Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán bậc hai

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán bậc hai

1. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: §¹i sè 9: ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI ÉT ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẬC HAI MỤC LỤC PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chän ®Ò tµi 2. Thời gian thực hiện và triển khai SKKN PHẦN II: NỘI DUNG CỦA SKKN I. CƠ SỞ LÝ LUẬN THỰC TIỄN LIÊN QUAN CỦA ĐỀ TÀI. 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn . 2. Phương pháp nghiên cứu . 3.Giải pháp sư phạm cần thực hiện để giúp học sinh ứng dụng hệ thức Vi-Ét để giải phương trình bậc hai . Một số bài tập ápdụng . II. THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI. III. CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ. IV. HIỆU QUẢ CỦA SKKN. PHẦN III: KẾT LUẬN 1. Ý nghĩa của SKKN đối với công việc thực hiện. 2. Nhận định chung về việc áp dụng và khả năng phát triển của SKKN. 3. Những bài học kinh nghiệm được rút ra. 4. Những ý kiến đề xuất. * TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Phú hà 1 Trường THCS Tuy Lộc
2. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: §¹i sè 9: ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI ÉT ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẬC HAI PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ I. Lêi më ®Çu Trong giai đoạn hiện nay, khi mà khoa học, kinh tế, công nghệ thông tin trên thế giới đang phát triển mạnh mẽ, nhất là các nước Tư Bản Chủ Nghĩa, nước ta vẫn đang chú trọng tìm kiếm nhân tài thì thế hệ trẻ, các em học sinh càng phải nổ lực nhiều trong trong việc tìm kiếm kiến thức, học thật giỏi để bổ sung nhân tài cho đất nước. Môn Toán ở THCS có một vai trò rất quan trọng, một mặt nó phát triển hệ thống hóa kiến thức, kỹ năng và thái độ mà học sinh đã lĩnh hội và hình thành ở bậc tiểu học, mặt khác nó góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và thái độ cần thiết để tiếp tục lên THPT, TH chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào các lĩnh vực lao động sản xuất đòi hỏi những hiểu biết nhất định về Toán học. Chương trình Toán THCS khẳng định quá trình dạy học là quá trình giáo viên tổ chức cho học sinh hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức và kỹ năng. Mặt khác muốn nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viên cần phải hình thành cho học sinh những kiến thức cơ bản, tìm tòi đủ cách giải bài toán để phát huy tính tích cực của học sinh, mở rộng tầm suy nghĩ. Trong vài năm trở lại đây, các trường Đại học, các trường PTTH chuyên của Tỉnh đang ra sức thi tuyển, chọn lọc học sinh và trong các đề thi vào lớp 10 THPT, trong các đề thi tuyển học sinh giỏi lớp 9 các cấp xuất hiện các bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét khá phổ biến. Trong khi đó nội dung và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa đa dang. Thế nhưng đa số học sinh khi gặp bài toán bậc hai, các em lại lúng túng không giải được do trong chương trình học chỉ có 2 tiết, về nhà các em không biết cách đọc thêm sách tham khảo nên không ứng dụng hệ thức Vi_ét để giải. Vì thế tôi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập cho các em học sinh, giúp các em biết vận dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán bậc hai. Góp phần giúp các em tự tin hơn trong các kỳ thi tuyển. Đó là lý do tôi chọn đề tài này: “Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán bậc hai”. Trong viÖc häc to¸n ®Ó c¸c em tù t×m tßi lêi gi¶i ®Ó ®­a ra ph­¬ng ¸n gi¶i mét bµi to¸n ®óng th× ®a sè c¸c em th­êng “bÝ” tr­íc nh÷ng vÊn ®Ò míi, chØ mét phÇn Ýt c¸c em giái cã thÓ tù m×nh t×m ra ®­îc ®­êng lèi ®óng, v× vËy viÖc t×m ra mét ph­¬ng ph¸p chung cho mét d¹ng to¸n nµo ®ã thùc sù lµ cÇn thiÕt, vµ c«ng viÖc nµy ng­êi thÇy ®ãng vai trß lµ chñ ®¹o, häc sinh chñ ®éng t×m tßi kiÕn thøc . Nguyễn Phú hà 2 Trường THCS Tuy Lộc
3. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: §¹i sè 9: ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI ÉT ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẬC HAI 2. Thời gian thực hiện và triển khai SKKN * Đối với giáo viên: - Nghiên cứu và viết đề tài từ tháng 8 / 2012. - Triển khai lý thuyết vào tháng 2 / 2013. - Triển khai bài thực hành vào tháng 4 / 2013. * đối với học sinh: - Được tiếp thu nội dung SKKN từ tháng 2 / 2012 đến hết năm học 2013. - Đề tài được triển khai chủ yếu cho các học sinh có lực học từ khá trở lên , nhất là các học sinh luyện thi học sinh giỏi vào tháng 3 / 2013. PHẦN II: NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I.CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN SKKN 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn: Mục tiêu của giáo dục THCS_theo điều 23 Luật giáo dục_là “Nhằm giúp học sinh củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục tiểu học, có trình độ học vấn THCS và những hiểu biết ban đầu về kỹ thuật và hướng nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động”. Để khắc phục mục tiêu trên, nội dung chương trình THCS mới được thiết kế theo hướng giảm chương trình lý thuyết , tăng tính thực tiễn, thực hành bảo đảm vừa sức, khả thi, giảm số tiết học trên lớp, tăng thời gian tự học và hoạt động ngoại khóa. Trong chương trình lớp 9, học sinh được học 2 tiết: - 1 tiết lý thuyết : học sinh được học định lý Vi-ét và ứng dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, lập phương trình bậc hai và tìm hai số biết tổng và tích của chúng. - 1 tiết luyện tập: học sinh được làm các bài tập củng cố tiết lý thuyết vừa học. Theo chương trình trên, học sinh được học Định lý Vi-ét nhưng không có nhiều tiết học đi sâu khai thác các ứng dụng của hệ thức Vi-ét nên các em nắm và vận dụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt. Là giáo viên ta cần phải bồi dưỡng và hướng dẫn học sinh tự học thêm kiến thức phần này. 2. Phương pháp nghiên cứu: Căn cứ vào mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu, tôi sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau: - Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Nguyễn Phú hà 3 Trường THCS Tuy Lộc
4. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: §¹i sè 9: ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI ÉT ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẬC HAI Tôi đọc và chọn ra các bài toán bậc 2 có ứng dụng hê thức Vi-ét, sắp xếp thành 8 nhóm ứng dụng sau: * Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn. * Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai . * Ứng dụng 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng. * Ứng dụng 4: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình. * Ứng dụng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số. * Ứng dụng 6: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm * Ứng dụng 7: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai. * Ứng dụng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm. - Phương pháp phỏng vấn, điều tra: Tôi hỏi điều tra 20 học sinh khá, giỏi sau 2 tiết dạy thực nghiệm với các câu hỏi sau: Câu 1: Em có muốn nâng cao kiến thức không ? Câu 2: Em thích các bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét không? Câu 3: Em có thích đọc nhiều sách tham khảo nội dung toán không ? Câu 4: Em hãy đọc lại định lý Vi-ét. Hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau: a/ 4321x2 + 21x – 4300 = 0 b/ x2 + 7x + 12 = 0 2 Câu 5: Cho phương trình: x – 3x + m = 0, với m là tham số, có hai nghiệm x1 , x2 3 3 Tính giá trị biểu thức P x1 x2 x1x2 theo m. - Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Sau khi sắp xếp thành 8 nhóm ứng dụng hệ thức Vi-ét, tôi đã thực hiện lên lớp hướng dẫn học sinh các ứng dụng trên. Có kèm theo giáo án dạy ở sau. Nguyễn Phú hà 4 Trường THCS Tuy Lộc
5. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: §¹i sè 9: ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI ÉT ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẬC HAI 3.Giải pháp sư phạm cần thực hiện để giúp học sinh ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình bậc hai: - Trước hết, Giáo viên dạy tiết lý thuyết ở trong chương trình cho học sinh nắm được định lý Vi-ét: Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) b b có 2 nghiệm : x ; x 1 2a 2 2a Suy ra : b b 2b b x x 1 2 2a 2a 2a a 2 2 b b b2 b b 4ac 4ac c x x 1 2 4a2 4a2 4a2 4a2 a Đặt S và P lần lượt là tổng và tích hai nghiệm của phương trình. b Vậy: S x x 1 2 a c P x .x 1 2 a - Giáo viên soạn ra các dạng bài toán bậc hai cần ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải. Trong đề tài này tôi trình bày 8 nhóm ứng dụng sau: Cụ thể như sau: I. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn: 1. Dạng đặc biệt: Xét phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (*) a/ Nếu cho x = 1 thay vào (*) , ta có : a.12 + b.1 + c = 0 hay a + b + c = 0 c Như vậy: phương trình có một nghiệm x1 = 1 và nghiệm kia là x2 = a b/ Nếu cho x = -1 thay vào (*) , ta có : a.(-1)2 +b.(-1)+c = 0 hay a - b + c = 0 c Như vậy: phương trình có một nghiệm x1 = -1 và nghiệm kia là x2 = a Ví dụ: Dùng hệ thức Vi_ét để nhẩm nghiệm của các phương trình sau: a/ 2x2 + 5x + 3 = 0 (1) b/ 3x2 + 8x - 11 = 0 (2) Giải: Ta thấy:Phương trình (1) có dạng a - b + c = 0, nên có một nghiệm x1 = -1 và nghiệm 3 kia là x2 = 2 Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0, nên có một nghiệm x1 = 1 và nghiệm kia là x2 = 11 3 Nguyễn Phú hà 5 Trường THCS Tuy Lộc
6. S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: §¹i sè 9: ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI ÉT ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẬC HAI Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau: a/ 35x2 - 37x + 2 = 0 b/ 7x2 + 500x - 507 = 0 c/ x2 - 49x - 50 = 0 d/ 4321x2 + 21x - 4300 = 0 2. Cho phương trình,có một hệ số chưa biết,cho trước một nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số của phương trình: Ví dụ: 2 a/ Phương trình x – 2px + 5 = 0 có một nghiệm x1 = 2, tìm p và nghiệm kia. 2 b/ Phương trình x + 5x + q = 0 có một nghiệm x1 = 5, tìm q và nghiệm kia. c/ Phương trình x2 – 7x + q = 0 có hiệu hai nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của phương trình. d/ Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x 2 –qx +50 = 0, biết phương trình có hai nghiệm và một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia. Giải: 2 a/ Ta thay x1 = 2 vào phương trình x – 2px + 5 = 0 , ta được: 1 4 – 4p + 5 = 0 p 4 5 5 Theo hệ thức Vi-ét : x1. x2 = 5 suy ra: x2 = x1 2 2 b/ Ta thay x1 = 5 vào phương trình x + 5x + q = 0 , ta được: 25+ 25 + q = 0 q 50 50 50 Theo hệ thức Vi-ét: x1. x2 = -50 suy ra: x2 = 10 x1 5 c/ Vì vai trò của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x1 - x2 =11 và theo hệ thức Vi-ét: x1+ x2 = 7 ta có hệ phương trình sau: x1 x2 11 x1 9 x1 x2 7 x2 2 Suy ra: q = x1. x2 = 9.(-2)= -18 d/ Vì vai trò của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x1 = 2x2 và theo hệ thức Vi-ét: x1. x2 = 50 ta có hệ phương trình sau: x1 2x2 2 2 2 x2 5 2x2 50 x2 5 x1.x2 50 x2 5 Với x2 5 thì x1 10 Suy ra: S = q = x1 + x2 = 5 + 10 = 15 Với x2 5 thì x1 10 Suy ra: S = q = x1 + x2 = (- 5) + (-10) = -15 Nguyễn Phú hà 6 Trường THCS Tuy Lộc