Sáng kiến kinh nghiệm Thiết diện của hình chóp hay hình lăng trụ khi cắt bởi một mặt phẳng

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Thiết diện của hình chóp hay hình lăng trụ khi cắt bởi một mặt phẳng

1. Sở giáo dục & đào tạo hà nội Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam Trường THPT bình minh Độc lập - Tự do - Hạnh phúc đề tài Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2008-2009 I - Sơ yếu lý lịch Giáo viên thực hiện: Bùi lương Vẻ Ngày sinh: 10 – 07 – 1977 Chức vụ: Giáo viên Toán Năm vào ngành: 2000 Trình độ chuyên môn: Cử nhân Toán - Tin Hệ đào tạo: Chính quy Đơn vị công tác: Trường THPT Bình Minh - Hoài Đức - Hà Nội Bộ môn giảng dạy: Toán Trình độ ngoại ngữ: Tiếng Anh -B Trình độ chính trị: Sơ cấp 1
2. II - Nội dung đề tài 1 - Tên đề tài: thiết diện của hình chóp hay hình lăng trụ khi cắt bởi một mặt phẳng ( chủ đề bồi dưỡng tự chọn bám sát theo chương trình cơ bản lớp 11 ) 2 - Lý do chọn đề tài: 2.1. Xuất phát từ nhiệm vụ của việc dạy học môn toán: Phát triển trí tượng không gian là một trong những nhiệm vụ quan trọng của việc dạy học môn toán. Môn hình học không gian, đặc biệt là nội dung “vết cắt và thiết diện” góp phần quan trọng để thực hiện nhiệm vụ này. 2.2. Xuất phát từ tầm quan trọng của bài toán vết cắt và thiết diện: Chúng ta đã biết học sinh được học phần hình học phẳng tư lớp 6 đến hết lớp 10. Phần hình học không gian học sinh đã được làm quen với hình trụ, nón, cầu ở lớp 9 và chương 2,3 của hình học lớp 11. Trong đó “bài toán thiết diện” xuyên suốt cả chương trình: Cách xác định thiết diện của hình chóp hay hình lăng trụ khi cắt bởi một mặt phẳng . Như vậy bài toán tìm thiết diện chiếm một vị trí quan trọng trong chương trình hình học không gian lớp 11. Mặt khác, loại bài tóan này có tác dụng rất lớn trong việc phát triển năng lực tư duy và nhiều kỹ năng cho học sinh (tư duy thuật toán, trí tưởng tượngkhông gian, kỹ năng vẽ hình, kỹ năng tính toán ). Nó góp phần thực hiện mục tiêu của việc dạy và học toán ở phổ thông. 2.3. Xuất phát từ việc dạy hình không gian ở trường phổ thông: Sách giáo khoa trình bày bài toán thiết diện như thế nào? Bài toán thiết diện được SGK hình học 11 trình bày xuyên suốt cả hai chương. Tuy nhiên SGK đưa ra khái niệm “thiết diện (mặt cắt) của hình H cắt bởi một mặt phẳng (P) là phần chung của mặt phẳng (P) và hình H” và cách xác định thiết diện của hình chóp hay hình lăng trụ khi cắt bởi một mặt phẳng thông qua ví dụ.Nên số học sinh hình dung và hiểu được bài toán tìm thiết diện còn hạn chế. Những khó khăn của giáo viên khi giảng dạy nội dung trên: SGK không nêu phương pháp xác định thiết diện cho từng loại cụ thể, trong khi đó hệ thống bài tập trong SGK có tương đối đầy đủ các loại thiết diện. Nếu giáo viên không nêu phương pháp xác định từng loại thiết diện cho học sinh thì các em không nắm vững thậm chí mơ hồ về bài toán này. 2
3. Những khó khăn của học sinh khi học nội dung này: Hình học không gian là môn học khó đối với học sinh lớp 11 mà nhiều em không làm được bài tập. Vấn đề xác định thiết diện gặp nhiều khó khăn:Về thời gian, phương pháp, trí tưởng tượng không gian, vẽ hình, lập luận, trình bày ;Khác với hình học phẳng, hình học không gian thực chất là hình chiếu song song của một hình không gian trên một mặt phẳng. Nội dung bài toán xác định thiết diện đề cập đến khoảng 2/3 hình học lớp 11, nó vừa là khó khăn cũng là thuận lợi để “phát triển trí tưởng tượng không gian cho học sinh” Xuất phát từ những lý do trên tôi chọn đề tài “Thiết diện của hình chóp hay hình lăng trụ khi cắt bởi một mặt phẳng” để nghiên cứu và được giảng dạy theo chủ đề bồi dưỡng tự chọn bám sát theo chương trình cơ bản lớp 11. 2.4. Tình hình thực tiễn: Qua những tiết dự giờ, quan sát dạy và học toán lớp 11 và thăm dò ý kiến của giáo viên và học sinh ở trường THPT Bình Minh tôi thấy cần phải đưa ra phương pháp xác định cho từng loại thiết diện nhằm tháo gỡ những khó khăn mà đa phần học sinh không nắm vững. Một số người cho rằng giờ học tự chọn là chỉ việc ra bài tập cho học sinh ngồi làm, mục đích là rèn luyện “kĩ năng giải toán cho học sinh”. Việc dạy chủ đề tự chọn không hoàn toàn như vậy. Nếu trong các tiết học theo phân phối chương trình, thầy và trò cần trao đổi, truyền thông các kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa để học sinh thu lượm được kiến thức và kỹ năng giải toán một cách tốt nhất thì trong giờ học tự chọn, người thầy cần truyền đạt và bổ sung các kiến thức cơ bản và làm được nốt những điều thầy cần nói. Để làm được điều này, người thầy cần phải chuẩn bị bài giảng một cách công phu và tổ chức các hoạt động tốt để học sinh thể hiểu sâu hơn các kiến thức cơ bản, cơ bản kỹ năng giải toán và được kích thích niềm yêu toán. Việc hướng dẫn các em nắm chắc các kiến thức cơ bản, biết liên kết, móc nối các bài toán để các em hiểu sâu và nhớ lâu hơn rồi mở rộng bài toán, đi tìm kiến thức mới chính là cơ bản năng lực học toán cho các em. Việc hình thành cho học sinh phương pháp học và tự học Toán là nhiệm vụ của người giáo viên Toán. Cụ thể là dạy học sinh cách tìm tòi, dự đoán, tự đi tìm kiến thức mới, biết so sánh, đối chứng, biết lật lại vấn đề, biết suy xét tính chân thực của bài toán , giúp các em có trí tưởng tượng phong phú, lập luận lôgic, trình bày khoa học, có một thế giới quan duy vật biện chứng. 3
4. 3 - Phạm vi, thời gian thực hiện đề tài: ✓ Phạm vi: Thực hiện giảng dạy theo tài liệu chỉ đạo chuyên môn của Sở giáo dục và Đào tạo Hà Nội thực hiện từ năm học 2008 - 2009 .Tôi đã áp dụng giảng dạy trong giờ tự chọn ở lớp 11A1 trường THPT Bình Minh theo chủ đề bồi dưỡng tự chọn bám sát theo chương trình cơ bản năm học 2008-2009. Thời gian thực hiện đề tài: 05 tiết III - Quá trình thực hiện đề tài A. Tình hình hình thực tế khi chưa thực hiện đề tài: Giảng dạy môn Toán theo chương trình cơ bản ở lớp 11A1 trường THPT Bình Minh. 1. Tình trạng thực tế khi chưa thực hiện Việc hình thành cho học sinh phương pháp học và tự học Toán là nhiệm vụ của người giáo viên Toán. Cụ thể là dạy học sinh cách tìm tòi, dự đoán, tự đi tìm kiến thức mới, biết so sánh, đối chứng, biết lật lại vấn đề, biết suy xét tính chân thực của bài toán , giúp các em có trí tưởng tượng phong phú, lập luận lôgic, trình bày khoa học. Đa phần học sinh học thụ động, ít khi mò mẫm, dự đoán, nên kết quả thu được hường thấp và mau quên. Các em nhớ một cách máy móc các khái niệm, các công thức vì vậy thiếu tính linh hoạt và tính sáng tạo trong giải toán. Nhiều học sinh làm bài theo mẫu mà chưa nắm vững khái niệm, chưa hiểu rõ bài toán dẫn đến làm bài sơ sài, thiếu chặt chẽ hoặc cho lời giải sai. 2. Số liệu điều tra trước khi thực hiện Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10  Lớp 11A1 Số HS 0 0 3 9 6 11 6 5 5 4 0 49 B. Những nội dung và biện pháp thực hiện: 3.1. Khái niệm thiết diện. Cho hình chóp hay hình lăng trụ (T) và mặt phẳng (α). Nếu mặt phẳng (α) cắt một mặt của hình chóp hay hình lăng trụ (T) thì giao của chúng (theo nghĩa tập hợp) gọi là đoạn giao tuyến (một phần giao tuyến của mặt phẳng (α) và mặt phẳng chứa mặt của (T). Đoạn giao tuyến đó được gọi là “vết” của mặt phẳng (α) và mặt 4
5. của (T). Các đoạn giao tuyến đó nối tiếp nằm trên mặt phẳng (α) tạo thành một đa giác phẳng gọi là “vết cắt” hay “vết” của mặt phẳng (α) và hình chóp hay hình lăng trụ (T). Một phần mặt phẳng (α) được xác định bởi ‘’vết cắt’’ được gọi là “thiết diện” hay “mặt cắt” của hình chóp hay hình lăng trụ (T) và mặt phẳng (α). Nó là một miền đa giác phẳng có các cạnh là các đoạn giao tuyến của (α) và các mặt của hình chóp hay hình lăng trụ (T), có các đỉnh là các giao điểm của (α) và các cạnh của hình chóp hay hình lăng trụ (T). Như vậy “thiết diện” và “vết cắt” là giao (theo nghĩa tập hợp) của mặt phẳng (α) và hình chóp hay hình lăng trụ (T). 3.2 Cách xác định thiết diện. Muốn tìm thiết diện của một hình chóp hay hình lăng trụ (T) cắt bởi mặt phẳng (α): a. Hoặc tìm giao điểm giữa các cạnh của hình chóp hay hình lăng trụ (T) và mặt phẳng (α). b. Hoặc tìm các đoạn giao tuyến giữa các mặt của hình chóp hay hình lăng trụ (T) và (α). Cách a, được quy về bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. Cách b, được quy về bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Hoặc kết hợp vả cách a và b. Yêu cầu dựng thiết diện thực ra là yêu cầu nêu được cách xác định các giao tuyến các mặt, các giao điểm của các cạnh của hình chóp hay hình lăng trụ với mặt phẳng cắt; biện luận (nếu cần) đồng thời vẽ được hình biểu diễn hình không gian đó. Vì thiết diện tạo bởi hình chóp hay hình lăng trụ (T) và mặt phẳng (α) là đa giác xác định bởi vết cắt của hình đa diện và mặt phẳng (α) nên người ta thường đồng nhất hai khái niệm “vết cắt” và “thiết diện” với nhau. Trong SGK, yêu cầu 5
6. của bài toán thiết diện là: Dựng (xác định) thiết diện của hình chóp, hình lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (α) 3.3 Yêu cầu của bài toán thiết diện. ở trường phổ thông, yêu cầu cơ bản của bài toán thiết diện thường đặt ra là: 1. Xác định đúng thiết diện. 2. Xác định hình dạng thiết diện. 3. Tính diện tích thiết diện. 3.4 Bài toán mở đầu: Hai bài toán cơ bản để phục vụ cho việc xác định thiết diện là: a. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng. b. Xác định giao tuyến của một đường thẳng và một mặt phẳng. 3.4.1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng. a. Phương pháp: Phương pháp 1: Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng (P) và (Q), đường thẳng nối hai điểm chung đó chính là giao tuyến của (P) và (Q). Phương pháp 2: Giả sử (P)  (Q) = + Tìm một điểm chung A của (P) và (Q). + Tìm một đường thẳng ’ và biết // ’ Giao tuyến tìm được qua A và song song với ’ * Ta nhắc lại một số tính chất song song của giao tuyến: Tính chất 1: (P)  a,(Q)  (b) a / /b  c / /a,c / /b hoặc c  a hoặc c  b (P)  (Q) c  6
7. Tính chất 2: a / /(P)  a  (Q)  a / /b (P)  (Q) b Tính chất 3: (P) / /(Q)  (R)  (Q) a a / /b (R)  (Q) b Tính chất 4: (P) / /a  (Q) / /a  b / /a (P)  (Q) b * Chú ý: - Trong việc xác định giao tuyến của hai mặt phẳng giáo viên nên hình thành cho học sinh thói quen nêu tính chất của giao tuyến. Đây là bước cơ sở quan trọng cho việc giải quyết tốt các yêu cầu của bài toán thiết diện. - Khi xác định giao điểm của hai đường thẳng cần xác định rõ trong mặt phẳng nào để tránh sai lầm “hai đường thẳng chéo nhau vẫn có giao điểm”. VD1: Cho tứ diện ABCD. Hai điểm M và N nằm trong ABC. Điểm P nằm trong ABD. Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (MNP) và các mặt của khối tứ diện ABCD? D Giải: Giả sử các điểm M, N, P được chọn như hình vẽ: K P A (MNP)  (ABC) = MN C M Trong (ABC): MN  CB = G E G MN  AB = E B Giao tuyến của (ABD) và (MNP) là đường thẳng EP. Giao tuyến của (BCD) và (MNP) là đường thẳng GK (K = EP  BD) 7