Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng tính đơn điệu để giải toán

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng tính đơn điệu để giải toán

1. SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI TOÁN Phần một: Đặt vấn đề Hiện nay ,giáo dục không ngừng được cải cách và đổi mới .Để kịp với xu hướng này ,rất nhiều yêu cầu được đặt ra .Một trong số đó chính là làm sao để có được những phương pháp giải toán hay ,nhanh,mà vẫn cho kết quả chính xác .Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số là một phương pháp giải toán như vậy. Có rất nhiều bài toán thoạt nhìn tưởng rất khó,nếu giải được thì lời giải sẽ khó hiểu,rắc rối .Nhưng nếu áp dụng phương pháp này ,bài toán sẽ trở thành đơn giản ,gọn hơn rất nhiều .Đó chính là một trong những ứng dụng của phương pháp này ,ngoài ra phương pháp sử dụng tính đơn điệu còn phát huy sự ưu việt trong nhiều trường hợp khác . Nói tóm lại,Phương pháp này rất cần thiết đối với các em học sinh đang chuẩn bị ôn thi tốt nghiệ trung học phổ thông,thi đại học và cao đẳng.Nó sẽ giúp các em phát huy tối đa tính sáng tạo trong việc tìm ra con đương giải toán nhanh nhất ,hay nhất và chính xác nhất . Trong quá trình dạy học môn toán ở bậc trung học phổ thông, chúng ta gặp rất nhiều bài toán chứng minh bất đẳng thức ,giải phương trình ,bất phương trình ,hệ phương trình.Để giải các bài toán dạng trên có bài ta giải được bằng nhiều phương pháp khác nhau , cũng có bài chỉ có thể giải được bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải toán là một phương pháp hay,thông thường để giải quyết một bài toán sẽ đơn giản,gọn nhẹ hơn so với phương pháp khác . Tuy nhiên để học sinh có kỹ năng ta cần hệ thống hoá lại bài tập ,để học sinh và giáo viên bớt lúng túng hơn. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải toán ,chiếm một vị trí đặc biệt quan trọng trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình ,bất phương trình ,hệ phương trình.Phương pháp này dựa trên mối liên hệ giữa tính đồng biến và nghịch biến của một hàm số với đạo hàm của nó . Để sử dụng phương pháp này,điều cốt yếu là chúng ta cần xây dựng một hàm số thích hợp ,rồi nghiên cứu tính đồng biến ,nghịch biến của nó trên đoạn thích hợp.Các hàm số ấy trong nhiều trường hợp có thể nhận tra ngay từ đầu ,còn trong các trường hợp đặc biệt ta cần khôn khéo để phát hiện ra chúng . 1
2. Phần hai: Nội dung A. Kiến thức cần nhớ Hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [a;b] được gọi là đồng biến trên đoạn ấy, nếu với mọi x1 g(x) là giao của x>x 0 và miền xác định của bất phương trình . 3) Nghiệm của bất phương trình f(x) < g(x) là giao của x< x0 và miền xác định của bất phương trình . B. Một số ví dụ I. Phương trình Ví dụ 1: giải phương trình: x 1 - 4 x = 1 (1) Giải: điều kiện -1 x 4 (1) x 1 = 1+ 4 x Có nghiệm x = 3, vì 3 1 = 2 = 1 + 4 3 = 2 Đúng 2
3. và vì vế trái là hàm đồng biến ( đạo hàm dương) , vế phải là hàm nghịch biến ( đạo hàm âm), nên x = 3 là nghiệm duy nhất của (1). Nhận xét.Cái hay của cách giải này là đưa phương trình vô tỷ về sử dụng tính đơn điệu , tránh được bình phương 2 lần dễ dẫn đến mất nghiệm. Ví dụ 2.Giải phương trình. x5 +x3 - 1 3x +4 =0 Giải: Điều kiện x 1/3. Đặt f(x) = x5 +x3 - 1 3x +4 3 Ta có f'(x) = 5x4 +3x2 + > 0 2 1 3x 1 f(x) đồng biến / ( , ] 3 Mặt khác f(-1) = 0 nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = -1. Ví dụ 3. Giải phương trình . x2 15 3x 2 x2 8 Giải.Phương trình f (x) 3x 2 x2 8 x2 15 0 (*) Nếu x 2/3 thì f(x) 2/3 thì f'(x) = 3 + x 0 x> x2 8 x2 15 3 2 f(x) đồng biến / , 3 Mà f(1) = 0 nên (*) có đúng một nghiệm x = 1. x x Ví dụ 4: Giải bất phương trình : 2 3 2 3 2x (1) Giải: Nhận thấy x = 2 là nghiệm ,vì khi đó ta có : 2- 3 2 3 4 22 x x 2 3 2 3 Vì 2x > 0 nên (1) 1 4 4 2 3 2 3 Do 1 4 4 Nên vế trái là hàm nghịch biến ,và vì vậy x =2 là nghiệm duy nhất của (1) . Nhận xét .Cái hay của cách giải này là phát hiện ra cơ số bé hơn 1 để sử dụng tính nghịch biến. 3
4. Ví dụ 5: Giải phương trình : x + lg(x2 -x -6) = 4 +lg(x +2). Giải: Điều kiện x +2>0, x2 - x -6 >0 x 3. Vậy (1) x + lg(x +2) +lg(x -3) = 4 +lg(x +2) lg(x -3) = 4 -x (2) Phương trình này có nghiệm x =4 vì khi đó ta có lg1 = 0 đúng . Vì vết trái đồng biến (cơ số lôgarit lớn hơn 1).Vế phải nghịch biến ( đạo hàm âm) , Nên (2) có nghiệm duy nhất x = 4 ( thoả mãn điều kiện x > 3) Ví dụ 6: Giải phương trình : 2log3cotgx = log2cosx Giải: Điều kiện cosx > 0,sinx > 0 . y 2 Đặt log2cosx = y cosx = 2 log3cotg x = log2cosx = y cos2 x 4y cotg2x = 3y Vì cotg2x = 1 cos2 x 1 4y y 3 y 3y - 12y = 4y 3 1, có nghiệm duy nhất y = -1 4 Vì vế trái cơ số 3/4 1 là hàm đồng biến . Vậy cosx = 2-1 = 1/2 x = /3 2k ,k R. Kết hợp với điều kiện ,ta được nghiệm của (1) là : x = 2k ,k z . 3 Nhận xét .Cái hay của cách giải này là đưa (1) về dạng phương trình mũ không chính tắc để sử dụng tính đơn điệu. 2 3 2 Ví dụ 7: giải phương trình: 3 x - 2x = log 2 (x + 1) - log 2 x (1) Giải: Điều kiện: x > 0. với điều kiện ấy 1 (1) x 2 (3-2x) - log (x + ) (2) 2 x 1 Do x > 0 nên x+ 2 và do vế phải là hàm loga có cơ số lớn hơn 1, x 1 nên là hàm đồng biến log (x + ) log22 = 1. 2 x Vậy thì vế trái dương x2(3-2x) >0 3-2x > 0. Ta có x2(3-2x) = x.x.(3-2x) là tích của 3 số dương ,có tổng không đổi bằng 3 ,nên nó đạt giá trị lớn nhất bằng 1 ,khi x = 3 -2x = 1. Như vậy là VT 1 ,đạt dấu = khi x = 1 , 4
5. VP 1 , đạt dấu = khi x = 1 phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. Nhận xét. Cái hay của cách giải này là áp dụng linh hoạt hệ quả của bất đẳng thức Côsi và tính đơn điệu của hàm logarit. Ví dụ 8. giải các phương trình: 3.4x + (3x-10)2x + 3 - x = 0 Giải. đặt y = 2x > 0, khi đó ta có 3y2 + (3x - 10)y + 3 - x = 0 3x 10 (3x 8) 1 Từ đó y = y1 = hoặc y2 = 3-x 6 3 1 x Nếu y1 = = 2 x = -log23. 3 x Nếu y2 = 3 - x = 2 , ta có x = 1 là nghiệm duy nhất , vì khi đó 3 -1 = 2 đúng và vì vế trái là hàm nghịch biến ( có đạo hàm âm) , vế phải là hàm đồng biến ( cơ số hàm mũ lớn hơn 1). Nhận xét.Cách giải này hay ở chổ biết chọn ẩn số mới thích hợp để đưa về phương trình bậc hai và sử dụng được tính đơn điệu của hàm số. II. Bất hương trình Ví dụ 1. giải bất phương trình x 9 > 5 - 2x 4 (2) Giải: Điều kiện x 2. do vế trái là hàm đồng biến( đạo hàm dương) vế phải la hàm nghịch biến(đạo hàm âm) nên nghiệm của (2) là giao của x 2 và x > x 0 vói x 0 là nghiệm của phương trình x 9 = 5 - 2x 4 ; phương trình cuối có nghiệm duy nhất x =0, vì khi đó ta có 9 =5- 4 đúng và vế trái đồng biến, vế phải nghịch biến. Vậy nghiệm của (2) là giao của x 2 va x > 0 x > 0 Nhận xét.Cái hay của cách giải này là đưa bất phương trình vô tỷ về sử dụng tính đơn điệu , tránh được bình phương 2 lần dễ dẫn đến mất nghiệm. Ví dụ 2. Giải bất phương trình . x 1 3 5x 7 4 7x 5 5 13x 7 8 5
6. Giải . Điều kiện x 5/7 .Xết f(x) = x 1 3 5x 7 4 7x 5 5 13x 7 1 5 7 13 Ta có f'(x) = 0 2 x 1 33 (5x 7)2 4 4 (13x 7)3 55 (13x 7)4 5 F9x) đồng biến / , .Mặt khác f(3) = 8 nên bpt f(x) 0.Đặt f(x) = 2x + x x 7 2 x2 7x 2 1 1 2x 7 29 Ta có f'(x) = 2 0 , f 35 2 2 x 2 x 7 x 7x 12 2 2 29 29 Nên f(x) đồng biến và do đó f(x) < 35 = f 0 x . 12 12 1 1 2 Ví dụ 4: Giải bất phương trình : x x (1) x2 x2 x 1 1 Giải: Điều kiện: x 0, x + 0, x 0 x 1 x2 x2 Do vậy (1) x3 1 x3 1 2 (2) Đặt x3 1 u x3 1 v 0 ,khi đó 1 1 u v 2 (2) 2 2 u v 2 u v 2 (u v)(u v) 2 u v 2 1 u -v 1 v 0 (thích hợp) v u 1 2 1 5 5 Vậy : x3 1 x3 x 3 1 2 4 4 6
7. 5 Đáp số : x 3 4 Hoặc xét VT =f(x)= x3 1 x3 1 là hàm đồng biến Suy ra nghiệm của (2) là giao của x 1 và x > x0 ,trong đó x0 là nghiệm của phương trình : x3 1 x3 1 = 2. 5 5 3 3 Suy ra x0 = ,suy ra bất phương trình có nghiệm x . 4 4 Nhận xét.Cái hay của cách giải là sử dụng tính đồng biến và sử dụng cách đặt ẩn phụ để đưa về hệ bất phương trình hoặc hệ phương trình bậc ,tránh được việc bình phương 2 vế (dễ dẫn đến sai sót ,thừa nghiệm)và tránh được việc giải phương trình bậc cao. Ví dụ 5: Giải bất phương trình: x 2 x 5 2 x2 7x 10 5 2x (1) Giải: Điều kiện x -2. x 2 u 0 Đặt Suy ra x2 7x 10 uv. x 5 v 0 Do u và v đồng biến khi x -2 Vế trái là hàm đồng biến , vế phải là hàm nghịch biến Nên nghiệm của (1) là giao của x -2 và x 0 ta được : t +t -12 = 0 , t > 0 u v 3 u v 3 u 1 Suy ra t =3 vậy 2 2 u v 3 u v 1 Từ đó u = x 2 1 x 1 Vậy nghiệm của (1) là 2 x 1 Nhận xét. Cái hay của cách giải này là dùng tính đơn điệu của các hàm số để đưa bất phương trình vô tỷ về hệ phương trình bậc 1. Ví dụ 6.Với giá trị nào của tham số m thì bpt sau có nghiệm? 7