Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng đồ thị hàm số và tính biến thiên của hàm số để giải toán

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng đồ thị hàm số và tính biến thiên của hàm số để giải toán

1. Sáng kiến “Sử dụng đồ thị hàm số và tính biến thiên của hàm số để giải toán” I . Đặt vấn đề Khái niệm tương quan hàm số là một vấn đề quan trọng ở bậc học phổ thông . Học sinh được bắt đầu làm quen với khái niệm này từ quan hệ tỉ lệ thuận ở lớp 7 , hàm số bậc nhất và hàm số y= ax2 ở lớp 9 , và còn được tiếp tục ở trường THPT . Theo mục tiêu của chương trình Toán THCS thì việc dạy học khái niệm hàm số chỉ yêu cầu hình thành khái niệm tương quan hàm số thông qua quan hệ tỉ lệ thuận, quan hệ bậc nhất. Tuy nhiên thực tế quan điểm hàm số được hàm ẩn trong nhiều vấn đề khác. Các biểu thức chứa biến nhận những giá trị khác nhau khi các giá trị của biến thay đổi . Giải phương trình là tìm các giá trị của biến để các giá trị tương ứng của hai biểu thức ở hai vế bằng nhau. Giải bất phương trình là tìm những giá trị của biến để các giá trị tương ứng của hai biểu thức ở hai vế thỏa mãn bất đẳng thức đã cho Trong quá trình giải toán, chúng ta gặp những bài toán khi giải bằng phương pháp thông thường gặp nhiều khó khăn ,nhưng khi sử dụng tương quan hàm số thì việc giải bài toán đó dễ dàng hơn . Sau đây tôi xin trình bầy một vài ứng dụng của đồ thị hàm số và tính biến thiên của hàm số trong giải toán . II. Giải quyết vấn đề A . Trước hết ta nhắc lại một số khái niệm 1) Khái niệm hàm số Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ,ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x, và x được gọi là biến số . 2) Đồ thị hàm số Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá tri tương ứng (x ; f(x)) trên mặt phẳng tọa độ được gọi là đồ thị của hàm số y = f(x) . 3) Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến Với x1 , x2 bất kì thuộc R ( hoặc thuộc tập D ) Nếu x1 f(x2) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R(hoặc trên D) • Hàm số y = ax + b (a 0 )
2. Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến trên R Nếu a 0 thì hàm số nghịch biến khi x 0 Nếu a 0 và đồng biến khi x < 0 B .Những ứng dụng của hàm số trong giải toán Sử dụng đồ thị hàm số và tính biến thiên của hàm số trong việc giải các bài toán về phương trình , bất phương trình , chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN , GTNN của biểu thức Sau đây là một số ví dụ Dạng 1 : Giải phương trình , bất phương trình Ví dụ 1 : a) Trên cùng một hệ trục tọa độ vẽ đồ thị các hàm số : x2 3 y = ( P ) và y = x + ( d) 2 2 b) Dùng đồ thị cho biết ( có giải thích ) nghiệm của phương trình 2x 3 x ( Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Thái Bình năm học 1998 – 1999 ) Giải : a) Vẽ đồ thị hai hàm số y f(x)=0.5*x^2+0*x+0 f(x)=x+ 1.5 8 f(x)=x+ 1.5 Series 1 6 4 2 x -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 b) 2x 3 x Điều kiện x 0 Bình phương cả hai vế của phương trình ta được :
3. 2x + 3 = x2 3 x2 x + = 2 2 x2 3 Đặt y = ( P) và y = x + (d) 2 2 Nghiệm của phương trình đã cho là hoành độ giao điểm của (P) và (d) với 9 1 x 0, (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm (3; ) và ( -1; ) . 2 2 Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 3 . Ví dụ 2 : Giải bằng đồ thị hàm số các phương trình và bất phương trình a) x2 – x + 1 = 0 b) x2 – 2x + 1 = 0 c) x2 + 2x - 3 = 0 d) x2 + 2x - 3 x2 = x – 1 Đặt y = x2 và y = x – 1 .Vẽ đồ thị hai hàm số y = x2 và y = x – 1 trên cùng một hệ trục tọa độ . Hai đồ thị không có điểm chung .Vậy phương trình vô nghiệm . y f(x)=1*x^2+0*x+0 f(x)=x - 1 8 f(x)=2x - 1 f(x)=-2x + 3 6 Series 1 4 2 x -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8
4. b) x2 – 2x + 1 = 0 x2 = 2x – 1 Đặt y = x2 và y = 2x – 1 .Vẽ đồ thị hai hàm số y = x2 và y = 2x – 1 trên cùng một hệ trục tọa độ . Hai đồ thị tiếp xúc nhau tại điểm ( 1; 1 ) .Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 . c) x2 + 2x – 3 = 0 x2 = -2x + 3 Đặt y = x2 và y = -2x + 3 .Vẽ đồ thị hai hàm số y = x2 và y = -2x + 3 trên cùng một hệ trục tọa độ . Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm ( 1; 1) và ( -3; 9). Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 1 ; x2 = -3 . d) x2 + 2x – 3 x2 < -2x + 3 Đặt y = x2 và y = -2x + 3 .Vẽ đồ thị hai hàm số y = x2 và y = -2x + 3 trên cùng một hệ trục tọa độ . Ta thấy ứng với -3 < x < 1 đồ thị hàm số y = x2 nằm phía dưới đồ thị hàm số y = -2x + 3 hay x 2 < -2x +3 . Vậy nghiệm của bất phương trình là -3 < x < 1 . Dạng 2 : Biện luận số nghiệm của phương trình Ví dụ 3 : Dùng đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình x 1 x 1 = m ( m là tham số ) Giải Đặt y = x 1 x 1 và y = m Vẽ đồ thị hai hàm số y = x 1 x 1 và y = m trên cùng một hệ trục tọa độ rồi tìm số giao điểm của chúng . - 2x nếu x 1 * Ta có y = x 1 x 1 = 2 nếu -1 x 1 2x nếu x 1 Đồ thị hàm số y = x 1 x 1 gồm đoạn thẳng AB , tia AC và tia BD . *Đồ thị của hàm số y = m là một đường thẳng song hoặc trùng với trục hoành.
5. y f(x)=-2x f(x)=2 8 f(x)=2x D f(x)=1 C 6 4 2 A B y = m x -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 Nhìn trên hình vẽ ta thấy : - Nếu m 2 thì hai đồ thị có hai giao điểm , do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt . Ví dụ 4 : Với giá trị nào của tham số a , phương trình sau có nghiệm duy nhất 2x a 1 = x 3 (1) Giải Phương trình (1) 2x a = x 3 - 1 Đặt y = 2x a và y = x 3 - 1.Vẽ đồ thị hai hàm số y = 2x a và y = x 3 - 1 trên cùng một hệ trục tọa độ. a 2x – a nếu x 2 a Ta có y = 2x a = -2x + a nếu x 2
6. x + 2 nếu x - 3 y = x 3 - 1 = - x – 4 nếu x -3 y f(x)=2x + 1 f(x)=-2x - 1 8 f(x)=x + 2 f(x)=-x - 4 6 4 2 x -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 a a * Nếu -2 a - 4 thì hai đồ thị cắt nhau tại hai 2 2 điểm phân biệt => phương trình có hai nghiệm phân biệt . a * Nếu -4 -8 phương 2 trình vô nghiệm . Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi hai đồ thị trên có điểm a a chung duy nhất . Điều này xảy ra khi và chỉ khi = - 4 hoặc = - 2 a = -8 2 2 hoặc a = -4 Vậy với a = -8 hoặc a = -4 thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất . Bài tập tương tự 1 . Dùng đồ thị để : a) Giải phương trình : 2 x = - x + 3 b) Chứng minh phương trình x = x - 2 vô nghiệm .
7. 2 . Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị 1 a) x 1 x 1 = m ( m là tham số ) 2 b) x2 -4 x + 1 = k ( k là tham số ) 3 . Dùng đồ thị để giải phương trình và bất phương trình a) x2 – x – 2 = 0 b) x2 – x – 2 2 nên f( ) hay f( 3 2 ) > 0 2 4 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 Vì > => > hay 2 > suy ra f( 2 ) 0  m 4 4 2 4 Suy ra hàm số y = f(x) = ( m2 + m + 1)x2 đồng biến khi x > 0 1 ( 3 2 )( 3 2 ) = 1 => 3 2 = 3 2
8. 1 ( 2 1)( 2 1) = 1 => 2 1 = 2 1 1 1 Vì 3 2 > 2 1 nên 0 nên f( 3 2 ) f( 2007 2006 ) . Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 Ví dụ 7 : Cho phương trình bậc hai x + 2(m – 2)x – 2m + 7 = 0. Gọi x1 ,x2 là 2 2 các nghiệm của phương trình , tìm giá tri nhỏ nhất của biểu thức x1 + x2 . Giải : ’ = ( m -2)2 + 2m – 7 = (m – 3)(m + 1) Để phương trình có nghiệm thì ’ 0 hay (m – 3)(m + 1) 0 m -1 hoặc m 3 . Theo định lí Vi-ét ta có : x1 + x2 = -2( m – 2) x1. x2 = -2m + 7 2 2 2 2 2 Do đó x1 + x2 = ( x1 + x2) – 2 x1. x2 = [- 2(m – 2)] - 2(- 2m + 7) = 4m – 12m + 2 Ta cần tìm min(4m2 – 12m + 2) với m -1 hoặc m 3 . Đặt f(m) = 4m2 – 12m + 2 Ta có f(m) = 4m2 – 12m + 2 = (2m – 3)2 – 7 -7 Dấu “ = ” xảy ra khi 2m – 3 = 0 m = 1,5 ( không thỏa mãn điều kiện trên ) Vẽ đồ thị hàm số f(m) = 4m2 – 12m + 2 . Nhìn trên hình vẽ ta thấy Với m = 3 ta có f(3) = 2 Với m = - 1 ta có f(-1) = 18
9. y f(x)=4*x^2-12*x+2 Series 1 8 6 4 2 x -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 Do đó hàm số f(m) = 4m2 – 12m + 2 với m -1 hoặc m 3 có giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi m = 3 2 2 Vậy min (x1 + x2 ) = 2 khi m = 3. Ví dụ 8 : Giả sử ( x;y) là nghiệm của hệ phương trình x + y = 2a – 1 ( I ) x2 + y2 = a2 + 2a - 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x.y Giải : Ta có x2 + y2 = a2 + 2a – 3 (x+y)2 – 2xy = a2 + 2a – 3 ( 2a – 1)2 – 2xy = a2 + 2a – 3 3 xy = a2 – 3a + 2 2 x + y = 2a – 1 Hệ phương trình (I) 3 xy = a2 – 3a + 2 2 Suy ra x , y là hai nghiệm của phương trình : 3 X2 – ( 2a – 1)X + a2 – 3a + 2 = 0 (1) 2
10. Phương trình (1) có nghiệm khi 0 hay -2a2 + 8a – 7 0 4 2 4 2 a 2 2 3 Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(a) = a2 – 3a + 2 với 2 4 2 4 2 a (2) 2 2 3 1 Ta có f(a) = (a- 1)2 + 2 2 3 Xét hàm số g(a) = (a- 1)2 đồng biến khi a – 1 > 0 2 2 2 3 3 2 2 Từ (2) => a- 1 > 0 . Do đó g(a) = (a- 1)2 ( )2 2 2 2 2 3 2 2 1 11 6 2 Suy ra f(a) ( )2 + = 2 2 2 4 2 2 4 2 Dấu “ = ” xảy ra khi a – 1 = a = 2 2 11 6 2 4 2 Vậy min ( xy ) = khi a = 4 2 Bài tập tương tự Bài 1 : Giả sử ( x;y) là nghiệm của hệ phương trình x + y = a + 1 x2 + y2 = 2a2- 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x.y 2 Bài 2 : Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình x + 2(m – 2)x – 3m + 10 = 0 2 2 Tìm m để x1 + x2 có giá trị nhỏ nhất . 1 Bài 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 1 x 1 2 III. Kết luận Việc sử dụng đồ thị hàm số và tính biến thiên của hàm số vào việc giải các bài toán đại số gặp rất nhiều thuận lợi và nó có thể giải quyết được nhiều bài toán khó . Trong quá trình giảng dạy, tôi đã áp dụng với nhiều đối tượng học sinh , đặc biệt là đối tượng học sinh giỏi và thấy đa số học sinh vận dụng tốt vào giải toán . Do trong khuôn khổ của một chuyên đề , tôi không thể trình bày hết được các dạng toán sử dụng hàm số để giải .Trong quá trình thực hiện không tránh khỏi