Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng bất đẳng thức cosi tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng bất đẳng thức cosi tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

1. Tên đề tài: ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC COSI TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Đề nghị cơng nhận sáng kiến kinh nghiệm cấp cơ sở năm học 2018-2019 I. CĨ TÍNH MỚI VÀ SÁNG TẠO: 1. Lí do và mục đích: – Lí do: Bất đẳng thức là một trong những mảng khĩ của tốn học phổ thơng. Nhưng thơng qua các bài tập về bất đẳng thức người học tốn hiểu kĩ và sâu sắc hơn về các mối quan hệ giữa bất đẳng thức và dạng bài tập tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức. Trong nhiều năm liền, hầu hết các đề thi học sinh giỏi cũng như các đề thi vào các lớp chuyên đều cĩ dạng bài tập: chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức. Nhưng hầu hết các em đều nhận định đây là một trong những dạng tốn khĩ của các đề thi mà các em gặp. Ở chương trình THCS học sinh đã làm quen với một số bất đẳng thức như Cosi, Bunhiacopski, Nhưng vận dụng bất đẳng thức vào giài tốn thì cịn rất hạn chế và thường cĩ sai lầm đáng tiếc. – Mục đích: Xuất phát từ những vấn đề nêu trên tơi đã nghiên cứu và nêu ra một vài dạng toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) nhờ áp dụng bất đẳng thức (BĐT) Côsi để chúng ta có thể tham khảo. 2. Tính mới và sáng tạo: a) Tính mới: - Phân tích sai lầm của học sinh khi sử dụng bất đẳng thức Cơsi trong thực tế giảng dạy từ đĩ đề ra các giải pháp khắc phục sai lầm. - Đưa ra thêm những giải pháp sử dụng bất đẳng thức Cơ si giải bài tốn cực trị một cách linh hoạt hơn. b) Tính sáng tạo: - Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu bất đẳng thức cosi và hệ thống các bài tập quen thuộc để học sinh rèn luyện kỹ năng tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. - Phương pháp nghiên cứu: + Nghiên cứu lí luận: đọc sách giáo khoa tốn 8,9 và một số sách bồi dưỡng học sinh giỏi. + Nghiên cứu thực tế: Quan sát, kiểm tra tập, cách ghi của học sinh; phương pháp thực nghiệm; phương pháp kiểm tra, đánh giá; phương pháp tổng kết rút kinh nghiệm.
2. 1 4 HS giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơ si cho hai số dương ; x y 1 4 4  1 x y xy 1 4 4 4  A 8 min A 8 1 x y x y xy 1 xy(2) 2 2  2 1 4 Sai lầm (1) dấu “=” xảy ra khi 4x y x y Sai lầm (2) dấu “=” xảy ra: x = y Vậy x = y = 0 thì trái với giả thiết x+y = 1 Nếu kết luận khơng cĩ min A cũng sai Giải pháp: Khi sử dụng nhiều bất đẳng thức khác nhau trong một bài tốn thì ta phải kiểm tra xem chúng cĩ đồng thời xảy ra dấu bằng khơng. ♥ Sai lầm thứ ba: Khơng sử dụng hết điều kiện của bài tốn Ví dụ 3: Cho x,y là số dương thỏa x+y =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A 2 2 1 1 A x y x y 1 1 HS giải: Áp dụng bất đẳng thức cosi: x 2 1 , y + 2 (2) x y A 8 min A 8 1  x x2 1 x Dấu “=” xảy ra khi x y 1 1  y y2 1 y  Sai lầm ở chỗ đề bài cho x+y = 1 mà đáp án là x = y = 1 Giải pháp: Khi giải bài tốn mà khơng sử dụng hết điều kiện của đề bài thì cần kiểm tra lại giả thiết. ♥ Sai lầm thứ tư: Sai lầm ở điều kiện 1 Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của A x2 y2 biết x+y = 4 HS giải: 2 2 2 2 x y 2xy A x y 2xy suy ra A đạt giá trị nhỏ nhất x y 2 x y 4 Khi đĩ min A=8 Sai lầm là f(x,y) g(x,y) chứ chưa phải là f(x,y) m (m là hằng số) Giải pháp: Nhấn kỉ điều kiện 1: f(x,y) m (m là hằng số) ♥ Sai lầm thứ năm: Sai lầm ở điều kiện 2 Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất của A= xyz(x+y)(y+z)(z+x) với x,y,z khơng âm và x +y + z = 1 HS giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi
3. b) Tách một hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với một hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của một hạng tử khác cĩ trong biểu thức đã cho. ( Ví dụ 9) Giải pháp 3: Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho ( Ví dụ 10) 2. Tự chấm điểm: 30 điểm II. KHẢ NĂNG ÁP DỤNG: Đề tài cĩ khả năng áp dụng, triển khai cho các khối lớp 8, 9 trong trường nhằm nâng cao chất lượng học sinh giỏi của trường, huyện vì: dễ áp dụng, dễ hiểu, dễ phổ biến áp dụng trong lớp học, trong nhà trường. Để giúp học sinh biết cách làm các bài tập về tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tơi đã tiến hành đọc sách, tham khảo tài liệu để đưa ra một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số, kiểm tra lại các kiến thức lý thuyết đã học cĩ liên quan như: Phân tích đa thức thành nhân tử; các hằng đẳng thức đáng nhớ; giá trị tuyệt đối; lũy thừa bậc chẵn của một số; chia đa thức cho đa thức Từ đĩ giúp học sinh vận dụng kiến thức hợp lý vào từng dạng bài tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất . Bản thống kê ( cuối tháng 5/2019) Sử dụng BĐT Sai lầm ở Sai lầm ở Sử dụng BĐT Sai lầm khi chọn một cách điều kiện thứ điều kiện một cách Sĩ điểm rơi số máy mĩc nhất thứ hai linh hoạt SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ 15 0 0% 0 0% 1 6% 2 14% 12 80% III. HIỆU QUẢ KINH TẾ XÃ HỘI: 1. Về hiệu quả kinh tế: 2. Về hiệu quả xã hội: Thực tế cho thấy khi học sinh học bất đẳng thức ngồi việc được rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức, vận dụng bất đẳng thức vào việc giải tốn mà cịn được nâng cao về mặt tư duy logic lập luận các vấn đề chặt chẽ, phát huy tính sáng tạo, tích cực học tập. Khi nghiên cứu viết đề tài trên bản thân tơi thấy trình độ chuyên mơn được nâng lên. Hơn nữa làm cho bản thân cĩ lịng say mê trong chuyên mơn ngày càng cao. 3. Tự chấm điểm: 30 điểm