Khi đó tương tự như bài toán 2.1 ta có 7
6. Kinh nghiệm: ứng dụng và khai thác một bất đẳng thức- Nguyễn Xuân Phan Bài toán 2.2: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = n > 0. Chứng minh : (n a)(n b)(n c) 8(n a)(n b)(n c) Bài toán 3: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta có : a 2 b 2 c 2 ab bc ca * Giải : a 2 b 2 2ab 2 2 áp dụng bất đẳng thức (3) ta có : c b 2cb 2 2 a c 2ac 2(a 2 b 2 c 2 ) 2(ab bc ca) đ.p.c.m Có đẳng thức khi a = b = c. * Khai thác bài toán Nhận xét 1 : Nếu áp dụng bài toán 3 và tăng số mũ lên, giữ nguyên số biến ta có a 4 b 4 c 4 a 2b 2 b 2c 2 c 2 a 2 (*) lại áp dụng bài toán 3 lần nữa ta có a 2b 2 b 2c 2 c 2 a 2 abc(a b c) ( ) . Từ (*) và ( ) ta thu được kết quả là a 4 b 4 c 4 abc(a b c) . Vậy có bài toán 3.1: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta có : a 4 b 4 c 4 abc(a b c) . Nhận xét 2: Nếu tăng số biến và giữ nguyên số mũ của biến với cách làm như bài toán 3 ta có Bài toán 3.2: 2 2 2 Chứng minh rằng: a1 a2 an a1a2 a2 a3 an 1an an a1 Với mọi a1;a2 ; ;an Bài toán 4 : Chứng minh rằng với mọi a, b, c, d ta có : a 4 b 4 c 4 d 4 4abcd * Giải : 8
7. Kinh nghiệm: ứng dụng và khai thác một bất đẳng thức- Nguyễn Xuân Phan áp dụng bất đẳng thức (3) ta có : a 4 b 4 c 4 d 4 2a 2b 2 2c 2 d 2 2(a 2b 2 c 2 d 2 ) 4abcd đ.p.c.m Có đẳng thức khi a = b = c = d * Khai thác bài toán Nhận xét 1: Nếu thay b = c = d = 1 ta có bđt a 4 3 4a a 4 4a 3 Vậy có bài toán 4.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = a4 4a Nhận xét 2: Nếu khai thác bài toán 4 theo hướng tăng số biến, số mũ lên, ta Có bài toán tổng quát sau: Bài toán 4.2: a ; a ; a ; ; a * Chứng minh rằng với mọi số 1 2 3 2n với n N ta có: 2n 2n 2n 2n n a a a a 2 a a a a 1 2 3 2n 1 2 3 2n . Bài toán 5 : Cho a + b + c + d = 2 . Chứng minh : a 2 b 2 c 2 d 2 1 * Khai thác bài toán Nhận xét 1: Nếu thay hằng số 2 ở giả thiết bởi số k ta được kết quả k 2 a 2 b 2 c 2 d 2 . Vậy có bài toán tổng quát hơn như sau: 4 Bài toán 5.1: k 2 Cho a + b + c + d = k . Chứng minh : a 2 b 2 c 2 d 2 4 Nhận xét 2: Ta còn có thể tổng quát bài toán 5.1 ở mức độ cao hơn bằng cách tăng số biến của bài toán . Khi đó bài toán 5.1 chỉ là trường hợp riêng của bài toán sau: Bài toán 5.2: k 2 Cho a a a = k . Chứng minh: a 2 a 2 a 2 với n N * 1 2 n 1 2 n n Để giải bài toán này thì cả hai cách làm của bài toán 5 ở trên đưa vào áp dụng không hợp lý, ta sẽ làm như sau: 9
8. Kinh nghiệm: ứng dụng và khai thác một bất đẳng thức- Nguyễn Xuân Phan 2 2 2 2 k k k k 2 k k áp dụng bđt (3) ta có: a 2a . ; a 2 2a . ; ; a 2a . 1 n 2 1 n 2 n 2 2 n n n 2 n n k 2 k a 2 a 2 a 2 n 2 (a a a ) (vì a a a k ) 1 2 n n 2 n 1 2 n 1 2 n 2 2 2 k k 2 2 2 k a 2 a 2 a 2 2 a a a (đ.p.c.m). 1 2 n n n 1 2 n n Từ đó suy ra : 2 2 2 2 a1 a2 an * a1 a2 an với n N (1.1) n Vậy có bài toán 5.3: 2 2 2 2 a a a a Chứng minh: a a a 1 2 3 n với n N * . 1 2 n n Đặc biệt hoá với n = 5, n = 7, ta được những bài toán như : Chứng minh : 2 2 2 2 a a a a a a a 1 2 3 5 1 2 5 5 2 2 2 2 a a a a a a a 1 2 3 7 . 1 2 7 7 Rõ ràng những bđt này nếu sử dụng phương pháp dùng định nghĩa hoặc biến đổi tương đương thì rất khó giải quyết . * Khai thác sâu bài toán Nếu tiếp tục nâng số mũ lên cao hơn theo cách khai thác của bài toán 1.4 ta thu được kết quả tổng quát hơn nữa chẳng hạn: Bài toán 5.4: Chứng minh: 4 4 4 4 a a a a a) a a a 1 2 3 n với n N * 1 2 n n3 8 8 8 8 a a a a b) a a a 1 2 3 n với n N * 1 2 n n7 10