Sáng kiến kinh nghiệm Từ định lý Viét đến giải một số bài toán về bất đẳng thức

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Từ định lý Viét đến giải một số bài toán về bất đẳng thức

1. Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2007 - 2008 Chuyên đề “từ định lý viét đến giải một số bài toán về bất đẳng thức” Ngưòi trình bày Phạm văn thơ đơn vị Tổ : khoa học tự nhiên Trương : thcs quang trung SKKN_2008_phạm Thơ_THCS Quang Trung 1
2. Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức A- Đặt vấn đề : * Chúng ta đã biết rằng dạy toán là dạy cho người học để có năng lực trí tuệ, năng lực này sẽ giúp cho người học tiếp thu các kiến thức khác về tự nhiên và xã hội , vì vậy dạy toán không chỉ đơn thuần là dạy cho học sinh nắm được những kiến thức , những khái niệm , những định lý toán học Điều quan trọng hơn cả là dạy cho học sinh có năng lực trí tuệ . Năng lực sẽ được hình thành và phát triển trong hoạt động . Phát triển năng lực chung quy cũng là để tích cực độc lập , sáng tạo ở những nội dung toán học được nghiên cứu. *Trong xu thế chung của những năm gần đây việc đổi mới phương pháp dạy học là vấn đề cấp bách thiết thực nhất , nhằm đào tạo những con người có năng lực hoạt động trí tuệ tốt . Đổi mới phương pháp không chỉ trong giờ giảng lý thuyết , mà ngay cả trong các giờ luyện tập . Luyện tập ngoài việc rèn luyện kĩ năng tính toán , kĩ năng suy luận cần có những bài tập mở , được sắp xếp có hệ thống giúp học sinh củng cố và vận dụng kiến thức một cách năng động và sáng tạo . * Trong chương trình đại số lớp 9 .Định lý Viét ” là một phần kiến thức cơ bản , quan trọng . Định lý Viét cần cho việc lĩnh hội các kiến thức tiếp theo về phương trình quy về bậc hai , giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai Ngoài ra định lý Viét còn được áp dụng để giải một số bài toán chứng minh bất đẳng thức , tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất những vấn đề này góp phần rất lớn trong việc phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh và giúp để giải quyết những bài toán khó mà sách giáo khoa không đề cập tới . B. cơ sở khoa học : • Cơ sở lý luận: - Quy luật của quá trình nhận thức từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng .Song quá trình nhận thức đó đạt hiệu quả cao hay không , có bền vững hay không còn phụ thuộc vào tính tích cực,chủ động sáng tạo của chủ thể . - Đặc điểm của lứa tuổi thiếu niên là đang có xu hướng vươn lên làm người lớn , muốn tự mình tìm hiểu , khám phá trong quá trình nhận thức . ở lứa tuổi học sinh trung học cơ sở có điều kiện thuận lợi cho khả năng tự điều chỉnh hoạt động học tập và tự sẵn sàng tham gia vào các hoạt động khác nhau . Các em có nguyện vọng muốn có các hình thức học tập mang tính chất “ Người lớn ” tuy nhiên nhược điểm của các em là chưa biết cách thực hiện nguyện vọng của mình , chưa nắm được các phương thức thực hiện các hình thức học tập mới . SKKN_2008_phạm Thơ_THCS Quang Trung 2
3. Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức Vì vậy cần có sự hướng dẫn , điều hành một cách khoa học và nghệ thuật của các thầy cô . Trong lý luận về phương pháp dạy học cho thấy . Trong môn toán sự thống nhất giữa điều khiển của thầy và hoạt động học tập của trò có thể thực hiện được bằng cách quán triệt quan điểm hoạt động , thực hiện dạy học toán trong và bằng hoạt động . Dạy học theo phương pháp mới phải làm cho học sinh chủ động nghĩ nhiều hơn , làm nhiều hơn , tham gia nhiều hơn trong quá trình chiếm lĩnh tri thức toán học . Dạy học toán thông qua kiến thức phải dạy cho học sinh phương pháp tư duy quan điểm này cho rằng dạy toán là phải dạy suy nghĩ , dạy bộ óc của học sinh thành thạo các thao tác tư duy phân tích , tổng hợp , trừu tượng hoá , khái quát hoá . . . Trong đó phân tích tổng hợp có vai trò trung tâm . Phải cung cấp cho học sinh có thể tự tìm tòi , tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề dự đoán được các kết quả , tìm được hướng giải quyết một bài toán ,hướng chứng minh một định lý . . . . . - Hình thành và phát triển tư duy tích cực độc lập sáng tạo trong dạy học toán cho học sinh là một quá trình lâu dài , thông qua từng tiết học , thông qua nhiều năm học , thông qua tất cả các khâu của quá trình dạy học trong nội khoá cũng như ngoại khoá • Cơ sở thực tiễn : - Hiện nay trong nhà trường phổ thông nói chung còn nhiều học sinh lười học , lười tư duy trong quá trình học tập . - Học sinh chưa nắm được phương pháp học tập , chưa có những hoạt động đích thực của bản thân để chiếm lĩnh kiến thức một cách chủ động trong những năm qua các trường trung học cơ sở dã có những chuyển đổi tích cực trong việc đổi mới phương pháp giảng dạy trên cơ sở thay sách giáo khoa từ khối 6 đến khối 9 . Học sinh cũng đã chủ động nghiên cứu tìm tòi khám phá kiến thức xong mới chỉ dừng lại những bài tập cơ bản đơn giản ở sách giáo khoa . Định lý Viét là một phần kiến thức khó đối với các em , đặc biệt là khi vận dụng vào giải quyết các bài tập . - Việc vận dụng ngay những lý thuyết đã được học trong sách giáo khoa vào giải bài tập còn khó khăn làm sao các em có khả năng sáng tạo khi vận dụng vào các bài tập có nội dung mở rộng , nâng cao . Ví dụ : Cho phương trình bậc hai x2 - 2(m - 1)x - 3- m = 0 ( với x là ẩn , m là tham số ) Tìm m sao cho nghiệm x1 , x2 của phương trình thoả mãn điều kiện 2 2 x1 + x2 10 SKKN_2008_phạm Thơ_THCS Quang Trung 3
4. Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức + Khi chưa thực hiện chuyên đề này , tôi cho học sinh làm thì thấy kết quả như sau : Lúc đầu 100% số học sinh trong lớp không xác định được dùng kiến thức gì để giải . Do đó các em không giải được . Sau đó tôi gợi ý : Bài toán đề cập tới số nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx +c = 0 (a 0) và tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình này . Lúc đó có tới 30% học sinh nghĩ đến việc sử dụng định lý Viét . Nhưng các em cũng chưa giải được vì để giải bài toán này thông qua định lý Viét còn phải sử dụng các hằng đẳng thức và các bất đẳng thức . + Sau đó tôi nghiên cứu hướng dẫn học sinh theo chuyên đề này thì 80% số học sinh trong lớp đã xác định được ngay hướng giải quyết bài toán và có khoảng 70%- 80% các em làm được . Ngoài ra các em còn có khả năng áp dụng vào giải một số bài tập yêu cầu cao hơn . Đặc biệt là các em vận dụng giảI các bài tập chứng minh bất đẳng thức , tìm cực trị . . . . . Sau đây là phần trình bày nội dung chuyên đề và các bước tiến hành chuyên đề của tôi . C. giảI quyết vấn đề : I / Bước thứ nhất : Tìm hiểu nội dung kiến thức trong sách giáo khoa và phát hiện ra kiến thức mới : 1. Nội dung của sách giáo khoa đã biết : 2 Định lý Viét : Nếu x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình a x +bx +c =0 b x x 1 2 a (a 0) thì tổng và tích hai nghiệm đó là c x . x 1 2 a Nếu hai số u , v có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình : X2 - Sx + P = 0 ĐIều kiện tồn tại hai số đó là S2 - 4P 0 . Đó là những kiến thức cơ bản mà sách giáo khoa đã đưa ra và học sinh đã được làm các bài tập cơ bản một cách quen thuộc 2. Tìm hiểu thấy rằng : Định lý Viét là một định lý quen thuộc , nhưng sử dụng định lý trong những bài toán cụ thể lại là việc không đơn giản , điều quan trọng hơn cả là hãy từ giả thiết của bài toán làm thế nào đó để có được biểu diễn của tổng và tích của hai đại lượng . Từ đó dẫn đến một phương trình bậc hai cuối cùng là tính biệt số của phương trình này và giải bất phương trình 0 . Từ những suy nghĩ đó tôi thấy có thể giúp học sinh giải được những bài tập về chứng minh bất đẳng thức , tìm cực trị . . . . . . . . SKKN_2008_phạm Thơ_THCS Quang Trung 4
5. Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức Dựa trên cơ sở của định lý Viét giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo trong giải toán và khái quát hoá kiến thức mới Những vấn đề quan trọng là ở chỗ phải sắp xếp hệ thống bài tập sao cho học sinh có thể độc lập suy nghĩ , tự xây dựng và sáng tạo trong cách giải nội dụng bài tập nói trên . II/ Bước thứ hai : Xây dựng hệ thống bài tập giúp học sinh độc lập suy nghĩ và sáng tạo trong cách giải ( khái quát hoá kiến thức mới ) khi sử dụng kiến thức đã học . Bài số 1: Cho phương trình x2 - 2(m-1)x - 3 - m = 0 Tìm m sao cho số nghiệm x1 , x2 của phương trình thoả mãn điều kiện 2 2 x1 + x2 10 2 , 2 , 1 1 5 , Xét ( m 1) ( m 3 ) m 0  m 2 4 phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt  m GV Định hướng : Theo định lý Viét ta có được những gì ? x 1 x 2 2 m 1 (I) x 1 . x 2 3 m 2 2 Từ x1 + x2 10 ta biến đổi như thế nào ? để sử dụng được (I) từ đó học sinh biến đổi như sau : 2 2 x1 + x2 10 2 x 1 x 2 2 x 1 x 2 1 0 4 m 1 2 2 m 3 1 0 4 m 2 6 m 0 3 9 9 m 2 m 2 1 6 1 6 2 3 9 m 4 1 6 3 3 m 4 4 3 3 m 3 4 4 m 2 3 3 m m 0 4 4 SKKN_2008_phạm Thơ_THCS Quang Trung 5
6. Từ định lý Viet đến giải một số bài toán về bất đẳng thức Bài số 2 : Cho các số thực x , y , z khác không và thoả mãn điều kiện x+y+z = xyz ; x2 = yz Chứng minh rằng : x2 3 Giải GV: Cho học sinh thấy được khi chuyển vế được y z x y z x y z x 3 x 2 2 y . z x y . z x khi đó bài toán trở thành tìm hai số biết tổng và tích hai nghiệm của chúng. Từ đó học sinh định hướng được việc sử dụng định lý Viét để biến đổi - Theo định lý Viét y , z là hai nghiệm của phương trình : u2 - (x3 - x)u +x2 = 0 u2 + (x-x3)u + x2 = 0 (1) xét = x2(1-x2)2 - 4 (2) vì (1) có nghiệm nên 0 do x 0 nên từ (2) (1- x2)2 - 4 0 (1- x2)2 4 1-x2 -2 x2 3 (đpcm) - Nếu bài toán trên giải theo cách khác thì sẽ phức tạp hơn rất nhiều . Do đó việc sử dụng định lý Viét là một cách giải hay đối với bài toán này . Các em học sinh qua đó càng thấy được để giải một bài toán chúng ta có nhiều cách giải khác nhau nhưng sử dụng cách nào cho lời giải ngắn gọn và chính xác . Bài số 3 : Các số thực x ,y ,z thoả mãn điều kiện x + y + z = 5 và yz +xz + xy = 8 7 7 7 Chứng minh rằng : 1 x ;1 y ;1 z 3 3 3 Giải Từ giả thiết của bài toán x + y + z = 5 và yz + xz + xy = 8 y z 5 x ta có y z 8 x ( 5 x ) Từ đó dẫn đến y ,z là nghiệm của phương trình : u2 + (x-5)u + x2 - 5x +8 = 0 (1) xét = (5-x)2 - 4(x2 - 5x+ 8) vì (1) có nghiệm nên 0 (5-x)2 - 4(x2 - 5x+ 8) 0 7 từ đó suy ra 1 x vì vai trò của x , y , z như nhau nên ta cũng có 3 7 7 1 y ; 1 z 3 3 SKKN_2008_phạm Thơ_THCS Quang Trung 6