Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng công thức diện tích hình học để sáng tạo và chứng minh bất đẳng thức

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng công thức diện tích hình học để sáng tạo và chứng minh bất đẳng thức

1. SKKN: “ Sử dụng công thức diện tích hình học để sáng tạo và chứng minh bất đẳng thức” - Tên sáng kiến: ‘Sử dụng công thức diện tích hình học để sáng tạo và chứng minh bất đẳng thức’. - 1 -
2. SKKN: “ Sử dụng công thức diện tích hình học để sáng tạo và chứng minh bất đẳng thức” Phần 2. Giải quyết vấn đề 2.1 Cơ sở lý thuyết 2.1.1 Các công thức tính diện tích a. Tam giác 1 1 1 S ab.sinC bc.sin A ac.sin B 2 2 2 abc S 4R S pr S p p a p b p c b. Tứ giác Hình vuông, hình chữ nhật. Hình thoi. Hình bình hành. 2.2 Áp dụng 2.2.1 Xây dựng bất đẳng thức từ diện tích tam giác Bài toán dẫn xuất 1. Cho 3 số thực a,b,c 0;1. Chứng minh rằng: a 1 b b 1 c c 1 a 1. Bạn đọc có thể đưa ra không ít cách giải khác nhau, tuy nhiên, ta giải quyết bài toán theo hướng áp dụng hình học. Tóm tắt lời giải Xét tam giác ABC đều, có cạnh bằng 1. Trên AB, BC, CA lấy M, N, P như hình vẽ. Đặt a = AM, b = CP, c = BN. - 3 -
3. SKKN: “ Sử dụng công thức diện tích hình học để sáng tạo và chứng minh bất đẳng thức” Cho các số thực a 0;3,b 0;5,c 0;4 Chứng minh rằng: 4a 5 b 3b 4 c 5c 3 a 60 . Quan sát bất đẳng thức thì không ít người có cảm giác ban đầu hơi mất phương hướng. Tuy nhiên nếu đã biết ý tưởng thì bài toán có thể giải quyết đơn giản như sau: Tóm tắt lời giải: A M 1 P 3 2 C B N Xét tam giác vuông ABC có AB = 3. BC = 4, AC = 5. Đặt a = AM, b = CP, c = BN Ta có đánh giá S1 S2 S3 S 1 1 1 1 a 5 b sin A b 4 c sinC c 3 a sin B 4.3 2 2 2 2 1 4 1 3 1 1 a 5 b b 4 c c 3 a 1 4.3 2 5 2 5 2 2 4a 5 b 3b 4 c 5c 3 a 60 (dpcm) Sau đây tôi xin đưa ra một số bài toán tương tự Bài 1. Cho các số thực a 0;5,b 0;12,c 0;13 Chứng minh rằng: 12a 13 b 5b 12 c 13c 5 a 5.12.13 . Bài 2. Cho các số thực a 0;1,b 0;2,c 0; 5 Chứng minh rằng: 2a 5 b b 2 c 5c 1 a 2 5 . - 5 -
4. SKKN: “ Sử dụng công thức diện tích hình học để sáng tạo và chứng minh bất đẳng thức” 1 6 1 4 1 5 4.5.6 a 5 b b 6 c c 4 a 2 2R 2 2R 2 2R 4R 6a 5 b 4b 6 c 5c 4 a 120 (dpcm) Lời bình Quá trình trên cho ta nhìn thấy hướng tổng quát của các bài toán, bắt đầu là việc xây dựng bài toán dựa trên một tam giác đều rồi tam giác vuông và cuối cùng là một tam giác bất kì. Là một giáo viên dạy toán, việc nhìn ra hướng tổng quát để xây dựng các bài toán tương tự nhằm tạo ra cho bản thân một ngân hàng đề là hết sức cần thiết. Như vậy các bạn chỉ cần thay đổi số đo cạnh là có thể có nhiều bài tập hay. Sau đây là một số ví dụ phát triển theo hướng tổng quát dựa vào một tam giác thường: Bài 1. Cho các số thực a 0;5,b 0;6,c 0;7 Chứng minh rằng: 6a 7 b 5b 6 c 7c 5 a 210. Bài 2. Cho a, c là các số thực dương và các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x 0;a, y 0;c, z 0;c . Chứng minh rằng: cx c y ay c z cz a x ac2 . Bài 3. Cho các số thực a 0; 2 ,b 0; 3 ,c 0; 5 Chứng minh rằng: 5a 3 b 2b 5 c 3c 2 a 30 . Bài 4. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác và các số thực x, y, z thỏa mãn x 0;a, y 0;b, z 0;c. Chứng minh rằng: cx b y ay c z bz a x abc . Các bạn hãy thử nhé. Tiếp theo ta cùng nhìn vấn đề sang tứ giác. 2.2.2 Xây dựng bất đẳng thức từ diện tích tứ giác Bài toán dẫn xuất 1. Cho các số a,b,c,d 0;1. - 7 -
5. SKKN: “ Sử dụng công thức diện tích hình học để sáng tạo và chứng minh bất đẳng thức” Bài 2. Cho các số x, y, z,t 0;a, a 0 . Chứng minh rằng: x a y y a z z a t t a x 2a2 . Bài toán dẫn xuất 2. Cho các số a,c 0;1, b,d 0;2 . Chứng minh rằng: a 2 b b 1 c c 2 d d(1 a) 4 . Tóm tắt lời giải Xét hình chữ nhật ABCD có cạnh bằng AB = 2, AD = 1, lấy M, N, P, Q như hình vẽ A M B 1 2 Q N 4 3 D C P Đặt a = QA, b = MB, c = NC, d = PD. Ta có đánh giá sau S1 S2 S3 S4 S 1 1 1 1 a 2 b b 1 c c 2 d d 1 a 2 2 2 2 2 a 2 b b 1 c c 2 d d 1 a 4 (dpcm) Lời bình Cũng giống như bài toán dẫn xuất 1 trong việc phân chia đánh giá diện tích, song ở bài toán này ta thấy vai trò a, b, c, d đã không hoàn toàn như nhau. Do đó dựa vào vai tró a, c và b, d ta đi xét hình chữ nhật. Cũng có thể thay thế việc xét một hình chữ nhật thành việc xét một hình bình hành mà ta vẫn có lời giải tương tự. Sau đây là các bài toán cùng loại: Bài 1. Cho các số a,c 0;2, b,d 0;3. - 9 -
6. SKKN: “ Sử dụng công thức diện tích hình học để sáng tạo và chứng minh bất đẳng thức” Phần 3: Kết luận 1. Kết quả thu được 1.1 Về nội dung a) Trình bày phương pháp xây dựng bất đẳng thức từ diện tích tam giác. b) Trình bày phương pháp xây dựng bất đẳng thức từ diện tích tứ giác. 1.2 Kết quả khảo sát Trên thực tế tôi đã áp dụng sáng kiến trên trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi cũng mang lại hiệu quả tích cực và đặc biệt là sự thích thú khi các em tự ra được đề. 2. Lời kết Bài viết này là sự tổng hợp một số kinh nghiệm ít ỏi của bản thân, mong phần nào đó giúp bạn đọc và đồng nghiệp cảm thấy có ích trong việc học tập và nghiên cứu cũng như trong giảng dạy môn toán. Trong quá trình thực hiện chuyên đề này dù đã rất cố gắng cũng như được sự góp ý của các đồng nghiệp và tổ nhóm chuyên môn, song chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế, rất mong tiếp tục được sự góp ý của bạn đọc và các đồng nghiệp để bài viết của tôi được hoàn thiện hơn. Tôi xin trân trọng cảm ơn! - 11 -