Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng định lí Vi-ét vào giải toán tam thức bậc hai

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng định lí Vi-ét vào giải toán tam thức bậc hai

1. Trường THCS Hòa Thắng §Ò tµi “øng dông ®Þnh lÝ vi-Ðt vµo gi¶i to¸n tam thøc bËc hai” Giáo viên : Nguyễn Văn Sơn Tổ : Toán –Lí-Công nghệ Năm học : 2010-2011 GV: Nguyễn Văn Sơn ( HT1) 1
2. phÇn 1. më ®Çu 1. Lí do chọn đề tài Trong chương trình sách giáo khoa mới Toán 9 – tập 2 THCS , học sinh được làm quen với phương trính bậc hai và các cách giải phương trình bậc hai , đặc biệt là sử dung định lý Vi-ét vào việc giải phương trình bậc hai . Song qua việc giảng dạy Toán 9 tại trường THCS Hòa Thắng tôi nhận thấy các em vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thác và sử dụng hệ thức Vi-ét vào giải nhiều loại bài toán dạng tam thức bậc hai , trong khi đó phân phối chương trình cho phần định lý Viet là rất ít (1 tiết lý thuyết, 1 tiết bài tập), vì thế đại đa số học sinh thường lúng túng khi đứng trước các bài toán có liên quan đến định lý Viét và một số ứng dụng của định lí đó, mà hệ thức Vi-ét có tính ứng dụng rất rộng rãi trong việc giải toán . Trước thực tế đó, nhằm giúp các em nắm được một cách có hệ thống và có khả năng giải quyết được các bài tập về phần này một cách thành thạo, nhằm phát huy khả năng suy luận, óc phán đoán, tính linh hoạt của học sinh, tôi đã nghiên cứu và chọn đề tài: “Ứng dụng định lý Vi-ét vào giải toán tam thức bậc hai ” với mong muốn giúp cho học sinh nắm vững và sử dụng thành thạo định lý Vi-ét, đồng thời làm tăng khả năng, năng lực học toán và kích thích hứng thú học tập của học sinh. Hơn nữa , hệ thức Viét là một nội dung quan trọng trong chương trình Đại số 9. Trong các kỳ thi vào lớp 10 THPT hay vào các trường chuyên lớp chọn đây là một phần không thể thiếu trong quá trình ôn thi. Trong các tài liệu tham khảo chỉ viết chung chung nên học sinh lúng túng khi học phần này. Sau 2 năm dạy lớp 9, bằng kinh nghiệm giảng dạy và tìm tòi thêm các tài liệu tôi đã phân chia ứng dụng của Hệ thức Vi-ét thành nhiều dạng để học sinh dễ nhận dạng và vận dụng linh hoạt khi gặp dạng toán này. Hệ thức Viét còn được tiếp tục vận dụng trong chương trình Toán THPT tuy nhiên trong bài viết này tôi chỉ đề cập trong nội dung chương trình Toán THCS. GV: Nguyễn Văn Sơn ( HT1) 2
3. 2. Mục đích nghiên cứu : Thông qua đề tài tôi muốn giúp học sinh nắm vững kiến thức hơn về giải bài toán ứng dụng định lý Vi-ét , trong qua trình giảng dạy tôi đã đưa một số bài toán việc ứng dụng định lý Vi-ét để giải sẽ dẫn đến kết quả nhanh hơn, giúp học sinh say mê, sáng tạo trong học tập môn toán , rèn luyện khả năng giải toán , bổ xung thêm kiến thức cho bản thân sau này . Đó chính là mục đích thúc đẩy tôi viết đề tài này . 3. Nhiệm vụ nghiên cứu : - ThÊy ®­îc vai trß cña hÖ thøc Vi-Ðt trong ch­¬ng tr×nh To¸n THCS ®Æc biÖt lµ nh÷ng d¹ng to¸n cã liªn quan. - Gi¶m bít nh÷ng khã kh¨n, lóng tóng cña c¸c em khi gi¶i c¸c bµi tËp cã liªn quan ®Õn hÖ thøc Vi-Ðt. Häc sinh x¸c ®Þnh ®­îc c¸ch gi¶i cña mét sè d¹ng to¸n c¬ b¶n. - §Ò xuÊt c¸c gi¶i ph¸p gãp phÇn n©ng cao chÊt l­îng øng dông ®Þnh lÝ ViÐt vµo gi¶i to¸n. 4. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu : Phạm vi nghiên cứu tại trường THCS Hòa Thắng và đối tượng là khối học sinh lớp 9A,B của trường 5. Phương pháp nghiên cứu : - Nghiên cứu tài liệu SGK , SBT , SGV toán 9 – tập 2 , bổ trợ và nâng cao toán 9 tập hai, Ôn kiến thức , luyện kĩ năng toán 9 tập hai - Nghiên cứu tài liệu Bồi dưỡng , hướng dẫn làm bài tập môn toán 9 . - Nghiên cứu tình hình học tập của học sinh trong trường . - Phương pháp thực nghiệm . (TiÕn hµnh d¹y thùc nghiÖm ®Ó kiÓm tra kÕt qu¶ ¸p dông chuyªn ®Ò) - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm . (Rót ra nh÷ng bµi häc cho b¶n th©n vµ ®ång nghiÖp ®Ó gi¶ng d¹y tèt h¬n) - Phương pháp điều tra quan sát GV: Nguyễn Văn Sơn ( HT1) 3
4. 6 .Thời gian và kế hoạch nghiên cứu : - Tháng 10 -2010 đăng ký đề tài - Tháng 11-2010 điều tra nghiên cứu đối tượng học sinh về khả năng tiếp thu kiến thức , kĩ năng giải bài tập và kết quả học kì I -Tháng 3 -2011 tiến hành vận dụng đề tài vào giảng dạy -Tháng 5 - 2011 hoàn thành đề tài GV: Nguyễn Văn Sơn ( HT1) 4
5. phÇn 2. néi dung I- Cơ sở lí luận thực tiễn 1./ Cơ sở lí luận : Để phát huy tính tích cực , tự giác chủ động của học sinh nhằm bồi dưỡng và phát triển trí tuệ và năng lực hoạt động của học sinh là nhiệm vụ trọng tâm trong quá trình dạy học , là nội dung của việc đổi mới phương pháp dạy học theo chương trình cải tiến . Dạy học toán là dạy cho học sinh phương pháp học toán và giải toán để vận dụng kiến thức đã học vào thực tế cuộc sống . Nội dung kiến thức toán học được trang bị cho học sinh THCS ngoài việc dạy lí thuyết còn phải chú trọng tới việc dạy học sinh áp dụng các định lí vào giải các dạng toán khác nhau . Nhưng để làm được điều đó đòi hỏi học sinh phải nắm chắc kiến thức cơ bản đã học, sau đó biết vận dụng các kiến thức đã học đó một cách linh hoạt , sáng tạo, tính cẩn thận, kết hợp với sự khéo léo và kinh nghiệm đã tích luỹ được để giải quyết các bài tập có liên quan . Thông qua việc giải bài tập chống tư tưởng hình thức hoá, ỷ lại , tư tưởng ngại khó . Do đó việc nâng cao năng lực tư duy , óc sang tạo, rèn kỹ năng phán đoán , suy luận của học sinh là rất cần thiết cho con đường tiếp theo sau này . 2./ Cơ sở thực tiễn : - Trong một số năm dạy toán 8 ở trường THCS hòa Thắng , tôi nhận thấy HS gặp rất nhiều khó khăn trong việc giải các bài tập về phương trình . đến năm lớp 9 học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc giải phương trình bậc hai, việc vận dụng kiến thức cơ bản vào làm các bài tập , nhất là việc vận dụng hệ thức Vi –ét vào giải các bài tập còn rất chậm , các dạng bài tập vận dụng hệ thức Vi-ét học sinh còn chưa nắm chắc cách giải vì thế trong chương trình toán 9 kì II , tôi đã đưa ra các phương pháp vận dụng hệ thức Vi-ét vào việc giải các bài tập như : GV: Nguyễn Văn Sơn ( HT1) 5
6. 1 - Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai tràong các trương hợp: a + b + c = 0 ; a – b + c = 0 2 - Tính tổng và tích các nghiệm 3 - Tìm hai số biết tổng và tích của chúng 4 - Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của nó. 5 - Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai . 6 - Xác định tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước . 7 - Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1,x2 của phương trình bậc hai 8 - Tìm hệ thức giữa các nghiệm x1,x2 của phương trình bậc hai không phụ thuộc tham số - Một đặc điểm quan trọng của hệ thức Vi-ét là vận dụng hệ tức Vi-ét vào tính tổng và tích các nghịệm của phương trình bậc hai một ẩn . Đặc biệt nó mang nội dung sâu săc trong việc giáo dục tư tưởng qua môn toán ; hình thành cho HS thói quen đi tìm một giải pháp tối ưu trong việc giải bài tập có liên quan tới hệ thức vi-ét trong các trương trình toán học sau này . - Qua hai năm giảng dạy môn toán 9 ở trương THCS Hßa Th¾ng , tôi nhận thấy vấn đề trên cần được khắc phục nhằm giúp cho HS có được vốn kiến thức cơ bản để vững bước trong công việc thi vào các trường THPT sắp tới . Vì vậy , tôi mạnh dạn nghiên cứu và hoàn thành đề tài “øng dông ®Þnh lÝ vi-Ðt“ Trong việc nghiên cứu này tôi chỉ chú tâm cho học sinh nắm vững hơn các bài toán như: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai tràong các trương hợp: a + b + c = 0 ; a – b + c = 0 ; tính tổng và tích các nghiệm ; tìm hai số biết tổng và tích của chúng; lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của nó, Ngoài ra các ứng dụng còn lại tôi giúp học sinh nắm được để vận dụng cho việc giải toán sau này . GV: Nguyễn Văn Sơn ( HT1) 6
7. II. Các biện pháp thực hiện 1. Kết quả thực trạng Kết quả thực trạng học hàng ngày và kết quả kì I môn toán của 2 lớp 9A,B 2. Nội dung thực hiện a, Các định hướng cơ bản chỉ đạo thực hiện các nội dung liên quan đến đề tài: - Mục tiêu giáo dục ( được quy định trong luật Giáo dục năm 2005 ). - Mục tiêu giáo dục phổ thông ( được quy định trong luật Giáo dục năm 2005 ). - Định lí Viét và ứng dụng của nó thuộc chương IV: HÀM SỐ y ax2 ( a = 0) – Phương trình bậc hai một ẩn . ( Đại số 9). Với mục tiêu: Nắm vững các hệ thức Viét và ứng dụng của chúngvào việc nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai, đặc biệt là các trường hợp a + b + c = 0 và a - b + c = 0 , biết tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng, có thể nhẩm được nghiệm của những phương trình đơn giản như: x2 – 5x + 6 = 0 ; x2+ 6x + 8 = 0 ; . ( SGV Đại số 9 – trang 31) b, Nội dung kiến thức có trong chương trình môn toán ở trường THCS liên quan đến đề tài : b.1 - Điều kiện về nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn Phương trình: ax2 + bx + c = 0 (*). b2 4ac a) Nếu 0 thì (*) có 2 nghiệm phân biệt x ; x 1 2a 2 2a b S x x 1 2 a * Nếu (*) có nghiệm, gọi nghiệm đó là x1, x2 thì: (Viet c P x x 1 2 a b.2 -Nắm được nội dung của đinh lí Vi-ét và ứng dụng của nó GV: Nguyễn Văn Sơn ( HT1) 7
8. - Hệ thức Vi-ét : 2 Nếu phương trình ax + bx + c = 0 ( a 0 )có 2 nghiệm x1 , x2 thì hai nghiệm đó là: b + Có tổng S bằng : S = x x 1 2 a c + Có tích P bằng : P = x1.x2 = a - Áp dụng Tính nhẩm nghiệm * Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một c nghiệm là : x1 = 1 còn nghiệm kia là : x2 = . a * Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có c một nghiệm là : x1 = -1 còn nghiệm kia là : x2 = . a III. Bài tập : 1. Ứng dụng định lí vi-ét vào việc nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai . Phương pháp giải * Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có c một nghiệm là : x1 = 1 còn nghiệm kia là : x2 = . a * Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có c một nghiệm là : x1 = -1 còn nghiệm kia là : x2 = . a GV: Nguyễn Văn Sơn ( HT1) 8
9. Một số ví dụ VD1: Giải phương trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất a, 2x2 + 3x + 1= 0 b, -5x2 + 3x + 2 = 0 c, 2004x2 + 2005x + 1 = 0 d, 7x2 - 3x - 4 = 0 e, 3x2 + 9x + 6 = 0 Hướng dẫn a, Pt 2x2 + 3x + 1= 0 có ( a - b + c = 2 - 3 + 1 = 0) => Phương trình (1) có nghiệm x1 = -1 ; x2 = - 1/2 b, Pt -5x2 + 3x + 2 = 0 có a + b + c = (- 5) + 3 + 2 = 0 2 PT có 2 nghiệm x1 = 1 và x2 = - 5 c, Pt 2004x2 + 2005x + 1 = 0 có a – b + c = 2004 – 2005 + 1 = 0 1 PT có 2 nghiệm x1 = -1 và x2 = - 2004 4 d, Pt 7x2 - 3x - 4 = 0 có 7+(-3)+(-4) = 0 nên pt có nghiệm x = 1 ; x = 1 2 7 2 e, Pt 3x + 9x + 6 = 0 có 3 – 9 + 6 = 0 nên pt có nghiệm x1 = - 1 ; x2 = - 2 2. Tính tổng và tích các nghiệm Phương pháp giải Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0 ) - Tính và chứng tỏ 0 để phương trình có nghiệm - Áp dụng hệ thức Vi-ét tính : b + Tổng S = x x 1 2 a c + Tích P = x1.x2 = a GV: Nguyễn Văn Sơn ( HT1) 9