Sáng kiến kinh nghiệm Tìm cực trị bằng phương pháp “Phương trình bậc hai”

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Tìm cực trị bằng phương pháp “Phương trình bậc hai”

1. Phần 1 THễNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Số phỏch do Phũng GD-ĐT ghi 1. Tờn sỏng kiến: Tỡm cực trị bằng phương phỏp “ phương trỡnh bậc hai” 2. Lĩnh vực ỏp dụng sỏng kiến: Giỏo dục bậc Trung học cơ sở 3. Tỏc giả: Họ và tờn: Nguyễn Trọng Dũng Sinh ngày: 25 – 12- 1983 Trỡnh độ chuyờn mụn: Đại học sư phạm Toỏn Chức vụ, đơn vị cụng tỏc: Giỏo viờn trường THCS Thanh Thủy Điện thoại: 0975578158 4. Đơn vị ỏp dụng sỏng kiến lần đầu: Học sinh khối lớp 7, 8, 9 Trường THCS Thanh Thủy. 5. Thời gian ỏp dụng sỏng kiến lần đầu: Năm học 2010 – 2011. HỌ TấN TÁC GIẢ (Kí TấN) XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
2. PHẦN MỘT THễNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Số phỏch do Phũng GD&ĐT ghi 1. Tờn sỏng kiến: Tỡm cực trị bằng phương phỏp “ phương trỡnh bậc hai” 2. Lĩnh vực ỏp dụng sỏng kiến: 3. Tỏc giả: 4. Đơn vị ỏp dụng sỏng kiến lần đầu: 5. Thời gian ỏp dụng sỏng kiến lần đầu: HỌ TấN TÁC GIẢ (Kí TấN) XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN 2
3. TểM TẮT SÁNG KIẾN Các bài toán tìm giá trị lớn nhất (Max), giá trị nhỏ nhất (Min) có một vị trí xứng đáng trong chương trình dạy và học toán ở khối THCS. Các bài toán này rất phong phú về thể loại, về cánh giải. Nó đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng nhiều kiến thức và vận dụng cỏc kiến thức đú một cách hợp lý nhiều khi khá độc đáo. Có nghĩa đây thực sự là một bài toán khó. Vì vậy chúng thường xuyên có mặt trong các kỳ tuyển sinh vào lớp 10 cũng như các kỳ thi học sinh giỏi. Để phần nào giúp các em học sinh THCS, đặc biệt là các em học sinh lớp 9 trong giải Toỏn, tôi xây dựng chuyên đề: “Giải bài toán cực trị bằng phương pháp phương trình bậc hai”. Nội dung của nó là ứng dụng điều kiện có nghiệm, công thức nghiệm vào việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức đại số. Cụ thể là : * Thuật toán hoá cách giải bài toán cực trị. * Củng cố, khắc sâu cách giải phương trình bậc hai. Việc thể hiện các nội dung trên được trình bày thông qua hệ thống ví dụ từ dễ đến khó. Cuối cùng là hệ thống bài tập để luyện giải. 3
4. PHẦN HAI NỘI DUNG 1. Giới hạn của đề tài 1.1. Về kiến thức Để giải bài toán tìm cực trị của biểu thức đại số, đối với học sinh cấp T.H.C.S có thể trình bày theo 1 trong các cách sau : Cách 1 : Dùng bất đẳng thức đại số : * f (x) K1;x TXĐ ( K1 = Const ) Dấu “ = “ Có thể thực hiện được fmin = K1. * f (x) K2 ;x TXĐ ( K2 = Const ) Dấu “ = “ Có thể thực hiện được fmax = K2. Cách 2 : Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2 Gọi y0 là 1 giá trị của f(x) có thể đạt được x TXĐ/ f(x) = y0 (I) Khai thác điều kiện để (I) có nghiệm x TXĐ ta tìm được miền giá trị T của hàm số f(x) từ đó tìm thấy fmax, fmin (nếu có). Nội dung đề tài này chỉ nghiên cứu tìm cực trị của biểu thức đại số theo cách 2, đồng thời tổng kết xem với cách này có thể tìm được cực trị của những biểu thức đại số dạng như thế nào? 1.2. Về đối tượng áp dụng Đề tài này dùng để ôn tập, trang bị cho học sinh có học lực khá, giỏi sau khi đã học về công thức nghiệm của phương trình bậc hai và định lý Viét. Đồng thời đề tài này có thể dụng làm tài liệu tham khảo cho các đồng chí giáo viên giảng dạy bộ môn toán. 2.Tỡnh hỡnh nghiờn cứu và cụng việc đó làm được 2.1 Tình hình nghiên cứu Qua thực tế giảng dạy, ôn tập cho học sinh lớp 9 nhiều năm và qua tham khảo tài liệu tôi thấy : 4
5. Khi gặp bài toán tìm cực trị của hàm f(x) hầu hết các tài liệu ôn tập đều hướng dẫn làm theo phương pháp “Dùng bất đẳng thức đại số”. Đây là một phương pháp hay, dễ trình bày đối với học sinh, học sinh có thể giải thành thạo bài toán trong trường hợp f(x) là một hàm số bậc hai hoặc dạng phân thức đặc biệt. Tuy nhiên khi gặp dạng f(x) là một phân thức hoặc một biểu thức căn thì phương pháp “Dùng bất đẳng thức đại số” lại không phù hợp, nó làm cho học sinh lúng túng vì cách làm lại mang tính chất áp đặt không tự nhiên, không hình thành cho học sinh một phương pháp suy luận. Ví dụ : Trong tài liệu ôn tập môn toán 9 của sở giáo dục Hải Dương năm 1996, đề 3 câu 2: x2 2x 3 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của A với : A x2 2 Giải : Phương pháp “dùng bất đẳng thức đại số” 1 2 1 2 (x 2) x 2x 2 2 1 (x 2) 1 Để tìm Min A ta biến đổi: A 2 2 x2 2 2 2(x2 2) 2 1 1 A x 2 min A x 2 2 2 • Để tìm maxA ta biến đổi: 2(x2 2) x2 2x 1 (x 1)2 A 2 2 x2 2 x2 2 A 2 x 1 maxA = 2 x 1 1 Vậy Max A = 2 khi x = 1; Min A = khi x = - 2 2 Rõ ràng cách giải này ngắn gọn nhưng mang tính áp đặt. Học sinh có thể thắc mắc “dựa trên cơ sở suy luận nào mà tách được A như vậy” nếu đối với một biểu thức B khác thì tách như thế nào? Trường hợp biểu thức C có cực trị là một giá trị vô tỉ thì làm thế nào để tách được? Một ví dụ khác : Câu 4 đề 4 tài liệu ôn tập toán 9 của sở giáo dục Hải Dương năm 1997 có bài 5
6. Cho x2 3y2 1. Tìm giá trị lớn nhất của A x y Giải : “ Dùng bất đẳng thức đại số” Nhận thấy x- y và x2 3y2 là các thành phần của bất đẳng thức Bunhiacopski (a.x b.y)2 (a2 b2 )(x2 y2 ) . áp dụng bđt trên ta có: 1 1 4 (x y)2 (x ( 3y))2 (12 ( )2 )(x2 ( 3y)2 ) 3 3 3 4 2 2 (x y)2 x y maxA = . Dấu “ = “ xảy ra khi : 3 3 3 3 3 3 3 3 3 (x; y) ( ; ) hoặc (x; y) ( ; ) 6 6 6 6 Cách giải này là quá khó đối với học sinh thậm chí khó cả đối với giáo viên. Trong thực tế giảng dạy tôi đã chữa cho học sinh 2 ví dụ trên theo cách “dùng bất đẳng thức đại số” sau đó cho học sinh làm 2 ví dụ tương tự, kết quả số học sinh làm được là không đáng kể. Để giải quyết được phần nào khó khăn cho học sinh khi gặp dạng toán tìm cực trị của hàm phân thức, căn thức chúng ta có thể trang bị cho học sinh “phương pháp miền giá trị” cơ sở lý luận của phương pháp này là điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2, đó là một vấn đề quen thuộc đối với học sinh lớp 9. Tôi nghĩ rằng phương pháp tìm cực trị này cần được tổng kết và áp dụng vào giảng dạy, ôn luyện cho học sinh nhằm mục đích : - Thuật toán hoá cách giải bài toán tìm cực trị. - Củng cố khắc sâu cách giải phương trình bậc hai. Tuy nhiên, do trình độ và thời gian có hạn, đề tại này khó trách khỏi thiếu sót. Rất mong các bạn đồng nghiệp phê bình, góp ý. 3. Phương pháp nghiên cứu 3.1. Nghiên cứu tài liệu tham khảo Trước khi viết đề tài nay tôi luôn suy nghĩ có những phương pháp nào để tìm cực trị của hàm số? Phương pháp nào phù hợp với học sinh cấp THCS ? Từ các 6
7. câu trả lời tìm được tôi dã tham khảo các chuyên đề về bất đẳng thức, phương trình bậc 2, tam thức bậc 2 và các bài toán về tim cực trị. Qua các chuyên đề đó tôi nghiên cứu lời giải, phân tích các ưu điểm, hạn chế của từng phương pháp nhằm nắm vững phương pháp suy luận, tìm ra điểm giống nhau, khác nhau giữa các dạng bài tập. 3.2. Nghiên cứu phương pháp dạy đại số 9 Thông qua việc tìm cực trị của biểu thức đại số kết hợp ôn lại công thức nghiệm của phương trình bậc 2, định lý vi ét, bất phương trình bậc nhất, giải phương trình bậc nhất Kết hợp giữa việc học kiến thức mới với việc ôn lại, hệ thống lại từng bước kiến thức, kỹ năng tính toán. Kết hợp linh hoạt giữa phân tích và tổng hợp, quy nạp và suy diễn nhưng luôn đảm bảo tính vừa sức đối với học sinh. 3.3. Nghiên cứu đến nội dung đề tài *Xây dựng lý thuyết. *Hệ thống bài tập từ dễ đến khó. *Hệ thống bài tập luyện giải. 4. Nội dung chuyên đề 4.1. Kiến thức cơ bản. 4.1.1.Định nghĩa Cho hàm số f(x) xác định trên miền D nào đó. Ta nói rằng M là giá trị lớn f (x) M ,x D nhất (Max) trên D nếu thoả mãn (M = const) x0 D / f (x0 ) M Khi đó Max f(x) = M tại x = x0 . Tương tự, m là giá trị nhỏ nhất (Min) trên D nếu thoả mãn : f (x) m,x D (m= const ) Khi đó Min f(x) = m tại x = x0 . x0 D / f (x0 ) m 7
8. Như vậy, khi nói đến giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm số, ta phải xác định xem hàm số xác định trên tập hợp nào? có tồn tại giá trị của biến số để dấu “=” xảy ra hay không? 4.1.2.Công thức nghiệm của phương trình bậc hai . Phương trình bậc hai : ax2 bx c 0 . Với b2 4ac • Nếu 0 : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 x2 2a 4.1.3.Hệ thức Viét. 2 Nếu phương trình ax bx c 0 có 2 nghiệm là x1, x2 thì: b c S = x x ; P = x .x 1 2 a 1 2 a * Phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu P 0 0 * Phương trình bậc hai có hai nghiệm âm S 0 P 0 0 * Phương trình bậc hai có hai nghiệm dương S 0 P 0 4.1.4. Phương pháp phương trình bậc hai. Cho hàm số f(x) xác định trên D. Việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của f(x) được làm như sau: Gọi y0 là một giá trị của f(x) điều đó có nghĩa y0 = f(x) có nghiệm trên D (I). * Với f(x) là hàm bậc hai ta có thể dễ dàng tìm được điều kiện của y0 thoả mãn (I). 8
9. + Nếu y0 M và dấu “=” có thể đạt được thì Max f(x) = M + Nếu y0 m và dấu “=” có thể đạt được thì Min f(x) = m. Như vậy bản chất của phương pháp này chính là việc tìm điều kiện để một phương trình bậc hai có nghiệm ( 0 ). Việc này đối với học sinh lớp 9 không phải là việc khó. *Trường hợp f(x) không phải là hàm bậc hai, + Nếu y0 = f(x) có thể biến đổi về dạng phương trình bậc hai với TXĐ là ' D thì bài toán quy về việc tìm điều kiện của y0 để phương trình mới có nghiệm trên D' . + Nếu y0 = f(x) không thể biến đổi về dạng phương trình bậc hai thì dùng phương pháp này không làm được. 4.2. Một số ví dụ: Ví dụ 1: Tìm min của f(x) = 3x2 4x 5 Giải: ĐKXĐ: R Gọi y0 là một giá trị nào đó của f(x) suy ra phương trình 2 2 y0 = 3x 4x 5 có nghiệm ( ẩn x) 3x 4x 5 y0 0 có nghiệm 11 2 ' 4 3(5 y ) 3y 11 0 y . Dấu “=” xảy ra khi x 0 0 0 3 3 * chú ý : Đa thức f(x) = ax2 bx c • Với a > 0 có Min • Với a < 0 có Max x2 2x 3 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f (x) x2 2 Giải: ĐKXĐ: R Gọi y0 là một giá trị nào đó của f(x) suy ra phương trình 9
10. x2 2x 3 y có nghiệm 0 x2 2 2 ' x (1 y0 ) 2x 3 2y0 0 có nghiệm 1 (1 y0 )(3 2y0 ) 0 1 2y2 5y 2 0 Giải bpt này được y 2 0 0 2 0 • Xét y0 = 2 suy ra x = 1 • Xét y0 = 1/2 suy ra x = -2. Vậy Max f(x) = 2 khi x = 1 ; Min f(x) = 1/2 khi x = - 2. • Chú ý : Nếu 1- y0 = 0 suy ra y0 = 1 thì phương trình đã cho cũng có nghiệm, nhưng 1/2 < y0 = 1 < 2 nên kết quả bài toán không thay đổi. 3x4 2x2 6 Ví dụ 3: Tìm Max, Min của f (x) 4 2 x x 1 Giải: Dễ thấy ĐKXĐ : R 2 Đặt x m 0. Gọi y0 là một giá trị nào đó của f(x) suy ra phương trình 3m2 2m 6 y (*) phải có nghiệm không âm. (I) 0 m2 m 1 34 (*) m2 (3 y ) m(2 y ) 6 y 0 có 3(y 2)(y ) 0 0 0 0 0 3 2 y 6 y S 0 ; P 0 Do đó điều kiện (I) xảy ra khi: 3 y0 3 y0 Hoặc P 0 3 y0 6 (1) 34 2 y 0 0 3 Hoặc S 0 y0 6; y0 3 2 y0 3 (2) P 0 2 y 3 0 Kết hợp (1) và (2) suy ra để phương trình có nghiệm không âm thì 2 y0 6 + Với y0 = 2 suy ra m = 2 hay x 2 10