Sáng kiến kinh nghiệm Tìm hiểu bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Tìm hiểu bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số

1. Mục lục 1. Lí do chọn đề tài 2 2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 3 2.1 Cơ sở lí luận 3 2.1.1 Định nghĩa tiếp tuyến của đường cong phẳng 3 2.1.2 Một số bài toán cơ bản về tiếp tuyến của đồ thị hàm số. 4 2.2 Thực trạng của vấn đề 10 2.3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề 11 2.3.1 Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm của thuộc đồ thị 11 2.3.2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết hệ số góc cho 15 trước 2.3.3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua 18 một điểm cho trước 2.4. Hiệu quả của SKKN 22 2.4.1 Khảo sát thực tế: 22 2.4.2 Kết quả sau khi thực hiện SKKN: 22 3. Kết luận: 24 Phụ lục 26 Đề số 1 Đề số 2 30 Tài liệu tham khảo 35 - 1 -
2. 1. Lí do chọn đề tài Chủ đề hàm số là một nội dung cơ bản của chương trình toán THPT. Một bài toán về chủ đề hàm số không chỉ đơn thuần là tìm tập xác định, xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số mà còn đề cập đến những vấn đề khác như: Viết phương trình tiếp tuyến; chứng minh tính chất tiếp tuyến; tìm tập hợp điểm mà từ đó kẻ được các tiếp tuyến đến đồ thị hàm số Bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là một trong những nội dung quan trọng và thường gặp trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh vào CĐ – ĐH trong những năm gần đây, nhưng rất nhiều học sinh còn mơ hồ và lúng túng không biết giải bài toán này. Bài toán viết phương trình tiếp tuyến có nhiều dạng khác nhau, học sinh thường mắc sai lầm giữa bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm và viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm; một dạng nữa là viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến, chứng minh tính chất của tiếp tuyến đối với học sinh lại càng khó. Học sinh không có phương pháp làm bài tập viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số vì các em mới chỉ được biết sơ qua ở chương trình lớp 11 lại được luyện tập rất ít. Hơn nữa các em không biết phân loại bài tập để có cách giải hữu hiệu, trong quá trình làm bài tập rất nhiều bài giải học sinh còn bỏ sót trường hợp ví dụ như chưa tìm hết tiếp điểm; đánh tráo đề bài Như ở trên cũng đã nói, trong chương trình cũng như sách giáo khoa đại số và giải tích lớp 11 học sinh mới chỉ được tiếp cận và hiểu biết bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ở mức độ nhất định; chưa hiểu sâu về lí thuyết; chưa được rèn luyện nhiều về kĩ năng. Chính vì vậy tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm về bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số với mong muốn giúp học sinh hiểu sâu hơn về bài toán này và được rèn kĩ năng nhiều hơn, vận dụng vào giải toán thành thạo hơn, đó là lí do tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “TÌM HIỂU BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ” - 2 -
3. 2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận: 2.1.1 Định nghĩa tiếp tuyến của đường cong phẳng Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho đường cong (C) giả sử (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) và M 0 (x 0 ; f (x 0 )) (C) kí hiệu M(x; f(x)) là điểm di chuyển trên ( C) y (C) M T f(x) f(x 0 ) M 0 O x 0 x x Đường thẳng M 0M là một cát tuyến của ( C). Khi x x 0 thì M(x; f(x)) di chuyển trên ( C) tới M 0 (x 0 ; f (x 0 )) và ngược lại. Giả sử cát tuyến M 0M có vị trí giới hạn, kí hiệu là M 0T thì M 0T được gọi là tiếp tuyến của ( C) tại M 0 . Điểm M 0 được gọi là tiếp điểm. Tại mỗi vị trí của M trên (C) ta luôn có f (xM ) f (x0 ) kM xM x0 *) Nhắc lại ý nghĩa hình học của đao hàm: “Đạo hàm của hàm số y =f(x) tại x 0 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm M 0 (x 0 ; f (x 0 ))”. Hơn nữa ta có kết quả sau: “Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x 0 thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm nếu biết tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số là M 0 (x 0 ; f (x 0 )) có phương trình là y f (x0 ) f '(x0 )(x x0 ) ” - 3 -
4. Sau đây ta không xét trường hợp tiếp tuyến song song hoặc trùng với oy *) Định lý 1: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại điểm M 0 (x 0 ; f (x 0 )) là y y0 f '(x0 )(x x0 ) trong đó y0 f x0 *)Định lý 2: Cho hàm số y f (x) có đồ thị (C) và đường thẳng d: y = kx + b. Đường thẳng f (x) kx b d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: f '(x) k Khi đó nghiệm x của hệ phương trình chính là hoành độ tiếp điểm 2.1.2 Một số bài toán cơ bản về tiếp tuyến của đồ thị hàm số. 1. Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm của thuộc đồ thị a. Bài toán 1: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và điểm M 0 x0; y0 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M 0 x0; y0 (C) Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3- 6x2+ 9x có đồ thị (C) Hãy viết phương trình tiếp tuyến tại điểm A(2;2) thuộc đồ thị (C) Giải Ta có: y’=3x2-12x +9 Với: x = 2 ; y = 2 và y’(2)= -3 Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm A(2;2) l à: y 3(x 2) 2 hay y 3x 8 x 2 Ví dụ 2: Cho hàm số y = có đồ thị (C). Hãy viết phương trình tiếp 2x 3 tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị với trục 0y 1 Giải: y' (2x 3)2 - 4 -
5. 2 1 Giao điểm của đồ thị với 0y: 0; , hệ số góc y' 0 3 9 1 2 Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị đã cho là y x 9 3 b. Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =f(x) tại điểm có hoành độ x = x 0 (Hoặc : y= y 0 ) Ví dụ 1: Cho hàm số y = x 4 - 2x2 có đồ thị (C). Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x= -2 Giải Ta có: y’=4x3- 4x Với: x = -2 y = 8 và y’(-2)= - 24 Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm A(-2;8) là: y = -24( x + 2 ) + 8 hay y = -24x - 40 Ví dụ 2: Cho hàm số y x 3 3x 5 có đồ thị (C). Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ y = 5 Giải : y' 3x2 3 x 0 3 3 Ta có y 5 x 3x 5 5 x 3x 0 x 3 x 3 +) Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm (0;5) y’(0) = -3 Do đó phương trình tiếp tuyến là y 5 3(x 0) hay y = -3x +5. +) Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm ( 3;5) . y'( 3) 3( 3) 2 3 6 Do đó phương trình tiếp tuyến là : y 5 6(x 3) hay y 6x 6 3 5. +) Tương tự phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm( 3;5) là : y 6x 6 3 5 . - 5 -
6. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết hệ số góc cho trước Bài toán: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và một số k ¡ . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc k x 1 Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y (C) có hệ số x 1 góc bằng 2 2 x 0 y ' (x2 2x 1) 1 2 2 = 2 => x 2x 0 x 1 x 2 Có 2 toạ độ tiếp điểm là (0; 1), ( 2;3) Hai phương trình tiếp tuyến: y 3x 1 và y 3(x 2) 3 y 3x 9 x 3 Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến với C : y biết tiếp tuyến song 2x 1 song với d : y 7x 1. Giải: 7 1 x 0 Ta có 7 1 2 2 x 1 2x0 1 2x0 1 Có hai phương trình tiếp tuyến y 7x 3, y 7x 3 Ví dụ 3: Cho hàm số y=x3 3x2 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng :3x 5y 4 0 Giải: 3 Cách 1 : Đường thẳng có hệ số góc k . Vì tiếp tuyến d cần tìm vuông góc 5 5 với đường thẳng nên hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm là k d 3 Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến là nghiệm của phương trình 1 x 1 5 2 5 2 3 y' 3x 6x 9x 18x 5 0 3 3 5 x 2 3 - 6 -
7. Thay lần lượt x1, x2 vào phương trình tiếp tuyến tổng quát, ta được các tiếp tuyến 5 61 5 31 là: y x và y x 3 7 3 7 5 Cách 2 : Phương trình tiếp tuyến có dạng d : y x c (*) 3 d là tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm 5 61 x3 3x2 2 x c c 3 1 27 5 31 3x2 6x c 3 2 27 5 61 Thay lần lượt c ;c vào phương trình (*), ta được các tiếp tuyến là: y x 1 2 3 7 5 31 và y x 3 7 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước Bài toán: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và điểm A a;b cho trước. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) qua A đến đồ thị (C) Ví dụ 1: Cho hàm số y x3 3x2 2. Viết phương trình tiếp tuyến kẻ đến đồ thị 23 từ điểm A( ; 2) 9 Giải: 23 Đường thẳng d đi qua điểm A có phương trình y k x 2 (*) 9 Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm 3 2 23 3 2 2 23 x 3x 2 k x 2 x 3x 2 (3x 6x) x 2 9 9 2 2 3x 6x k 3x 6x k - 7 -
8. x 2 k 0 1 x 5 3 k 3 x 3 k 9 2 3x 6x k Thay k lần lượt vào (*), ta được các phương trình tiếp tuyến là: 5 61 d : y 2, d : y x và d : y 9x 25 1 2 3 27 3 1 3 3 Ví dụ 2: Cho hµm sè y x 4 3x 2 (C) . ViÕt pttt cña (C) ®i qua A(0; ). 2 2 2 Gi¶i: 3 3 Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng qua A(0; ) cã d¹ng: y kx (d) 2 2 §­êng th¼ng (d) lµ tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) khi vµ chØ khi hÖ sau: 1 4 2 3 3 x 3x kx 2 2 2 cã nghiÖm. 3 2x 6x k x 0 4 2 Suy ra 3x 6x 0 x 2 x 2 3 +) Víi x = 0 k 0 . Pttt lµ: y . 2 3 +) Víi x 2 k 2 2 . Pttt lµ: y 2 2x . 2 3 +) Víi x= - 2 k 2 2 . Pttt lµ: y = 2 2x . 2 3 KÕt luËn: VËy cã ba tiÕp tuyÕn kÎ tõ A(0; ) ®Õn ®Õn thÞ (C). 2 x Ví dụ 3: Cho hµm sè y (C). Gäi I lµ giao ®iÓm cña hai ®­êng tiÖm cËn cña x 1 ®å thÞ hµm sè. CMR: kh«ng cã tiÕp tuyÕn nµo ®i qua I. Gi¶i: Ta cã tiÖm cËn ®øng x = -1. TiÖm cËn ngang y = 1. Do ®ã to¹ ®é giao ®iÓm cña hai ®­êng tiÖm cËn lµ: I(-1; 1). Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng qua I(-1; 1) cã d¹ng: y = k(x+ 1) + 1 (d). - 8 -
9. §­êng th¼ng (d) lµ tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C ) khi vµ chØ khi hÖ sau cã nghiÖm: x k(x 1) 1 x 1 x 1 x 1 2 (x 1) 1 1 x x 2 1 x 1 (x 1) x 1 x 1 2 k (x 1) (v« nghiÖm) => (®iÒu ph¶i chøng minh). x 2 x 1 Ví dụ 4: Cho hµm sè y (C). T×m c¸c ®iÓm trªn trôc tung mµ tõ ®ã kÎ x 1 ®­îc 2 tiÕp tuyÕn ®Õn ®å thÞ (C). Gi¶i: 1 ViÕt l¹i y d­íi d¹ng y x 2 (C). x 1 Gäi B(0;b) Oy , Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng qua B cã d¹ng: y = kx + b (d). §­êng th¼ng (d) lµ tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) khi vµ chØ khi hÖ sau cã nghiÖm: 1 1 x 2 kx b x 2 kx b x 1 x 1 (I) 1 1 1 2 k x 1 kx k (x 1) x 1 2 1 b 3 k 3 b k x 1 x 1 2 1 b 3 k (1) x 1 2 Do ®ã (I) 1 1 2 k (2) (x 1) HÖ cã nghiÖm khi vµ chØ khi (1) cã nghiÖm tháa m·n (2) b 3 k 0 2 k b 3 b 3 k k 2 2(b 1)k (b 3) 2 4 0 (*) 1 ( ) 2 k 2 Yªu cÇu bµi to¸n tho¶ m·n khi ph­¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm kh¸c b + 3 ' 0 (b 1) 2 ((b 3) 2 4) 0 b 1 2 2 (b 3) 2(b 1)(b 3) (b 3) 4 0 4b 8 0 b 2 VËy, c¸c ®iÓm trªn trôc tung cã tung ®é bÐ h¬n -1 vµ kh¸c -2 th× tõ ®ã kÎ ®­îc 2 tiÕp tuyÕn ®Õn ®å thÞ (C). - 9 -