Sáng kiến kinh nghiệm Tổng hợp một số kinh ngiệm giải toán hình học không gian

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Tổng hợp một số kinh ngiệm giải toán hình học không gian

1. www.MATHVN.com TỔNG H ỢP M ỘT S Ố KINH NGI ỆM GI ẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN www.MATHVN.com I. Đường th ẳng và m ặt ph ẳng . 1. Tìm giao tuy ến c ủa hai m ặt ph ẳng (cách 1) Ph ươ ng pháp : - Tìm điểm chung c ủa 2 m ặt ph ẳng - Đường th ẳng qua hai điểm chung đó là giao tuy ến c ủa hai m ặt ph ẳng Chú ý : Để tìm điểm chung c ủa hai m ặt ph ẳng ta th ường tìm hai đường th ẳng đòng ph ẳng l ần l ượt n ằm trong hai m ặt ph ẳng đó . Giao điểm , n ếu có của hai đường th ẳng này chính là điểm chung c ủa hai m ặt ph ẳng . 2. Tìm giao điểm c ủa đường th ẳng và m ặt ph ẳng Ph ươ ng pháp : Để tìm giao điểm c ủa đường th ẳng a và m ặt ph ẳng (P) , ta tìm trong (P) m ột đường th ẳng c c ắt A t ại điểm A nào đó thì A là giao điểm c ủa a và (P) . Chú ý : N ếu c ch ưa có s ẵn thì ta ch ọn m ột m ặt ph ẳng (Q) qua a và l ấy c là giao tuy ến c ủa (P) và (Q) . 3. Ch ứng minh 3 điểm th ẳng hàng , ch ứng minh 3 đường th ẳng đồ ng quy . Ph ươ ng pháp : - Mu ốn ch ứng minh 3 điểm th ẳng hàng ta ch ứng minh 3 điểm đó là các điểm chung c ủa hai m ặt ph ẳng phân bi ệt.Khi đó chúng s ẽ th ẳng hàng trên giao tuy ến c ủa hai m ặt ph ẳng đó . - Mu ốn chúng minh 3 đường th ẳng đồ ng quy ta ch ứng minh giao điểm c ủa hai đường nàylà điểm chung c ủa hai m ặt ph ẳng mà giao tuy ến là đường th ẳng th ứ ba . 4. Tìm t ập h ợp giao điểm c ủa hai đường th ẳng di độ ng Ph ươ ng pháp : M là giao điểm c ủa hai đường th ẳng di độ ng d và d' . Tìm t ập h ợp các điểm M. * Ph ần thu ận : Tìm hai m ặt ph ẳng c ố đị nh l ần l ượt ch ứa d và d'. M di đọng trên giao tuy ến c ố đị nh c ủa hai m ặt ph ẳng đó . * Gi ới h ạn (n ếu có) * Ph ần đả o Chú ý : n ếu d di độ ng nh ưng luôn qua điểm c ố đị nh A và c ắt đường th ẳng c ố định a không qua A thì d luôn n ằm trong m ặt ph ẳng c ố đị nh (A,a) 5. Thi ết di ện Thi ết di ện c ủa hình chóp và m ặt ph ẳng (P) là đa giác gi ới h ạn b ởi các giao tuy ến c ủa (P) v ới các m ặt hình chóp . www.mathvn.com 1
2. www.MATHVN.com Ph ươ ng pháp : Xác định l ần l ượt các giao tuy ến c ủa (P) v ới các m ặt c ủa hình chóp theo các bước sau : - T ừ điểm chung có s ẵn , xác đị nh giao tuy ến đầ u tiên c ủa (P) v ới m ột m ặt của hình chóp (Có th ể là m ặt trung gian) - Cho giao tuy ến này c ắt các c ạnh c ủa m ặt đó c ủa hình chóp ta s ẽ được các điểm chung m ới c ủa (P) v ới các m ặt khác . T ừ đó xác đị nh được các giao tuy ến m ới v ới các m ặt này . - Ti ếp t ục nh ư th ế cho t ới khi các giao tuy ến khép kín ta được thi ết di ện . II. Hai đường th ẳng song song . 1. Ch ứng minh hai đường th ẳng song song Ph ươ ng pháp : Có th ể dùng m ột trong các cách sau : - Ch ứng minh hai đường th ẳng đó đồ ng ph ẳng , r ồi áp d ụng ph ươ ng pháp ch ứng minh song song rong hình h ọc ph ẳng (nh ư tính ch ất đường trung bình, định lý đả o c ủa đị nh lý Ta-lét ) - Ch ứng minh hai đường th ẳng đó cùng song song song v ới đường th ẳng th ứ 3 . - Áp d ụng đị nh lý v ề giao tuy ến . 2 . Tìm giao tuy ến c ủa hai m ặt ph ẳng (cách 2 / d ạng 1) Thi ết di ện qua m ột đường th ẳng song song v ới m ột đường th ẳng cho tr ước . Ph ươ ng pháp : * Tìm m ột điểm chung c ủa hai m ặt ph ẳng * Áp d ụng đị nh lý v ề giao tuy ến để tìm ph ươ ng c ủa giao tuy ến (t ức ch ứng minh giao tuy ến song song v ới m ột đường th ẳng đã có) Giao tuy ến s ẽd là đường th ẳng qua điểm chung và song song v ới đường th ẳng ấy . Ghi chú : Ta có 2 cách để tìm giao tuy ến : Cách 1(2 điểm chung) và cách 2 (1 điểm chung + ph ương giao tuy ến) ta th ường s ử d ụng ph ối h ợp 2 cách khi xác đị nh thi ết di ện c ủa hình chóp . 3 . Tính góc gi ữa hai đường th ẳng a,b chéo nhau. Ph ươ ng pháp : Tính góc : Lấy điểm O nào đó . Qua O d ựng a' // a và b' // b Góc nh ọn ho ặc góc vuông t ạo b ởi a',b' g ọi là góc gi ữa a và b . Tính góc : S ử d ụng t ỉ s ố l ượng giác c ủa góc trong tam giác vuông ho ặc dùng định lý hàm s ố côsin trong tam giác th ường . www.mathvn.com 2
3. www.MATHVN.com III. Đường th ẳng song song v ới m ặt ph ẳng . 1. Ch ứng minh đường th ẳng d song song v ới m ặt ph ẳng P Ph ươ ng pháp : Ta ch ứng minh d không n ằm trong (P) và song song v ới đường th ẳng a ch ứa trong (P) . Ghi chú : N ếu a không có s ẵn trong hình thì ta ch ọn m ột m ặt ph ẳng (Q) ch ứa d và l ấy a là giao tuy ến c ủa (P) và (Q) . 2. Tìm giao tuy ến c ủa hai m ặt ph ẳng(Cách 2 / d ạng 2) Thi ết di ện song song v ới m ột đườc th ẳng cho tr ước Ph ươ ng pháp : Nh ắc l ại m ột h ệ qu ả : N ếu đường th ẳng d song song v ới m ột m ặt ph ẳng (P) thì b ất k ỳ m ặt ph ẳng (Q) nào ch ứa d mà c ắt (P) thì s ẽ c ắt (P) theo giao tuy ến song song v ới d . Từ đây xác đị nh thi ết di ện c ủa hình chóp c ắt b ởi m ặt ph ẳng song song v ới một ho ặc hai đường th ẳng cho tr ước theo ph ươ ng pháp đã bi ết . IV. Hai mặt ph ẳng song song . 1. Ch ứng minh hai m ặt ph ẳng song song Ph ươ ng pháp : * Ch ứng minh m ặt ph ẳng này ch ứa hai đường th ẳng c ắt nhau l ần l ượt song song v ới hai đường th ẳng c ắt nhau n ằm trong m ặt ph ẳng kia . Chú ý : Sử d ụng tính ch ất ta có cách th ứ 2 để ch ưngs minh đường th ẳng a song song v ới m ặt ph ẳng (P) . 2. Tìm giao tuy ến c ủa hai m ặt ph ẳng (cách 2 / d ạng 3) Thi ết di ện c ắt b ởi m ột m ặt ph ẳng song song v ới m ột m ặt ph ẳng cho tr ước . Ph ươ ng pháp : - Tìm ph ươ ng c ủa giao tuy ến c ủa hai m ặt ph ẳng b ằng đị nh lý v ề giao tuy ến :"N ếu hai m ặt ph ẳng song song b ị c ắt b ởi m ột m ặt ph ẳng th ứ ba thì hai giao tuy ến song song v ới nhau " . - Ta th ường s ử d ụng đị nh lý này để xác đị nh thi ết di ện c ủa hình chóp c ắt b ởi một m ặt ph ẳng song song v ới m ột m ặt ph ẳng cho tr ước theo ph ươ ng pháp đã bi ết . - Chú ý : Nh ớ tính ch ất www.mathvn.com 3
4. www.MATHVN.com V. Đường th ẳng vuông góc v ới m ặt ph ẳng. 1. Ch ứng minh đường th ẳng vuông góc v ới m ặt ph ẳng Ch ứng minh hai đường th ẳng vuông góc v ới nhau Ph ươ ng pháp : * Ch ứng minh đường th ẳng a vuông góc v ới m ặt ph ẳng (P) - Ch ứng minh a vuông góc v ới hai đường th ẳng c ắt nhau ch ứa trong (P). - Ch ứng minh a song song v ới đường th ẳng b vuông góc v ới (P) . * Ch ứng minh hai đường th ẳng vuông góc v ới nhau . - Ch ứng minh hai đường th ẳng này vuông góc v ới m ột m ặt ph ẳng ch ứa đường th ẳng kia . - Nêú hai đường th ẳng ấy c ắt nhau thì có th ể áp d ụng các ph ươ ng pháp ch ứng minh vuông góc đã h ọc trong hình h ọc ph ẳng . 2. Thi ết di ện qua 1 điểm cho tr ước và vuông góc v ới m ột đường th ẳng cho tr ước . Cho kh ối đa di ện (S) , ta tìm thi ết di ện c ủa (S) v ới m ặt ph ẳng (P) , (P) qua điểm M cho tr ước và vuông góc v ới m ột đường th ẳng d cho tr ước . - N ếu có hai đường th ẳng c ắt nhau hay chéo nhau a,b cùng vuông góc v ới d thì : (P) // a (hay ch ứa a) (P) // b (hay ch ứa b) Ph ươ ng pháp tìm thi ết di ện lo ại này đã được trình bày ở nh ững bài trên . - D ựng m ặt ph ẳng (P) nh ư sau : Dựng hai đường th ẳng c ắt nhau cùng vuông góc v ới d , trong đó có ít nh ất một đường th ẳng qua M . mặt ph ẳng được xác đị nh b ởi hai đường th ẳng trên chính là (P) . Sau đó xác định thi ết di ện theo ph ươ ng pháp đã h ọc . VI. Đường vuông góc và đường xiên. 1. D ựng đường th ẳng qua m ột điểm A cho tr ước và vuông góc v ới m ặt ph ẳng (P) cho tr ước . Tính kho ảng cách t ừ m ột điểm đế n m ột m ặt ph ẳng Ph ươ ng pháp : Th ực hi ện các b ước sau : *Ch ọn trong (P) m ột đường th ẳng d, r ồi d ựng m ặt ph ẳng (Q) qua A vuông góc v ới d (nên ch ọn d sao cho (Q) d ễ dựng ). www.mathvn.com 4
5. www.MATHVN.com *Xác định đường th ẳng * D ựng AH vuông góc v ới c t ại H - Đường th ẳng AH là đường th ẳng qua A vuông góc v ới (P) . - Độ dài c ủa đoạn AH là kho ảng cách t ừ A đế n (P) Chú ý : - Tr ước khi ch ọn d và d ựng (Q) nên xét xem d và (Q) đã cío s ẵn trên hình v ẽ ch ưa. - N ếu đã có s ẵn đường th ẳng m vuông góc v ới (P), khi đó ch ỉ c ần d ựng Ax // m thì - N ếu AB // (P) thì d(A,(P)) = a(B, (P)) - N ếu AB c ắt (P) t ại I thì d(A,(P) : d(B, (P)) = IA : IB 2. Ứng d ụng c ủa tr ục đường tròn Định ngh ĩa : Đường th ẳng vuông góc v ới m ặt ph ẳng ch ứa đường tròn t ại tâm của đường tròn đó . Ta có th ể dùngn tính ch ất c ủa tr ục đường tròn để ch ứng minh đường th ẳng vuông góc v ới m ặt ph ẳng và tính kho ảng cách t ừ m ột điểm đế n m ột m ặt ph ẳng . - N ếu O là tâm đường tròn ngo ại ti ếp tam giác ABC và M là m ột điểm cách đều 3 điểm A,B,C thì đường th ẳng MO là tr ục c ủa đường tròn ngo ại ti ếp tam giác ABC; khi đó MO vuông góc v ới m ặt ph ẳng (ABC) và MO = d(M,(ABC)) - N ếu MA=MB=MC và NA=NB=NC trong đó A,B,C là ba điểm không th ẳng hàng thì đường th ẳng MN là trục đường tròn qua ba điểm A,B,C; khi đó MN vuông góc v ới m ặt ph ẳng (ABC) t ại tâm O c ủa đươ ng tròn qua ba điểm A,B,C . 3. T ập h ợp hình chi ếu c ủa m ột điểm c ố đị nh trên m ột đường th ẳng di độ ng Ta th ường g ặp bài toán : Tìm t ập h ợp hình chi ếu vuông góc M c ủa điểm c ố định A trên đường th ẳng d di độ ng trong m ặt ph ẳng (P) c ố đị nh và luôn đi qua điểm c ố đị nh O . Ph ươ ng pháp : - D ựng , theo định lý ba đường vuông góc ta có - Trong m ặt ph ẳng (P), nên M thu ộc đường tròn đường kính OH ch ứa trong (P) . 4. Tìm t ập h ợp hình chi ếu vuông góc c ủa m ột điểm c ố đị nh trên m ặt ph ẳng di động . Ta th ường g ặp bài toán : Tìm t ập h ợp hình chi ếu vuông góc H c ủa m ột điểm cố d ịnh A trên m ặt ph ẳng (P) di độ ng luôn ch ứa m ột đường th ẳng d c ố đị nh . Ph ươ ng pháp : - Tìm m ặt ph ẳng (Q) qua A vuông góc v ới d www.mathvn.com 5
6. www.MATHVN.com - Tìm - Chi ếu vuông góc A lên c, điểm chi ếu là H thì H c ũng là hình chi ếu c ủa A trên (P) . Gọi E là giao điểm c ủa d v ới (Q). Trong m ặt ph ẳng (Q), nên H thu ộc đường tròn đươ ng kính AE . 5. Góc gi ữa đươ ng th ẳng và m ặt ph ẳng Cách xác định góc gi ữa a và (P) . Ph ươ ng pháp : - Tìm giao điểm O c ủa a v ới (P) - Ch ọn điểm và d ựng khi đó . VII. Hai mặt ph ẳng vuông góc 1. Nh ị di ện góc gi ữa hai m ặt ph ẳng Khi gi ải các bài toán liên quan đến s ố đo nhị di ện hay góc gi ữa hai m ặt ph ẳng thì ta th ường xác đị nh góc ph ẳng c ủa nh ị di ện. N ếu góc này ch ưa có sẵn trên hình ta có th ể d ựng nó theo ph ươ ng pháp d ưới đây . Ph ươ ng pháp : - Tìm c ạnh c c ủa nh ị di ện (giao tuy ến c ủa hai m ặt ph ẳng (P) và (Q) ch ứa hai mặt của nh ị di ện ) - D ựng m ột đoạn th ẳng AB có hai đầ u mút ở trên hai m ặt c ủa nh ị di ện và vuông góc v ới m ột m ặt c ủa nh ị di ện . - Chi ếu vuông góc A ( hay B ) trên c thành H . ta được là góc ph ẳng c ủa nh ị di ện . Chú ý : - N ếu đã có m ột đường th ẳng d c ắt hai m ặt c ủa nh ị di ện t ại A, B và vuông góc v ới c ạnh c c ủa nh ị di ện thì ta có th ể d ựng góc ph ẳng c ủa nh ị di ện đó nh ư sau ; Chi ếu vuông góc A ( hay B hay m ột điểm trên AB ) trên c thành H . Khi đó là góc ph ẳng c ủa nh ị di ện . - N ếu hai đường th ẳng a , b l ần l ượt vuông góc v ới hai m ặt ph ẳng (P), (Q) thì . - N ếu hai m ặt c ủa nh ị di ện l ần l ượt ch ứa hai tam giác cân MAB và NAB có chung đáy AB thì ( I là trung điểm c ủa AB ) là góc ph ẳng c ủa nh ị di ện đó . 2. M ặt phân giác c ủa nh ị di ện , cách xác đị nh m ặt phân giác . Ph ươ ng pháp : www.mathvn.com 6