Sáng kiến kinh nghiệm Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai - Tạ Văn Sáng

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai - Tạ Văn Sáng

1. TRƯỜNG THCS XUÂN CẨM CHUYÊN ĐỀ 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI Họ và tên giáo viên: Tạ Văn Sáng Môn: Toán Trường: THCS Xuân Cẩm Hiệp Hòa, ngày 10 tháng 8 năm 2019 1
2. B. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Biểu thức dưới dấu căn là một số thực dương. 1. Phương pháp giải: + Đưa thừa số ra ngoài dấu căn hoặc đưa vào trong dấu căn để được các căn đồng dạng rồi thu gọn các căn đồng dạng. a + Với các bài toán mà trong căn là các phân số thực dương thì có thể áp dụng công thức khử b mẫu của biểu thức lấy căn để tính toán. * Lưu ý: Học sinh cần tuân thủ thứ tự thực hiện phép tính ( trong ngoặc trước, ngoài ngoặc sau; nhân, chia trước, cộng trừ sau) 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau: M 45 245 80 N 5 8 50 2 18 P 125 4 45 3 20 80 A 12 27 48 Hướng dẫn giải M 45 245 42.5 N 5 8 50 2 18 P 5 5 12 5 6 5 4 5 32.5 72 5 42.5 5.2 2 5 2 2.3 2 5 5 3 5 7 5 4 5 6 5 10 2 5 2 6 2 (10 5 6) 2 9 2 A 12 27 48 2 3 3 3 4 3 3 Nhận xét: Đây là một dạng toán dễ. Học sinh có thể bấm máy tính để giải, đa phần áp dụng kiến thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn để giải toán. A2 B A B ( B 0 ) Ví dụ 2: Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Rút gọn biểu thức 75 48 300 là A. 3. B. 3. C. 19 3. D. 5. Hướng dẫn: Học sinh sử dụng máy tính cầm tay nhập toàn bộ biểu thức vào máy bấm dấu = 1 1 Câu 2. Giá trị biểu thức + bằng 3- 5 3+ 5 3 A. . B. 1. C. 5. D. 2 5. 2 Hướng dẫn: Học sinh sử dụng máy tính cầm tay nhập toàn bộ biểu thức vào máy bấm dấu = Câu 3. Giá trị của x để 12x 4 3x 1 6 là 3
3. Hướng dẫn giải 2 2 Cách 1: B 5 2 6 5 2 6 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 . Cách 2: B 5 2 6 5 2 6 Ta có: B2 5 2 6 5 2 6 2 5 2 6 5 2 6 10 2 1 8 Vì B 0 nên B 8 2 2 . Nhận xét: Các biểu thức 5 2 6 và 5 2 6 là hai biểu thức liên hợp. Gặp những biểu thức 2 như vậy, để tính B ta có thể tính B trước rồi sau đó suy ra B. ( Cần xét B là số dương hay số âm để tránh nhầm lẫn). Ví dụ 4: Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Tính giá trị của biểu thức (3 5) 2 . A. 5 3 . B. 3- 5 . C. -2. D. 2. Hướng dẫn: HS đưa về dạng A2 = A rồi phá dấu giá trị tuyệt đối (3- 5)2 = 3- 5 = 3- 5 Nhận xét: Để phá dấu giá trị tuyệt đối HS có thể sử dụng máy tính cầm tay bằng cách bấm tổ hợp phím: Shift + hyp ( với máy tính 570-ES PLUS hoặc 570 – VN PLUS) Câu 2. Tính giá trị của biểu thức F 4 2 3 4 2 3 . A. 2 3 . B. 6. C. -6. D. 2 3 . HS đưa về dạng A2 = A rồi phá dấu giá trị tuyệt đối F 4 2 3 4 2 3 ( 3 1)2 ( 3 1)2 3 1 3 1 3 1 3 1 2 3 Nhận xét: Bài này nếu học sinh sử dụng máy tính cầm tay sẽ không hiệu quả, nên HS phải nắm vững cách đưa bài toán A với A là biểu thức có thể đưa về dạng bình phương ( Đã hướng dẫn ở ví dụ 2) 5
4. 3 3 4 3 4 3 3 4 2 3 1 3 4 5 2 3 E 2 2 2 3 1 5 2 3 2 3 1 52 2 3 22 11 3 26 13 3 2 3 2 3 11 13 4 2 3 4 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 2 2 1 1 3 1 3 1 .( 2) 2 2 2 1 2 2 1 1 2 F 2 3 6 3 3 2 3 3 3 3 1 3 3 1 2 3 3 1 2 2 3 3 3 1 2 3 2 3 4 2 3 2 2. 3 3 1 3 3 1 2 3 3 3 1 2 3 3 3 1 3 1 2 3 3 1 3 3 1 3 3 3 1 3 3 1 3 3 3 Ví dụ 3: Bài tập trắc nghiệm 1 1 Câu 1 : Tính giá trị của biểu thức + ta được kết quả 2 + 3 2 - 3 1 A. . B. 1. C. -4 .D. 4. 2 Hướng dẫn: Cách 1: Học sinh sử dụng máy tính để bấm ra kết quả ( nếu là số nguyên) Cách 2: Nếu kết quả là số thập phân thì học sinh thao tác trục căn thức hoặc quy đồng để tìm ra đáp án ở dạng căn. 7 5 7 5 Câu 2: Giá trị của biểu thức P là 7 5 7 5 A. 1. B. 2. C. 12. D. 12 Cách 1: Học sinh sử dụng máy tính để bấm ra kết quả ( nếu là số nguyên) Nhận xét: Đôi khi một số bài toán rút gọn căn thức sẽ thực hiện dễ dàng hơn nếu chúng ta trục căn thức hoặc rút gọn được một hạng tử trong đề toán. Nếu quy đồng mẫu số thì việc thực hiện các phép tính rất phức tạp. Vì vậy trước khi làm bài toán rút gọn, học sinh cần quan sát kỹ đề toán từ đó có định hướng giải đúng đắn để lời giải được ngắn gọn, chính xác. 7
5. 3x 9 x 2 x 6 2x 2 x 3 x 3 9 x 15 x 1 x 3 5x 17 x 6 5x 15 x 2 x 6 5 x 2 x 3 5 x 2 . x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 2 b) Ta có x 4 2 3 3 1 ( thỏa mãn ĐKXĐ) x 3 1 ; 5 3 1 2 5 3 3 5 3 3 2 3 Do đó: P 7 3 9 . 3 1 1 3 2 3 2 2 3 Nhận xét : HS cần kiểm tra giá trị x của đề bài có thỏa mãn ĐKXĐ không ? Một số bài toán cần biến đổi giá trị x ở đề bài sao cho gọn nhất để thuận tiện cho việc thay giá trị đó vào biểu thức. 5 x 2 5 x 5 7 c) Ta có P x 1 x 1 7 P 5 x 1 7 7 Vì 0 nên P có giá trị nhỏ nhất lớn nhất x 1 x 1 x 1 nhỏ nhất x 0 . Khi đó min P 5 7 2 . Nhận xét : Để làm câu c HS cần nắm rõ quy tắc dấu, quy tắc đổi chiều khi đánh giá bất đẳng thức. + A> B Þ m- A B > 0 Þ 0) A B x 1 2 x 5 x 2 3 x x Ví dụ 2: Cho biểu thức Q : x 2 x 2 4 x x 4 x 4 a) Rút gọn Q; b) Tìm x để Q 2 ; c) Tìm các giá trị của x để Q có giá trị âm. Hướng dẫn giải ĐKXĐ: x 0; x 4; x 9 . x 1 2 x 5 x 2 3 x x a) Q : x 2 x 2 4 x x 4 x 4 x 1 x 2 2 x x 2 5 x 2 x 3 x : 2 x 2 x 2 x 2 9
6. Vậy a 8;10;20 thì B Z Nhận xét: + Trong một số bài toán HS có thể đánh giá mẫu thức để hạn chế các giá trị ước không thỏa mãn. Qua đó rút ngắn được các trường hợp cần thử. 6 Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của x để A = ( x ³ 0 ) nhận giá trị nguyên x + 3 6 + với x ³ 0 thì A = nhận giá trị nguyên Û x + 3Î U (6) = {± 1;± 2;± 3;± 6} x + 3 + Vì x ³ 0 Þ x + 3³ 3 nên Û x + 3Î {3;6} + Ta có bảng xét giá trị sau: x + 3 3 6 x 0 3 x 0 9 Nhận xét Chọn Chọn Vậy x Î {0;9} là các giá trị cần tìm x 3 x 2 9 x 3 x 9 Ví dụ 4: Cho biểu thức P : 1 2 x 3 x x x 6 x 9 (với x 0; x 4; x 9 ) a) Rút gọn biểu thức P. 4 2 3.( 3 1) b) Tính giá trị biểu thức P khi x 6 2 5 5 Hướng dẫn giải x 9 4 x 9 x x 9 3 x 9 a) P : 2 x 3 x x 9 4 x x 3 x 3 2 x : 2 x 3 x x x 3 x 2 3 1 3 1 3 1 3 1 b) x 2 (tm) 2 1 5 5 1 5 5 2 2 Nên P 2 1 2 2 x x 1 2 x 1 Ví dụ 5: Với x > 0, cho hai biểu thức A và B x x x x a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64. b) Rút gọn biểu thức B. 11
7. b) Cách 1: Với x 0, x 1 x x 1 x 1 1. x 2 x 2 1 Vậy 0 A 1 2. x x 1 x 1 x 1 x 2 Vì A nguyên nên A = 1 1 x 1( Không thỏa mãn). x x 1 Vậy không có giá trị nguyên nào của x để giả trị A là một số nguyên. Cách 2: Dùng miền giá trị x 2 A Ax+(A-1) x A 2 0 x x 1 Trường hợp 1: A 0 x 2 x  1 Trường hợp 2: A 0 (A 1)2 4A(A 2) 3A2 6A 1 0 A2 2A 0 3 4 4 A2 2A 1 (A 1)2 A 1;2doA Z, A 0 3 3 Với A = 1 => x = 1 ( loại) x 2 Với A = 2 2 x 0 ( loại). x x 1 Nhận xét: Đây là dạng bài toán khó. HS thường nhầm lẫn sang dạng toán tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. + Với bài toán dạng này HS cần đánh giá được A kẹp giữa 2 giá trị nào rồi dùng điều kiện A là số nguyên để chọn giá trị A thỏa mãn trước. Sau đó xét các trường hợp với từng giá trị của A được chọn. 1 x 1 1 x Ví dụ 8: Cho biểu thức P 1 : , (với x 0 và x 1). x x x x a) Rút gọn biểu thức P . b) Tính giá trị của biểu thức P tại x 2022 4 2018 2022 4 2018 . Hướng dẫn giải 1 x 1 a) Ta có 1 x x x 1 1 x x 1 1 x x 1 x x 1 Và x x x x 1 x x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 nên P . . x x 1 x b) Có x 2022 4 2018 2022 4 2018 2 2 2018 2 2018 2 13
8. æ x x ö x- 4 ç ÷ Câu 1: Rút gọn biểu thức P = ç + ÷. với xñ0 và x ¹ 4 ta được kết quả èç x - 2 x + 2ø÷ 4x A. x .B. - x . C. 2 .D. -2. Hướng dẫn: HS thực hiện các kĩ năng rút gọn để chọn đáp án æ1 1 ö x Câu 2: Rút gọn biểu thức ç - ÷¸ với x > 0; x ¹ 1 có kết quả là èç x x + 1ø÷ x- 1 x - 1 x + 1 x - 1 x + 1 A. . B. . C. . D. . x 2 x x x - 1 Hướng dẫn: HS thực hiện các kĩ năng rút gọn để chọn đáp án 1 Câu 3: Cho biểu thức Q = . Giá trị lớn nhất của biểu thức Q bằng x 2 - 4x + 5 A. 1. B. -1. C. 4. D. 5. Hướng dẫn: Ta có: x2 - 4x + 5 = (x- 2)2 + 1³ 1, " x Þ x2 - 4x + 5 = (x- 2)2 + 1 ³ 1, " x 1 Þ £ 1, " x Þ Q £ 1 x2 - 4x + 5 Vậy giá trị lớn nhất của Q bằng 1 đạt được tại x=2 C. BÀI TẬP VẬN DỤNG 1. Bài tập tự luận TL 2.1: Thực hiện các phép tính sau: a, 2 3 3 27 300 b,(2 3 5 27 4 12) : 3 TL 2.2: Rút gọn a) A 4 2 3 b) B 8 2 15 c) C 9 4 5 d) D 7 13 7 13 1 e) E 6 2 5 6 2 5 f) F 7 2 10 20 8 2 TL 2.3: Rút gọn A ( 3 4) 19 8 3 7 4 3 B ( 5 2)( 5 2) 3 2 7 5 7 5 4 4 C 3 2 2 D 2 2 7 2 11 2 5 2 5 8 15 3 1 3 1 E F 30 2 3 1 3 1 15
9. a) Rút gọn biểu thức A và B. b) Tìm giá trị của x để 3A B 0 . 2. Bài tập trắc nghiệm TN 2.1: Giá trị của biểu thức (8 5 3)2 bằng A. 8 5 3 B. 5 3 8 C. -11. D. 5 3 8 . 1 a a TN 2.2. Rút gọn biểu thức , ta được a 1 a A. 1 a B. (1 a) C. 1 a D. a 1. . a a b TN 2.3. Cho a 0,b 0 Tính ta được b b a 2 ab a 2a A. 2. B. C. D. . b b b 1 a a TN 2.4. Rút gọn biểu thức , ta được a 1 a A. 1 a B. (1 a) C. 1 a D. a 1. . 2( 2 6) TN 2.5. Giá trị của biểu thức bằng: 3 2 3 2 2 2 3 4 A. . B. . C. 1 . D. . 3 3 3 2 1 TN 2.6. Giá trị của biểu thức bằng 1 2 A. (3 2 2) B. 3 2 2. . C. 3 2 2. . D. 2 2 3. . TN 2.7. Giá trị của biểu thức 15 6 6 15 6 6 bằng A. 12 6 B. 30 C. 6. D. 3. 3. Hướng dẫn giải và đáp số 3.1. Tự luận TL 2.1 a,2 3 3 27 300 2 3 3 32.3 102.3 2 3 3.3. 3 10 3 3 b,(2 3 5 27 4 12) : 3 (2 3 5.3 3 4.2 3) : 3 5 3 : 3 5 TL 2.2 2 A 6 2 5 5 1 5 1 5 1 17
10. x 1 x x x 1 x( x 1) 1 : : 2 2 ( x 2) x 2 x 2 ( x 2) x 2 x( x 2) 1 b) Với x 0 ta có A và x 0 ; x 2 0. x( x 2) 1 1 1 Khi đó A x 2 3 x 1 x 1 3 x x x 2 3 x Suy ra: 0 x 1. Bài 2.4.2. 1 x x x 1 x 3 x 1 Với x ³ 0; x ¹ 1; x Ta có B . 4 x 1 x x 1 x 1 2x x 1 x x 3 x 1 x 1 2 x 3 x 1 2 x 3 . . . x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1 2 x 1 2 x 1 1 1 Vì x 0 nên 2 x 3 0, do đó B 0 khi 2 x 1 0 x . Mà x 0; x 1 và x 4 4 1 nên ta được kết quả 0 x . 4 Bài 2.4.3. 1 1 x 2 x 2 x 2 x 2 2 a)Với x ³ 0; x ¹ 4, ta có V x 2 x 2 x x 2 x 2 x x 2 1 2 1 b) V x 2 6 x 64 ( thỏa mãn) 3 x 2 3 Bài 2.4.4 9 2 3 2 5 1. Khi x=9 ( thỏa mãn ĐKXĐ). Ta có A 9 5 3 5 2 2) Với x 0, x 25 , ta có 3 20 2 x 3 20 2 x B x 5 x 15 x 5 x 5 x 5 3 x 5 20 2 x 3 x 15 20 2 x x 5 1 (đpcm) x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 3) Tìm tất cả các giá trị của để A B. x 4 . Với x 0, x 25 Ta có: A B. x 4 19
11. 1 a 1 a 2 1 a. 1 a (1 a) (1 a) . 1 a 1 a 2a 2 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a . 1 a 1 a 2a 2a 1 a 1 a 2a 1 2a 2a Bài 2.4.7 a) Với x > 0; x 1ta có x 2 x x 1 P . x( x 2) x( x 2) x 1 x x 2 x 1 ( x 1)( x 2) x 1 x 1 . . = x( x 2) x 1 x( x 2) x 1 x x 1 - Vậy với x > 0; x 1ta có P . x x 1 b) - Với x > 0; x 1ta có: P x 2 x 1 - Để 2P = 2 x 5 nên 2 x 5 x - Đưa về được phương trình 2x 3 x 2 0 x 2 (lo¹i) 1 - Tính được 1 x thỏa mãn điều kiện x > 0; x 1 x 4 2 1 Vậy với x thì 2P = 2 x 5 4 Bài 2.4.8. a, Ta có: A = 9 4 5 5 ( 5 2) 2 5 5 2 5 5 2 5 2 (vì 5 2 ) x x x 1 x.( x 1) ( x 1).( x 1) Với x > 0; x ¹ 1 B = x x 1 x x 1 x 1 x 1 2 x b) 3A + B = 0 6 2 x 0 với x 0, x 1 2 x 6 x 3 x 9( thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy với x = 9 thì 3A + B = 0 21
12. TN 2.6. Giá trị của biểu thức 15 6 6 15 6 6 bằng A. 12 6 B. 30 C. 6. D. 3. Hướng dẫn: Cách 1: Nhập biểu thức vào máy tính rồi bấm được kết quả là 6 Cách 2: 15 6 6 15 6 6 (3 6)2 (3 6)2 3 6 3 6 6 Đáp án C 23
13. 1 A. . B. 1 C. 8. . D. 8. . 2 2 2 Câu 13: Rút gọn biểu thức ta được M 7 5 2 7 ta được A. 3. . B. 3. . C. 2 7 7. . D. 7 2 7 Câu 14: Giá trị của biểu thức 4a2 3a (a 0) là A. a. .B. a C. 7a D. 7a Câu 15: Biểu thức 15 - 216 + 33 - 12 6 được rút gọn bằng biểu thức nào sau đây A. 6 . B. 6 + 6 . C. 2 6 . D. 6 + 3 6 . Câu 16: Rút gọn biểu thức A = x 2 - 6x + 9 - x 2 - 2x + 1 với x > 3, ta được A. A = - 4 .B. A = - 2 . C. A = 2. D. A = 4. Câu 17: Với x 0 , rút gọn biểu thức x (x 1)2 ta được A. 1 B. 1 2x C. 2x 1. . D. 1. . 2 1 a b Câu 18: Kết quả rút gọn biểu thức N với a b 0 a b 9 1 1 1 1 A. B. C. D. . . 3 3 9 9 a a b Câu 19: Giá trị của biểu thức 1 : (a b 0) khi 2 2 2 2 2 2 a b a b a a b a 3b bằng 2 1 2 1 A. B. C. D. . . 2 2 2 2 1 Câu 20: Cho biểu thức Q = . Giá trị lớn nhất của biểu thức Q bằng x 2 - 4x + 5 A. 1. B. -1. C. 4. D. 5. PHẦN 2: TỰ LUẬN Câu 21 ( 2 điểm): Thực hiện phép tính a) 144 49 25 b) 2 3 48 75 c, 125 4 45 3 20 80 Câu 22 ( 2 điểm). Rút gọn các biểu thức sau 2 6 2 4 3 a, b, c, 3 5 3 1 5 2 5 2 Câu 23 ( 1,5 điểm): Giải phương trình: 25
14. 7 5 + 2 0,25 a, 9x 9 x 1 12 9.(x 1) x 1 12 3 x 1 x 1 12 0,25 4 x 1 12 x 1 3 x 1 9 x 8 0,25 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 8 0,25 b, x 1 4x 4 25x 25 2 0 Câu 23 x 1 4 x 1 25 x 1 2 0 0,25 x 1 2 x 1 5 x 1 2 0 x 1 1 0,25 x 0 0,25 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 0 với a > 0, a 4. B = 0,25 a a a 1 a a a 1 : : 2 a 2 a a 2 a 4 a 4 a a 2 a 2 a 2 2 2 a a a 2 a a a 2 . . 0,25 a 2 a 2 a 1 a 2 a 1 2 a a 1 a 2 Câu 24 . a a 2 0,25 a 2 a 1 Vậy với a > 0, a 4 thì B a a 2 0,25 2 2 2 b) B a a 2 a 2 a a 2 a 1 1 a 1 1 0,25 2 2 Do a 1 0 a 0,a 4 a 1 1 1a 0,a 4 Dấu = xảy ra khi a = 1 ( thỏa mãn đk) 0,25 Vậy giá trị nhỏ nhất của B là -1 khi a = 1 27
15. NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ CỦA BAN GIÁM HIỆU XÁC NHẬN CỦA BAN GIÁM HIỆU 29