Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng của công thức tính diện tích tam giác vào thực hành giải toán

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng của công thức tính diện tích tam giác vào thực hành giải toán

1. PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. Ngay từ cấp tiểu học, các em đã được làm quen với công thức tính diện tích tam giác khi biết các cạnh tam giác là a, b, c và các đường cao tương ứng là ha, hb, hc là: a.h b.h c.h SABC = a b c 2 2 2 Từ công thức này chúng ta đã biết được một số ứng dụng trong thực tế như: Giải được một số bài toán đo đạc về diện tích tam giác, về độ dài các đoạn thẳng, về khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng Đứng trước một bài toán, đầu tiên chúng ta phải định hướng cho mình một phương pháp để giải quyết, nếu định hướng được phương pháp giải cho từng bài toán thì việc giải bài toán đó không phải là khó, nhưng không phải một bài toán nào cũng có một phương pháp riêng để giải mà nó có thể có nhiều cách giải khác nhau, việc chọn lựa cách giải nào phù hợp nhất cho bài toán lại là vấn đề. Phương pháp diện tích là một phương pháp không phải là mới nhưng lạ với các em. Thông qua việc xây dựng thêm một số công thức tính diện tích như: công thức diện tích tam giác khi biết độ dài 3 cạnh, tính diện tích tam giác khi biết độ dài hai cạnh và góc xen giữa làm cho việc ứng dụng công thức tính diện tích vào thực hành giải toán phong phú hơn, đa dạng hơn, khi đó có thể coi đó là một công cụ để giải một số dạng toán, chứng minh một số định lý một cách ngắn gọn, rõ ràng, gần gũi với các em hơn. Với học sinh ở bật kỳ khối lớp nào của khối THCS, các em đã gắn liền với công thức tính diện tích tam giác ngay khi bắt đầu chương trình toán, với một số lập luận, các em có thể tìm cho mình một phương hướng thật hiệu quả, thật gần gũi trong việc giải toán. Để hiểu rõ hơn về ứng dụng của công thức diện tích vào trong thực hành giải toán, tôi đi sâu vào nghiên cứu đề tài: “ Ứng dụng của công thức tính diện tích tam giác vào thực hành giải toán ”. Muốn làm được đề tài này, tôi đã thu thập xử lý một số tài liệu và đề tài này hoàn thành được nhờ sự giúp đỡ của các đồng nghiệp. 1
2. II. PHẠM VI ĐỀ TÀI Tuy phạm vi đề tài khá rộng và các bài toán dạng này cũng rất phong phú song trong khuôn khổ thời gian có hạn tôi chỉ nêu ra một vài ứng dụng điển hình, gần gũi với các em. III. ĐỐI TƯỢNG Đề tài này được áp dung cho học sinh khá, giỏi bậc THCS. IV. MỤC ĐÍCH Mục đích nghiên cứu đề tài này là xác định tầm quan trọng của công thức diện tích tam giác, ứng dụng của nó vào thực tiễn giải toán THCS. Thông qua đề tài này, các em có thể tìm được một công cụ thật gần gũi để chứng minh một số dạng toán trong chương trình toán THCS. 2
3. PHẦN II. NỘI DUNG A. CƠ SỞ LÝ LUẬN - Trong chương trình giáo dục THCS, môn toán là môn quan trọng. Môn toán có tiềm năng có thể khai thác góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện và phát triển các thao tác tư duy và các phẩm chất tư duy. - Thực hành giải toán phải có những thao tác nhất định, dứt khoát, nhanh nhẹn, giản đơn chứ không rườm rà, cầu kỳ sẽ đưa bài toán đơn giản thành phức tạp. Do đó giáo viên cần hướng dẫn học sinh có những phương pháp phù hợp, hình thành lại hướng gọn gàng, dễ hiệu để đi đến kết quả nhanh, chính xác. - Học sinh học tập một cách thụ động, máy móc, hay giữa vào bài mẫu có sẵn trong sach giáo khoa hoặc sách tham khảo chứ chưa hình thành cho mình một phương pháp riêng để giải một bài toán. - Giáo viên cần lưu ý tránh những đơn điệu nhàm chán trong khi giải toán. Tạo được những hứng thú khi học toán và giúp các em rất nhiều trong cuộc sống hàng ngày. - Đứng trước một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau song việc tìm ra một lời giải hợp lý, ngắn gọn, thú vị và độc đáo là một việc không dễ . Càng không dễ khi việc định hướng cách giải xuất phát từ những cái gần gũi với các em, và công thức tính diện tích tam giác và ứng dụng sẽ làm cho các em thân thuộc hơn và tạo hứng thú hơn, kích thích tính sáng tạo trong giải toán. - Thi đua và biểu dương những gương sáng học tốt và cần học hỏi kinh nghiệm của các em này. 3
4. B. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG CÔNG THỨC DIỆN TÍCH TAM GIÁC VÀO CHỨNG MINH MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VÀ THIẾT LẬP MỘT SỐ CÔNG THỨC A Cho ABC; Có độ dài 3 cạnh là: AB = c; AC = b; BC = a Ba đường cao có độ dài là: AH1= ha; BH2= hb; CH3= hc a.ha b.hb c.hc => SABC = H 2 2 2 3 H2 C B H1 Để vận dụng hiệu quả công thức diện tích tam giác vào giải toán, chúng ta chú ý có những kết luận sau: 1. Nếu một đa giác được chia thành nhiều đa giác không có điểm trong chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của các đa giác đó. 2. Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau. 3. Đường trung tuyến của một tam giác chia tam giác đó thành 2 phần có diện tích bằng nhau. Ngược lại, một tam giác bị chia bởi một đường nối đỉnh và cạnh đối diện thành hai phần có diện tích bằng nhau thì đường đó chính là trung tuyến của tam giác. 4. Hai tam giác có chung đáy còn đỉnh thứ ba nằm trên một đường thẳng song song với đáy chung ấy thì có diện tích bằng nhau. Ngược lại, những tam giác có chung đáy và có diện tích bằng nhau, 2 đỉnh cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa cạnh đáy chung ấy thì 2 đỉnh của chúng nằm trên một đường thẳng song song với đáy chung ấy ( 2 đường cao tương ứng với đáy chung bằng nhau). 5. Hai tam giác có tỉ số diện tích là k - Nếu chung một cạnh thì tỉ số hai đường cao ứng với cạnh đó cũng bằng k. - Nếu chung đường cao thì tỉ số hai cạnh ứng với đường cao đó cũng bằng k. Từ các điều kiện trên cũng suy ra diện tích của hai tam giác cũng bằng k. 6. Hai tam giác có tỉ số các cạnh tương ứng bằng k thì tỉ số diện tích của hai tam giác là k2. 4
5. I. ỨNG DỤNG CÔNG THỨC DIỆN TÍCH TAM GIÁC VÀO CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ. 1. Định lý Talét: Trước hết ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề: Nếu hai tam giác có chung đường cao thì tỉ số hai cạnh đáy tương ứng bằng tỉ số diện tích của hai tam giác. Chứng minh: Gọi S1 và S2 lần ượt là diện tích của hai tam giác có chiều cao h và có độ dài hai cạnh đáy tương ứng là a1 và a2 . Ta có: 1 a h 1 1 S 1 a S a h , S a h 1 2 1 1 2 1 2 2 2 S 1 a 2 a h 2 2 2 Bây giờ ta chứng minh định lý Talet: Định lý thuận: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. A GT ABC, DE//BC ( D AB, E AC) D E AD AE AD AE BD EC KL ; ; AB AC BD CE AB AC B C Chứng minh Xét AED và ABE có chung đường cao kẻ từ E nên theo bổ đề trên ta có: AD S ADE (1) AB S ABE Xét AED và ACD có chung đường cao kẻ từ D nên theo bổ đề trên ta có: AE S ADE (2) AC S ACD Ta lại có: SBEC =SBDC ( Chung đáy BC, các đường cao tương ứng bằng nhau) SABC -SBEC =SABC -SBDC 5
6. SABE =SACD (3) AD AE Từ (1),(2),(3) AB AC AD AE BD EC Tương tự ta cũng chứng minh được: ; (đpcm) BD CE AB AC Định lý đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại. A GT ABC, ( D AB, E AC) E AD AE D AB AC B C KL DE//BC Chứng minh: Xét AED và ABE có chung đường cao kẻ từ E nên theo bổ đề trên ta có: AD S ADE (1) AB S ABE Xét AED và ACD có chung đường cao kẻ từ D nên theo bổ đề trên ta có: AE S ADE (2) AC S ACD AD AE S S Theo giả thiết: . Kết hợp (1),(2) ta có: ADE ADE AB AC S ABE S ACD SABE =SACD SABC - SABE = SABC - SACD SBEC= SBDC DE//BC ( do 2 tam giác chung đáy, diện tích bằng nhau và 2 đỉnh nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ BC) (đpcm) Ta cũng dễ dàng chứng minh hệ quả định lý talet nhờ công thức diện tích tam giác. 6
7. 2. Định lý về đường phân giác của tam giác. Định lý 1: Trong một tam giác, chân đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ với hai cạnh kề với góc ấy. A GT ABC, AD là phân giác của ABC (D BC) F E DB AB KL DC AC B D C Chứng minh Kẻ DE  AB; DF  AC. Xét 2 vuông AED và AFD có:     0 E F 90 ; AD là cạnh chung; A1 A2 (AD là phân giác của ABC) AED = AFD (cạnh huyền - góc nhọn) DE = DF (2 cạnh tương ứng) (1) Kẻ đường cao AH 1 1 Ta có: SABD = AH.DB = AB.DE (2) 2 2 1 1 SACD = AH.DC = AC.DF (3) 2 2 Chia vế với vế của (2)và (3), kết hợp (1) ta được: 1 1 AH.DB AB.DE S DB AB ABD 2 2 (đpcm) S 1 1 DC AC ACD AH.DC AC.DF 2 2 Trong trường hơp AD là phân giác góc ngoài của tam giác thì định lý trên vẫn đúng, cách chứng minh tương tự như trên. 3. Định lý về tích chất 3 đường trung tuyến của tam giác. Định lý: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó 2 cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy. 3 7
8. ABC, A GT BM, CN, AP là trung tuyến của ABC a) BM  CN  AP G M N 2 H b) AG = AP; 3 KL G 2 BG = BM; 3 B P C 2 CG = CN 3 K Chứng minh Gọi BM và CN là trung tuyến của ABC. BM  CN=G. Nối AG cắt BC tại P. Ta đi chứng minh: P là trung điểm của BC và chứng minh: 2 AG AP. 3 1 Theo giả thiết, BM và CN là trung tuyến của ABC SBNC SABC (1) ; 2 1 SBMC SABC (2) 2 Từ (1)(2) SBNC = SBMC SBNC - SGBC= SBMC - SGBC SGBN = SGMC (3) Ta lại có, GM là trung tuyến của GAC SGAM = SGMC (4) Tương tự, GN là trung tuyến của GAB SGAN = SGBN (5) Từ (3)(4)(5) SGAM = SGMC = SGAN = SGBN (*) Do đó: S GMC + SGAM = SGAN + SGBN SGAB = SGAC (6) Gọi BH, CK là đường cao tương ứng với cạnh đáy AG của GAB và GAC Kết hợp (6) BH = CK Xét GPB và GPC có chung đáy GP, hai đường cao tương ứng BH = CK SGPB =SGPC (7) Mà GPB và GPC có chung chiều cao kẻ từ G đến hai đáy PB, PC. Kết hợp (7) PB = PC P là trung điểm của BC. Do đó AP là trung tuyến của ABC AP, BM, CN đồng quy tại G. (đpcm) b) Theo câu a) thì GP là đường trung tuyến của GBC SGBP = SGCP 8
9. 1 Mặt khác, SABM = SABP ( SABC ) SGBN + SGNA + SGMA = SGNA + SGBN + SGBP 2 SGMA = SGBP ( ) 2 Từ (*)( ) SGAM = SGMC = SGAN = SGBN = SGBP = SGCP SGAM + SGMC = SAPC 3 2 SGAC = SAPC 3 1 2 1 2 CK.AG = . CK.AP AG = AP. 2 3 2 3 2 2 Tương tự ta cũng chứng minh được: BG = BM; CG = CN (đpcm) 3 3 4. Định lý về đường trung bình trong tam giác. Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba. A ABC GT MA = MB (M AB) N M d  AB=M; d  AC=N; d//BC d KL NA = NB B H K C Chứng minh 1 Nối CM và BN. CM là trung tuyến của ABC SMBC = SMAC = SABC (1) 2 MBC và NBC có chung cạnh đáy BC và đỉnh thứ 3 M, N nằm trên đường thẳng song song với đáy chung BC SMBC = SNBC (2) 1 Từ (1)(2) SNBC = SABC , mà SNBC + SABN = SABC 2 1 SNBC = SABN = SABC BN phải là trung tuyến của ABC N là trung điểm 2 của AC (đpcm) 9