Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng thể tích khối chóp để giải một số bài toán hình học

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng thể tích khối chóp để giải một số bài toán hình học

1. SKKN: Sö dông thÓ tÝch khèi chãp ®Ó gi¶i mét sè bµi To¸n H×nh Häc Phần I. Mở Đầu 1.1. Lí do chọn đề tài Nâng cao chất lượng giáo dục đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành giáo dục nước ta. Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội dung và phương pháp dạy học. Luật giáo dục 2005 điều 28 đã chỉ rõ “ phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”. Nghị quyết hội nghị trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản toàn diện giáo dục và đào tạo xác định “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ và đồng bộ các yếu tố cơ bản của giáo dục, đào tạo theo hướng coi trọng phát triển phẩm chất, năng lực của người học. Tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh. Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lí tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kĩ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Phát triển năng lực sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời”. Trong giai đoạn hiện nay, khi khoa học công nghệ có những bước tiến nhảy vọt, việc đào tạo những con người không chỉ nắm vững kiến thức mà còn có năng lực sáng tạo, có ý nghĩa quan trọng đối với tiềm lực khoa học kĩ thuật của đất nước. Trong việc đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường THPT, việc dạy giải bài tập toán có vai trò quan trọng vì: Dạy toán ở trường phổ thông là dạy hoạt động toán học. Việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học, giúp học sinh phát triển tư duy, tính sáng tạo. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện các mục đích dạy toán ở trường phổ thông. Dạy giải bài tập toán cho học sinh có tác dụng phát huy tính chủ động sáng tạo, phát triển tư duy, gây hứng thú học tập cho học sinh, yêu cầu học sinh có kỹ năng vận dụng kiến thức vào tình huống mới, có khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, có năng lực độc lập suy nghĩ, sáng tạo trong tư duy và biết lựa chọn phương pháp tự học tối ưu. Trong việc dạy giải bài tập Toán việc quan trọng hàng đầu là phải rèn luyện kỹ năng giải Toán, phải rèn luyện cho người học cách suy nghĩ, phương pháp giải và khả năng vận dụng kiến thức, cách hệ thống các dạng bài tập. GV Ng« TrÝ Thô Tr­êng THPT DiÔn Ch©u 2 1
2. SKKN: Sö dông thÓ tÝch khèi chãp ®Ó gi¶i mét sè bµi To¸n H×nh Häc Trong những năm gần đây đề thi ĐH- CĐ luôn có một bài Toán HHKG với trọng số 1 điểm và thường được chia điểm rõ ràng là 0,5 điểm cho phần tính thể tích khối chóp hoặc khối lăng trụ và 0,5 điểm cho bài Toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng hoặc là tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau hoặc là bài Toán tính góc giữa các đối tượng Hình học. Với các em học sinh bài Toán tính khoảng cách là một bài Toán khó. Bàn về bài Toán tính khoảng cách thì chúng ta có ba con đường giải quyết: Một là giải quyết bằng con đường sử dụng định nghĩa tức là chúng ta đi dựng các khoảng cách cần tính. Hai là giải quyết bằng công cụ Tọa độ bằng cách cố gắng chuyển bài Toán HHKG sang bài Toán HH tọa độ. Ba là giải quyết bằng con đường gián tiếp chẳng hạn như thay thế khoảng cách tương đương, hoặc sử dụng công thức thể tích. Thực tế giảng dạy cho thấy việc dựng khoảng cách từ điểm đến một mặt phẳng hay dựng đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là một việc làm không dễ đối với đại đa số học sinh, kể cả những em học tương đối khá. Còn việc chuyển bài Toán sang bài Toán HH tọa độ thì không phải là thuận lợi cho mọi bài Toán HHKG, nó chỉ thuận lợi với một lớp các bài Toán nhất định. Để giúp học sinh khắc phục những khó khăn trên, bằng những kinh nghiệm thực tiễn dạy học và nghiên cứu của bản thân chúng tôi thấy có thể vận dụng việc tính thể tích khối chóp để tính hai loại khoảng cách nói trên. Ngoài ra đề tài này còn đề cập đến việc sử dụng bài toán tính thể tích khối chóp để giải quyết hai bài Toán nữa là bài toán chứng minh hệ thức hình học không gian và bài toán tính diện tích thiết diện. Với những lí do như trên tác giả lựa chọn đề tài: “ Sử dụng thể tích khối chóp để giải một số bài Toán Hình Học”. 1.2. Bố cục của đề tài SKKN Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài được trình bày trong 2 chương. Chương 1. Sử dụng thể tích để giải một số bài Toán Hình Học. Chương 2. Thực nghiệm sư phạm. GV Ng« TrÝ Thô Tr­êng THPT DiÔn Ch©u 2 2
3. SKKN: Sö dông thÓ tÝch khèi chãp ®Ó gi¶i mét sè bµi To¸n H×nh Häc Phần II. Nội Dung Chương 1 Sử dụng thể tích khối chóp để giải một số bài Toán Hình Học 1.1. Một số kiến thức cơ bản 1.1.1. Các định nghĩa 1.1.1.1. Định nghĩa 1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. +) Định nghĩa: Trong không gian cho điểm A và đường thẳng d. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên d. Độ dài đoạn AH gọi là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d. A +) Kí hiệu: d A,d . H +) Nhận xét: d A,d AM,M d . P Nếu d’//d thì d(d,d ') d A,d ,A d , kí hiệu d(d,d ') là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song d và d’. 1.1.1.2. Định nghĩa 2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng +) Định nghĩa: Trong không gian cho điểm A và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (P). Độ dài đoạn AH gọi là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P). A +) Kí hiệu: d A,(P) . +) Nhận xét: d A,(P) AM,M (P) . Nếu a // (P) thì d a,(P) d A,(P) ,A (P) , H M trong đó kí hiệu d a,(P) để chỉ P khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) trong trường hợp chúng song song với nhau. Nếu (P) // (Q) thì d (P),(Q) d A,(Q) d B,(P) ,A (P),B (Q) , trong đó kí hiệu d (P),(Q) để chỉ khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q). 1.1.1.3. Định nghĩa. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau +) Định nghĩa: Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. GV Ng« TrÝ Thô Tr­êng THPT DiÔn Ch©u 2 3
4. SKKN: Sö dông thÓ tÝch khèi chãp ®Ó gi¶i mét sè bµi To¸n H×nh Häc -) Đường thẳng vuông góc với cả hai đường thẳng a và b đồng thời cắt cả a và b gọi là đường vuông góc chung a A của hai đường thẳng chéo nhau a và b. -) Gọi A a  , B b  . Đoạn thẳng AB b gọi là đoạn vuông góc chung của hai B đường thẳng chéo nhau a và b. -) Độ dài đoạn AB gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b. +) Kí hiệu: d a,b . +) Nhận xét: d a,b MN, M a,N b . 1.1.2. Thể tích khối chóp và khối lăng trụ 1 +) Thể tích khối chóp V B.h , trong đó B là diện tích đáy khối chóp, h là chiều cao 3 của khối chóp. Chiều cao khối chóp bằng khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy hình chóp. +) Thể tích khối lăng trụ V B.h , trong đó B là diện tích đáy lăng trụ, h là chiều cao của lăng trụ. Chiều cao lăng trụ bằng khoảng cách từ một đỉnh của đáy này đến đáy kia của lăng trụ và cũng bằng khoảng cách giữa hai đáy của lăng trụ. 1.1.3. Hệ thức lượng trong tam giác, công thức diện tích 1.1.3.1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông ở A. BC a, AC b, AB c , h là độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác, c',b' lần lượt là độ dài hình chiếu vuông góc của AB, AC trên cạnh huyền BC. Ta có các hệ thức sau: GV Ng« TrÝ Thô Tr­êng THPT DiÔn Ch©u 2 4
5. SKKN: Sö dông thÓ tÝch khèi chãp ®Ó gi¶i mét sè bµi To¸n H×nh Häc a2 b2 c2 , b SinB CosC , A h2 b'.c', a c bc ah, SinC CosB , a 2 ', c b b ab b 2 tan B cot C , c ac', c 1 1 1 c . tan C cot B . B a C h2 b2 c2 b 1.1.3.2. Hệ thức lượng trong tam giác A Cho tam giác ABC kí hiệu BC a, AC b, AB c , ha ,hb ,hc tương ứng là độ dài đường cao kẻ từ A, B, C của tam giác c b ABC, S là diện tích tam giác. R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác, ma ,mb ,mc tương ứng là độ dài các B a đường trung tuyến kẻ từ A, B, C. Ta có: C a b c +) Định lí Sin: 2R . sin A sin B sin C +) Định lí côsin: a2 b2 c2 2bcCosA , b2 a2 c2 2acCosB , c2 b2 a2 2abCosC . b2 c2 a2 a2 c2 b2 a2 b2 c2 Hệ quả: CosA , CosB , CosC . 2bc 2ac 2ab 1.1.3.3. Các công thức diện tích 1 1 1 1 1 1 S ah bh ch , S abSinC bcSinA acSinB . 2 a 2 b 2 c 2 2 2 abc S pr , S . 4R S p p a p b p c (công thức Hê-rông). 1.1.3.4. Công thức độ dài đường trung tuyến b2 c2 a2 a2 c2 b2 a2 b2 c2 m 2 , m 2 , m 2 . a 2 4 b 2 4 c 2 4 1.2. Sử dụng thể tích để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Chúng ta có thể sử dụng công thức tính thể tích khối chóp để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Cơ sở của vấn đề này đó là chúng ta có thể gắn khoảng GV Ng« TrÝ Thô Tr­êng THPT DiÔn Ch©u 2 5
6. SKKN: Sö dông thÓ tÝch khèi chãp ®Ó gi¶i mét sè bµi To¸n H×nh Häc 3V cách cần tính với chiều cao của một khối chóp rồi sử dụng công thức tính h . B Sau đây là các ví dụ minh họa: Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông góc với đáy. Biết SA a, AB b . Hãy tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC). Nhận xét: Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng chiều cao của hình chóp A.SBC. Lời giải. S 3V Ta có d A, SBC A.SBC . dt VSBC SA  SBC (gt) SA là đường cao của hình chóp S.ABC. Ta có A C 1 1 V V SA.dt VABC SA.AB.BC A.SBC S.ABC 3 6 Mặt khác SA  BC (do SA  SBC ), B BC  BA(gt) BC  SB hay ∆SBC vuông 1 tại B dt VSBC BC.BA. 2 1 3. SA.AB.BC SA.AB SA.AB ab Vậy d A, SBC 6 (đvđd). 1 2 2 2 2 SB.BC SB SA AB a b 2 Ví dụ 2. (BT 1.18 SBT Hình Học 12) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB a, BC 2a, AA' a . Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AM 3MD . Tính theo a khoảng cách từ điểm M đến mp(AB’C). Nhận xét: Khoảng cách từ điểm M đến mp(AB’C) bằng độ dài đường cao kẻ từ M của hình chóp M.AB’C. GV Ng« TrÝ Thô Tr­êng THPT DiÔn Ch©u 2 6