Sáng kiến kinh nghiệm Sự tương tự giữa tập hợp số nguyên và tập hợp các đa thức

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Sự tương tự giữa tập hợp số nguyên và tập hợp các đa thức

1. A. Phần mở đầu I. Lý do chọn đề tài Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vị trí quan trọng, học tập tốt bộ môn Toán là góp phần tích cực trong việc học tập tốt các bộ môn khoa học khác. Đồng thời, nâng cao chất lượng giảng dạy của giáo viên và học tập của học sinh. Trong những năm qua bản thân đã được dạy qua các lớp từ 6 đến 9. Bên cạnh đó, cũng tham gia dạy học tự chọn lớp 8. Nhận thấy rằng, ngay từ lớp 6 học sinh đã được học tập số nguyên đến lớp 8 được học kỹ về đa thức. Trên thực tế, có quá nhiều học sinh thấy rất khó khăn khi học tập về nội dung này. Vì lẽ đó, chúng tôi cố gắng phác hoạ lại sự tương tự giữa các số nguyên là cái đã biết với tập hợp các đa thức là nội dung mới được xây dựng khá hoàn chỉnh ờ phần Đại số lớp 8. Để từ đó giúp các em học tập hiệu quả hơn. II. Mục đích và phương pháp nghiên cứu 1. Mục đích: Giúp người giáo viên có cái nhìn bao quát hơn chương trình Toán THCS mà tập trung là thấy được sự tương tự giữa tập hợp số nguyên và tập hợp các đa thức. Để trong quá trình giảng dạy chúng ta khắc sâu từng phần cho học sinh. Để các em thấy được sự tương tự mà giải quyết vấn đề tiếp cận kiến thức mới bằng sự mở rộng kiến thức đã học trước đó. Mặt khác từ vấn đề này sẽ giúp cho học sinh thấy được sự tương tự trong học tập môn Hình học góp phần nâng cao năng lực học tập và niềm say mê học Toán. 2. Phương pháp: So sánh, phân tích, kết hợp phân tích và tổng hợp, khái quát hoá. III. Giới hạn của đề tài Trong phạm vi đề tài này, chúng tôi chỉ cố gắng thông qua một số ví dụ đơn giản, minh họa vai trò quan trọng của sự tương tự nói trên trong nghiên cứu về số học. Mà tập trung vào chương Đa thức ở đại số 8 trong quá trình dạy học tự chọn. IV. Kế hoạch thực hiện Từ 20 tháng 8 năm 2011 đến 25 tháng 8 năm 2011 nghiên cứu lựu chọn đề tài: “Sự tương tự giữa tập hợp số nguyên và tập hợp các đa thức” Tháng 9 năm 2011 đăng ký đề tài với tổ chuyên môn, với trường. Tháng 10 năm 2011 đến tháng 12 năm 2011, viết bản thảo. Từ tháng 1 năm 2012 đến tháng 2 năm 2012, chỉnh sửa nội dung, kiểm nghiệm thực tế và hoàn chỉnh đề tài. B. Phần nội dung I. Cơ sở lý luận Sự phát triển của Toán học gắn liền với sự phát triển phân môn số học, đây là bộ phận quan trọng tạo nên một bức tranh sinh động với nhiều điều thú vị và phục vụ tốt vào các lĩnh vực khoa học khác liên quan: nhất là góp phần quan trọng trong việc ứng dụng vào công nghệ thông tin. Đặc biệt trong thời gian gần đây, chịu sự ảnh hưởng rất lớn của sự tương tự giữa số nguyên và đa thức. Nói - 1 -
2. cách khác, khi có giả thuyết nào đó chưa chứng minh được đối với số nguyên, người ta cố gắng chứng minh sự kiện tương tự cho đa thức. Điều đó, thường dễ làm hơn, có lẽ nguyên nhân chủ yếu là vì đối với đa thức, ta có phép tính đạo hàm, trong khi đó đạo hàm trên mọi số nguyên đều triệt tiêu. Trước hết ta thấy rõ, giữa tập hợp số nguyên và tập hợp các đa thức có nhiều tính chất rất giống nhau sau đây: 1. Các qui tắc cộng, trừ, nhân, chia hoàn toàn như nhau cho cả hai tập hợp. Ví dụ: (-3)+ 11; 25x2y- (-5x2y); 11xy+ (-xy); . 2. Nếu đối với các số nguyên, ta có số nguyên tố, thì với các đa thức, ta có đa thức bất khả qui Ví dụ: 3; -7; 13; x+ 3; x2+ 1; Định nghĩa: Đa thức bất khả qui là đa thức không thể phân tích thành tích của hai đa thức. 3. Đối với các số nguyên, cũng như đối với hai đa thức, ta có thể định nghĩa ước chung lớn nhất. Hơn nữa, trong cả hai trường hợp, ước chung lớn nhất này tìm được bằng thuật toán Euclid. “Thuật toán Euclid tìm Ưcln được nhắc lại như sau: Nếu giữa các số nguyên a, b, q, r có hệ thức a= b.q+ r, thì ta có (a, b)= (b, r) a/ Cho a, b là các số nguyên dương. Nếu một trong hai số là ước của số kia, chẳng hạn b là ước của a thì ta có (a, b)= b. b/ Nếu trường hợp trên không xảy ra và giả sử rằng a> b, thì ta thực hiện một dãy các phép chia sau đây, với a= r0, b= r1: r0= r1q0+ r2, 0 r2 > .> rn-1> rn > rn+1= 0 Vì vậy, quá trình trên kết thúc với rn+1=0. Dãy phép chia có dư liên tiếp này gọi là thuật toán Euclid thực hiện trên hai số a, b. Ta có: (a, b)= (r0, r1)= (r1, r2)= =(rn-1, rn)= rn Vậy ƯCLN(a, b)= số dư cuối cùng khác 0 trong thuật toán Euclid thực hiện trên hai số đó” 4. Mỗi số nguyên có thể phân tích thành tích các thừa số nguyên tố, mỗi đa thức có thể phân tích thành tích các đa thức bất khả qui. Ví dụ: 36 22.32 ;210 2.3.5.7 x3 2x2 x x x 1 2 ; x2 2xy y2 5 x y 5 x y 5 - 2 -
3. 5. Các số hữu tỉ tương ứng với các hàm hữu tỉ. 3 x3 2x Ví dụ: ; 5 x 1 6. Giá trị tuyệt đối của một số nguyên tương tự như bậc của đa thức. Ví dụ: 6 6 6 1 9x3 x2 có bậc là 3 9 Trong sự tương tự giữa phân tích bất khả qui và phân tích ra thừa số nguyên tố, các nghiệm của đa thức tương ứng các ước nguyên tố của số nguyên. Do đó, số các nghiệm phân biệt của một đa thức có vai trò như số các ước của một số nguyên. II. Cơ sở thực tiễn Từ thực tế đứng lớp giảng dạy trong nhiều năm cũng như qua việc trao đổi với đồng nghiệp ở tổ bộ môn. Hơn nữa, việc tiếp cận kiến thức mới của học sinh được tích lũy dần suốt 4 năm học tập bậc THCS. Số nguyên được học ngay từ lớp 6. Ngay những giờ đầu: làm quen với số nguyên âm thông qua một số ví dụ cụ thể, như là số tiền nợ, độ sâu của thềm lục địa so với mực nước biển, nhiệt độ, . Từ đó, giúp cho học sinh thấy rằng khi học về tập số tự nhiên nhiều vấn đề đặt ra như thế không thể giải quyết trọn vẹn được. Do đó, việc mở rộng tập số tự nhiên là vấn đề hết sức cần thiết hoàn toàn do tính khách quan từ thực tế cuộc sống. Đa thức được trình bày khá đầy đủ lớp 7, học sinh được học khái niệm đa thức, biểu thức nguyên, biểu thức phân, giá trị của biểu thức đại số, bậc của đa thức và cộng trừ các đa thức nói chung và đa thức của một biến nói riêng. Ở đây học sinh được tiếp cận việc tìm nghiệm của đa thức một biến (làm cơ sở để giải phương trình sau này và thực tế là học sinh đã giải bài toán tìm x, y ở những lớp dưới). Đến lớp 8 đa thức được trình bày một cách hoàn chỉnh hơn: Việc cộng, trừ, nhân, chia đa thức và nhiều phép toán về đa thức liên quan. Đến lớp 9 tìm nghiệm của đa thức bậc hai và một số vấn đề về đa thức bậc hai và ứng dụng của các đa thức đối xứng trong việc nghiên cứu sâu các vấn đề về đa thức bậc hai. Từ sự gắn kết chặt chẽ như thế, rõ ràng số nguyên và đa thức có nhiều sự tương đồng phụ thuộc nhau, không thể tách rời nhau, đồng thời số nguyên bổ sung rất nhiều cho đa thức. Tuy nhiên, có nhiều bài toán khó từ số nguyên phải được giải quyết trên đa thức. Chính sự lí thú này đã làm phong phú thêm bức tranh tổng thể toán học. Chúng ta ngày ngày đứng trên bụt giảng do vậy, sự cần thiết phải hiểu rõ và phát họa một cách tổng thể sự tương tự từ tập hợp số nguyên và tập hợp đa thức để có phương pháp tốt trang bị kiến thức cơ bản cần thiết nhất giúp cho học sinh tiếp thu một cách bền vững góp phần khắc phục tình trạng học tập thụ động, hay tiếp thu nhưng chưa rõ vấn đề. III. Thực trạng và những mâu thuẫn - Đề tài này được vận dụng trong toàn khối THCS, nội dung sát với những kiến thức chuẩn và có sự mở rộng cần thiết. Do đó, sự tiếp cận không quá khó đối với đại đa số học sinh. Có cả sự nâng cao đối với nhiều học sinh giỏi say mê Toán học - 3 -
4. - Người dạy có điều kiện tổng kết và kiểm nghiệm lại, vấn đề nào cần thiết trang bị cho học sinh vấn đề nào để học sinh khá giỏi tự mình xem xét vấn đề dù chỉ là ở khía cạnh nhỏ mang tính hệ thống lại hoặc chỉ là trình bày lại. Thấy được sự tương tự khi đã dạy tập hợp số nguyên sang tập hợp các đa thức. Đây là đề tài về chuyên môn, Toán học là lĩnh vực rộng và khó. Do vậy, chỉ đề cập một khía cạnh nhỏ về sự tương tự giữa tập hợp số nguyên và tập hợp các đa thức. Đồng thời, phát triển thêm từ suy nghĩ trong quá trình giảng dạy. Đa phần học sinh là ham học. Tuy nhiên, trong tình hình hiện nay thái độ học tập của học sinh nói chung cũng như thái độ học tập môn Toán của một số học sinh, tính chuyên cần cũng còn những hạn chế nhất định, điển hình là các em ít đọc sách Toán trước ở nhà, tài liệu tham khảo rất ít chỉ tập trung vào sách giáo khoa là chính. Vì vậy, phần nào hiệu quả chưa cao đối với những đối tượng học sinh này. IV. Các biện pháp giải quyết vấn đề Như đã nêu trong phần I, ở đây chúng tôi xin trình bày một số điểm minh họa trong quá trình nghiên cứu cũng như giảng dạy liên quan đến tập hợp số nguyên và tập hợp các đa thức. Ta cần liên hệ một cách hệ thống như sau: Sự tương tự Số nguyên Đa thức 1.a.Phép ▪ 3+ 5= 8 ▪ 3xy+ 5xy= 8xy cộng ▪ (-3)+ (-5)= -8 ▪ (-3xy)+(- 5xy)= -8xy ▪ (-3)+ 5 = 2 ▪ (-3xy)+ 5xy= 2xy ▪ 3+ (-5)= -2 ▪ 3xy+ (-5xy)= -2xy b. Phép trừ ▪ a- b= a+ (-b) (-11)- 3= (-11)+ (-3) (-11x2y)- 3x2y=(-11x2y)+ (-3x2y) = -14 = -14 x2y c. Phép nhân ▪ 6.4 = (-6).(-4)= 24 ▪ 6xz.4xz= (-6xz).(-4xz) = 6.4xz.xz= 24x2z2 ▪ (-15).3= (-3).15= -45 ▪ (-15y4).3y2= 15y4.(-3y2) =-15.3y4+ 2= -45y6 d. Phép chia ▪ 66 : (-22)= -3 ▪ 66x2y3 : (-22xy)= -3xy2 2. Số ▪ 2; 3; 5; 7; 11; x, 2y+ 1, y2+ 3, x2- 3x+ 8, là các đa thức nguyên tố, . là các số bất khả qui trên R (gồm đa thức bậc nhất; đa đa thức bất nguyên tố . thức bậc hai vô nghiệm trên R) khả qui 3. ƯCLN ▪ ƯCLN(56; 140)= 28 7x 2 14x 7 7(x 1) 2 7(x 1) ▪ (bài 139a tr56 SGK T6, tập 1) 3x 2 3x 3x(x 1) 3x ƯCLN(7x2+14x+7; 3x2+3x)=(x+1) (bài 12b tr40 SGK T8, tập 1) ▪ ƯCLN(36 ; 1)= 1 ▪ ƯCLN(3x2+1; x- 5)= 1 4. Có thể ▪ Xét 225= 32.52 ▪ P(x)= x3- 2x2+ x phân tích số (bài 127a tr50 SGK T6, tập 1) = x(x2- 2x- 1) nguyên = x(x-1)2 thành tích Cả x và (x-1) đều là đa thức bậc nhất bất - 4 -
5. các thừa số khả qui nguyên tố, ▪ Q(x)= x4+ 4 vô nghiệm trên R nhưng phân tích đa lại khả qui trên R. Ta có: thức thành Q(x)= x4+ 4x2+ 4- 4x2 tích các đa = (x2+ 2)2- (2x)2 thức bất khả =(x2+ 2x+ 2)(x2- 2x+ 2) qui. = f(x).g(x) Cả f(x), g(x) có ' 0 f(x), g(x) bất khả qui trên R n 1 n-1 2 n-2 2 ▪a + Cn a b+Cn a b + . ▪ 1000000= 106 n 2 2 n- 2 n 1 n- 1 n n Cn a b +Cn ab +b =(a+ b) 5. Số hữu tỉ, a P(x) , b 0, a,b Z ,Q(x) 0 , trong đó: hàm hữu tỉ b Q(x) (hay phân P(x), Q(x) là các đa thức một biến thức hữu tỉ) viết dạng tổng quát 6. Giá trị Mở rộng : Cho P(x)= 15- 2x, trong các số sau, số nào tuyệt đối, 1 1 1 là bậc của đa thức: Cho x 3 x 3 3 bậc 5 5 5 3 5 1 (?2c §4 tr13 SGK T7, tập 1) (bài 43c, tr43 SGK T7 tập 2) Cho y 0,325 y 0,325 0,325 13 Bậc của đa thức -8 là 0 ; 40 Số 0 là đa thức không có bậc. V. Hiệu quả ứng dụng Sáng kiến đã toát lên bức tranh tổng thể về sự tương tự giữa số nguyên và đa thức. Thấy được sự mắc xích chặt chẽ thông qua các phép tính cụ thể tương tự. Được vận dụng rất nhiều ở từng bài giảng. Do đó, đã đạt được nhiều kết quả tạo niềm tin rất lớn đối với các em, một cách học mang tính tư duy suy luận và trải nghiệm thể hiện như sau: Học sinh rất linh hoạt trong sự liên hệ việc cộng, trừ, nhân số nguyên sang cộng, trừ, nhân đa thức (Lớp 8). Học sinh nắm việc giải phương trình bậc cao phải qui về giải phương trình tích (gồm tích các đa thức bậc nhất hoặc đa thức bậc hai). Các qui tắc tính toán trên tập số được hệ thống lại chặt chẽ hình thành mạch tư duy cao, đảm bảo tính hệ thống và kế thừa, các em học sinh nhận thấy được về sự tương tự khi tìm hiểu bài và nhỡ lại một chuỗi kiến thức suy nghĩ và tìm ra cách giải quyết bài toán. Hầu hết bài làm đạt yêu cầu tốt. Tính chặt chẽ và linh hoạt được thể hiện rõ qua bài kiểm tra đánh giá. Tuy nhiên, đây đó vẫn còn một vài học sinh nắm bắt còn chậm. Trình bày thiếu mạch lạc, rời rạc chưa rõ vấn đề. - 5 -