Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng hệ thức Viét vào các dạng bài tập

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng hệ thức Viét vào các dạng bài tập

1. SKKN: Ứng dụng hệ thức Viét vào các dạng bài tập I. Mở đầu: Hệ thức Viét là một nội dung quan trọng trong chương trình Đại số 9. Trong các kỳ thi vào lớp 10 THPT hay vào các trường chuyên lớp chọn đây là một phần không thể thiếu trong quá trình ôn thi. Trong các tài liệu tham khảo chỉ viết chung chung nên học sinh lúng túng khi học phần này. Sau nhiều năm dạy lớp 9, bằng kinh nghiệm giảng dạy và tìm tòi thêm các tài liệu tôi đã phân chia ứng dụng của Hệ thức Viét thành nhiều dạng để học sinh dễ nhận dạng và vận dụng linh hoạt khi gặp dạng toán này. Hệ thức Viét còn được tiếp tục vận dụng trong chương trình Toán THPT tuy nhiên trong bài viết này tôi chỉ đề cập trong nội dung chương trình Toán THCS. Hệ thức Viét được ứng dụng rộng vào bài tập vì thế để học sinh dễ nhớ,dễ vận dụng thì khi dạy giáo viên nên chia ra thành nhiều dạng ứng dụng và phân chia thời gian dạy đối với từng nội dung phải thích hợp. Sau đây là hệ thống bài tập mà tôi đã áp dụng vào ôn thi cho học sinh lớp 9 và có hiệu quả tốt. II. Nội dung: A. Lý thuyết: 2 + Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 thì b S = x1 +x2 = a c P = x1.x2 = a + Nếu hai số x 1 , x2 có tổng x1 + x2 = S và tích x1x2 = P thì hai số đó là các nghiệm của phương trình X2 - SX + P = 0 (Định lý Viét đảo) 1 Giáo viên: Phan Thị Hường trường THCS Cao Xuân Huy - Diễn Châu
2. SKKN: Ứng dụng hệ thức Viét vào các dạng bài tập B. Nội dung: Vận dụng Định lý Viét và Viét đảo ta chia làm các dạng bài tập sau: Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai + Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a khác 0) có a + b + c = 0 thì phương trình c có một nghiệm là x1= 1, còn nghiệm kia là x2 = a + Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a khác 0) có a - b + c = 0 thì phương trình c có một nghiệm là x1= -1, còn nghiệm kia là x2 = - a Ví dụ 1: Không giải phương trình hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau: a) 3x2 - 5x + 2 = 0 b) -7x2 - x + 6 = 0 Giải: a) Ta có a + b + c = 3 - 5 + 2 = 0 nên phương trình có hai nghiệm c 2 x1 = 1, x2 = = a 3 b) Ta có a - b + c = -7 +1 + 6 = 0 nên phương trình có hai nghiệm c 6 x1= -1, x2 = - = a 7 Trong trường hợp phương trình có nghiệm nguyên đơn giản ta có thể nhẩm nghiệm theo hệ thức Viét, xét ví dụ sau: Ví dụ 2: Nhẩm nghiệm của phương trình sau a) x2 - 7x + 10 = 0 b) x2 + 6x +8 = 0 Giải: 2 Giáo viên: Phan Thị Hường trường THCS Cao Xuân Huy - Diễn Châu
3. SKKN: Ứng dụng hệ thức Viét vào các dạng bài tập a) Nếu phương trình có nghiệm x1, x2 thì theo hệ thức Viét ta có: x1+ x2 = 7 và x1x2 = 10 ta nhẩm được hai nghiệm là x1= 2, x2 = 5 b) Tương tự như câu a) ta có x1 + x2 = -6 và x1x2 = 8 nên x1 = -2, x2 = -4 Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số khi biết một nghiệm của phương trình đã cho Ví dụ1: Cho phương trình 2x2 - px + 5 = 0. Biết phương trình có một nghiệm là 2. Tìm p và tìm nghiệm còn lại Giải: Cách 1: Thay x = 2 vào phương trình ta được p = 13 . Theo hệ thức Viét ta có 2 5 5 x1x2 = mà x1= 2 nên x2 = 2 4 Cách 2: Vì phương trình có nghiệm nên theo hệ thức Viét ta có 5 5 x1 x2 = mà x1 = 2 nên x2 = . 2 4 p p 5 13 Mặt khác x1+ x2 = = 2 + p = 2 2 4 2 Ví dụ 2: Cho phương trình x2 + mx - 3 = 0. Biết phương trình có một nghiệm là 3. Tìm m và tìm nghiệm còn lại Giải: Tương tự như ví dụ trên ta tìm được m = -2 và nghiệm còn lại là x = -1 Dạng 3: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 nếu có nghiệm thoả mãn: a) P < 0 thì hai nghiệm đó trái dấu 3 Giáo viên: Phan Thị Hường trường THCS Cao Xuân Huy - Diễn Châu
4. SKKN: Ứng dụng hệ thức Viét vào các dạng bài tập b) P > 0 và S > 0 thì hai nghiệm đều dương c) P > 0 và S 0; P = 1 > 0 nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt d) Ta có =57; S = -9 0 nên phương trình có hai nghiệm âm phân biệt Ví dụ 2: Tìm điều kiện của m để phương trình sau: 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0 a) Có hai nghiệm khác dấu b) Có hai nghiệm phân biệt đều âm c) Có hai nghiệm phân biệt đều dương d) Có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau Giải: a) Phương trình có hai nghiệm khác dấu khi P < 0 hay m - 1 < 0 m < 1 b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm khi 4 Giáo viên: Phan Thị Hường trường THCS Cao Xuân Huy - Diễn Châu
5. SKKN: Ứng dụng hệ thức Viét vào các dạng bài tập 2 0 2m 3 0 m 1 S 0 1 2m 0 3 m P 0 m 1 0 2 c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương khi 2 0 2m 3 0 S 0 1 2m 0 không có giá trị nào của m thoả mãn P 0 m 1 0 d) Phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau hay phương trình có hai nghiệm đối nhau . Phương trình có hai nghiệm đối nhau khi 0 1 1 - 2m = 0 m = S 0 2 Điều cần chú ý ở đây là khi 0 Khi P > 0 ta phải xét đến hai yếu tố còn lại là và S Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức chứa các nghiệm của phương trình đã cho Ví dụ 1: Cho phương trình x2+ mx + 1 = 0 ( m là tham số) Nếu phương trình có nghiệm x1, x2 . Hãy tính giá trị biểu thức sau theo m: 2 2 a) x1 + x2 3 3 b) x1 + x2 c) x1 x2 Giải: 5 Giáo viên: Phan Thị Hường trường THCS Cao Xuân Huy - Diễn Châu
6. SKKN: Ứng dụng hệ thức Viét vào các dạng bài tập Vì phương trình có nghiệm x1, x2 nên theo hệ thức Viét ta có: x1+ x2 = -m và x1.x2 = 1 2 2 2 2 a) x1 + x2 = (x1 +x2) - 2x1x2 = m - 2 3 3 3 3 b) x1 + x2 = (x1+x2) - 3x1x2(x1+ x2) = -m + 3m 2 2 2 2 c) (x1 - x2) = (x1 +x2) - 4x1x2 = m - 4 nên x1 x2 = m 4 Ví dụ 2: Cho phương trình 2 x - 4x + 1 = 0 . Tính giá trị của biểu thức 4 A 2x1 8x1 9 5x1 ( với x1 là một nghiệm của phương trình đã cho) Giải: 2 Ta phải biến đổi biểu thức dưới căn bậc hai thành dạng (5x1+a) để đưa A về dạng A= 5x1 a 5x1 Bằng cách xét dấu nghiệm của phương trình đã cho chứng tỏ 5x 1+ a > 0 từ đó tính được giá trị của A. Sau đây là cách biến đổi cụ thể: Vì x1 là nghiệm của phương trình đã cho nên : 2 4 2 x1 = 4x1-1 x1 = 16x1 - 8x1+ 1 2 2 2 A 32x1 8x1 11 5x1 25x1 7x1 8x1 11 5x1 2 25x1 7(4x1 1) 8x1 11 5x1 2 5x1 2 5x1 5x1 2 5x1 x1 x2 4 0 Phương trình đã cho có ' > 0 nên theo hệ thức Viét ta có: x1x2 1 0 x1 > 0 5x1+ 2 > 0 A =2 Ví dụ 3: Cho phương trình x2 + x - 1 = 0 6 Giáo viên: Phan Thị Hường trường THCS Cao Xuân Huy - Diễn Châu
7. SKKN: Ứng dụng hệ thức Viét vào các dạng bài tập và x1,x2 là nghiệm của phương trình (x1 < x2) . Tính giá trị của biểuthức 8 B x1 10x1 13 x1 Giải: 2 4 2 Từ giả thiết ta có: x1 = 1 - x1 x1 = x1 -2x1 + 1=(1 - x1) - 2x1 + 1=- 3x1 + 2 8 2 x1 = 9x1 - 12x1+ 4 8 2 2 B x1 10x1 13 x1 = 9x1 2x1 17 x1 x1 5 x1 Vì P < 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu mà x1< x2 nên x1< 0 Vậy B = x1 5 x1 = 5 - x1+ x1 = 5 Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức nào đó Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x 2 + 2x + m = 0 (m là tham số) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn a) 3x1 + 2x2 = 1 2 2 b) x1 -x2 = 6 2 2 c) x1 + x2 = 8 Giải: Để phương trình có nghiệm thì ' 0 m 1 a) Kết hợp hệ thức Viét ta có hệ: x1 x2 2 (1) 3x1 2x2 1 (2) Giải hệ (1), (2) ta được x1= 5; x2= -7 x1x2 m (3) Thay vào (3) ta được m = -35 (thoả mãn điều kiện) b) Kết hợp hệ thức Viét ta có hệ: 7 Giáo viên: Phan Thị Hường trường THCS Cao Xuân Huy - Diễn Châu
8. SKKN: Ứng dụng hệ thức Viét vào các dạng bài tập 2 2 x1 x2 6 (1) 5 1 x1 x2 2 (2) Giải hệ (1), (2) ta được x1= ; x2 = 2 2 x1x2 m (3) Thay vào (3) ta được m = - 5 (thoả mãn điều kiện) 4 2 2 2 c) x1 + x2 = (x1+ x2) - 2x1x2 4 - 2m = 8 m = -2 (thoả mãn) Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x2 - mx + 3 = 0 (m là tham số) có hai nghiệm thoả mãn 3x1+ x2 = 6 Giải: Để phương trình có nghiệm thì 0 hay m2 - 12 0 m 2 3 hoặc m -2 3 Kết hợp với hệ thức Viét ta có x1 x2 m (1) 6 m 3m 6 3x1 x2 6 (2) giải hệ (1), (2) ta được x1= ; x2 = 2 2 x1x2 3 (3) Thay vào (3) ta được (6 - m)(3m - 6) = 12 giải ra ta được m = 4 (thoả mãn) 2 Ví dụ 3: Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình x + 2mx + 4 = 0. 4 4 Xác định m để x1 + x2 32 Giải: Để phương trình có nghiệm thì ' 0 hay m2 - 4 0 m 2 2 Ta có: x 4 + x 4 = (x 2 + x 2)2 - 2x 2x 2 = x x 2 2x x 2(x x )2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x1 x2 2m Theo hệ thức Viét ta có: x1x2 4 4 4 2 2 nên x1 + x2 32 (4m - 8) - 32 32 8 Giáo viên: Phan Thị Hường trường THCS Cao Xuân Huy - Diễn Châu
9. SKKN: Ứng dụng hệ thức Viét vào các dạng bài tập m2 2 2 2 m2 2 2 m 2 Kết hợp với điều kiện ' 0 ta được m = 2 hoặc m = -2 Dạng 6: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số Ví dụ1 : Cho phương trình x2 - 2(m + 1) x + m2 =0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m Giải: a) Ta có ' = (m + 1)2 - m2 = 2m + 1 1 Phương trình đã cho có nghiệm ' 0 m - 2 x1 x2 2(m 1) (1) b ) Theo hệ thức Viét ta có 2 x1x2 m (2) 2 x1 x2 x1 x2 Từ (1) ta có m = 1 thay vào (2) ta được x1x2 1 2 2 2 hay 4x1x2 = (x1 + x2 - 2) là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m Cách giải chung của dạng này là theo hệ thức Viét ta có hai biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình. Từ một trong hai biểu thức ta rút m theo hai nghiệm, sau đó thế vào biểu thức còn lại ta được biểu thức cần tìm. Tuy nhiên có thể dùng cách biến đổi tương đương để khử m từ hai phương trình, ta xét tiếp ví dụ sau: Ví dụ 2: Cho phương trình mx2 - 2(m - 3)x + m+ 1 = 0 (m là tham số ) 9 Giáo viên: Phan Thị Hường trường THCS Cao Xuân Huy - Diễn Châu