Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện kỹ năng giải “Toán chia hết” trong chương trình Toán THCS

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện kỹ năng giải “Toán chia hết” trong chương trình Toán THCS

1. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THCS A. ĐẶT VẤN ĐỀ I./MỤC ĐÍCH YÊU CẦU Kỹ năng giải toán và biết vận dụng kiến thức đã học của học sinh vào giải bài tập là vấn đề mà giáo viên nói chung luôn phải quan tâm. Thực tiễn dạy và học cho thấy chúng ta còn có nhiều vấn đề cần giải quyết lâu dài, kỹ năng giải toán, các phép biến đổi cơ bản, phương pháp giải toán chia hết của học sinh còn rất yều. Nhận thức về đề trên, tôi muốn truyền đạt cho các em nhiều dạng toán để cung cấp cho các em những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo để giải toán, Một trong các dạng toán đó là “Dạng toán chia hềt”. Do đó mục đích viết đề tài này là có thể góp phần bé nhỏ nào đó của mình vào việc nâng cao chất lượng dạy và học nói chung và giúp các em HS nắm chắc các phương pháp giải dạng toán “chia hết”, hình thành cho các em các kỹ năng suy luận, biến đổi, nhận dạng và thể hiện tốt lời giải bài toán II./THỰC TRẠNG BAN ĐẦU Dạng toán chia hết được đề cập trong SGK ngay từ đầu lớp 6 đến lớp 9 và mỗi lớp có yêu cầu khác nhau nên làm cho người dạy và người học rất vất vả nhất là đối với HS lớp 8 và lớp 9. Thông thường khi dạy dạng toán này giáo viên lại phải nhắc lại các kiến thức cơ bản đã học ở lớp dưới làm mất rất nhiều thời gian của tiết dạy. Bên cạnh đó kỹ năng biến đổi để làm xuất hiện các yếu tố chia hết trong biểu thức số hay biểu thức đại số của các em còn chưa linh hoạt, có những bài toán rất đơn giản mà các em biến đổi rất dài dòng và rất phức tạp, thực chất nêú các em nắm chắc các phương pháp giải dạng toán chia hết thì rất đơn giản.Trong quá trình giảng dạy nhiều GV không hay để ý tới dạng toán này vì dạng toán này thường được đặt dưới bài toán cụ thể trong SGK nên không nghĩ đó là trọng tâm của bài. Bên cạnh đó nếu có giải thì cũng chưa yêu cầu học sinh làm thêm trong sách bài tập hoặc ngoài phạm vi sách giáo khoa để rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy của HS. Mặt khác tài liệu tham khảo viết về dạng toán này hầu như không có ở thư viện của trường. Từ những suy nghĩ đó và thực tế giảng dạy tôi đã mạnh dạn viết đề tài này III/ GIẢI PHÁP Trong quá trình giảng dạy tôi thấy đa phần học sinh chưa có kỹ năng giải toán “chia hết” vì các em chưa biết bài toán đó cần áp dụng phương pháp nào để giải cho kết quả đúng nhất, nhanh nhất và đơn giản nhất. Vì vậy để nâng cao kỹ năng giải toán “chia hết” thì các em phải nắm được các dạng toán, các phương pháp gỉải, các kiến thức cơ bản được cụ thể hoá trong từng bài, từnbg chương, từng khối lớp. Có thể nói rằng dạng toán “chia hết” luôn là dạng toán khó đối với học sinh và không ít học sinh cảm thấy sợ khi học dạng toán này Là một giáo viên dạy toán tôi mong các em chinh phục được nó và không chút ngần ngại khi gặp dạng toán này. Nhằm giúp các em phát triển tư duy suy luận và óc phán đoán, kỹ năng trình bày linh hoạt. Hệ thống bài tập tôi đưa ra từ Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 1
2. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” dễ đến khó, bên cạnh đó còn có những bài tập nâng cao dành cho học sinh giỏi. Lượng bài tập cũng tương đối nhiều nên các em có thể tự học, tự chiếm lĩnh tri thức thông qua hệ thống bài tập áp dụng này, điều đó giúp các em hứng thú học tập hơn rất nhiều B./GIẢI QUYẾT VẦN ĐỀ I/CƠ SỞ LÝ LUẬN Đề tài được nghiên cứu thực hiện trên thực tế tiết dạy về các bài tập thể hiện dạng toán “chia hết”. Và trong những năm gần đây phương pháp dạy học môn Toán đã có một số cải tiến mới nhằm phát huy tính tích cực của học sinh bằng cách tăng cường hệ thống câu hỏi và bài tập có yêu cầu phát triển tư duy trong quá trình giảng dạy bài mới. Vì vậy hệ thống bài tập thể hiện dạng toán “chia hết” cũng có một vai trò quan trọng trong giải toán. Nó giúp học sinh phát triển khả năng tư duy, khả năng vận dụng các kiến thức đã học một cách linh hoạt vào giải toán, trình bày lời giải chính xác và lôgic II./GIẢ THUYẾT Để giúp học sinh học tốt, làm tốt được dạng toán “chia hết” này tôi đã trang bị cho học sinh nội dung kiến thức sau, đó là nền tảng, là cơ sở để áp dụng giải các bài tập dạng này 1.Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu, một tích -Nếu a  m và b  m thì a+b  m , a -b  m, a.b m -Nếu a  m thì an m (n là số tự nhiên) 2.Dấu hiệu chia hết cho2;4;5;6;3;8;9;11 Chia hết cho Dấu hiệu 2 Số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn 3 số có tổng các chữ số chia hết cho 3 4 Số chia hết cho 4 khi hai chữ số tận cùng lập thành một số chia hết cho 4 5 Số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 6 Là số đồng thời chia hết cho 2 và 3 8 Số chia hết cho 8 khi ba chữ số tận cùng lập thành một số chia hết cho 8 9 Số có tổng các chữ số chia hết cho 9 10 Số có chữ số tận cùng là 0 11 Số chia hết cho 11 khi hiệu giữa tổng các chữ số của nó đứng ở vị trí lẻ và tổng các chữ số đứng ở vị trí chẵn(kể từ trái sang phải) chia hết cho 11 3.Đồng dư + Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho c (c khác 0) có cùng số dư ta nói a đồng dư với b theo modun c ký hiệu a  b(mod c) + Một số tính chất: Với mọi a, b, c thuộc Z+ a  a(mod m) a  b(mod m) b  a(mod m) a  b(mod m);b  c(mod m) a  c(mod m) a  b(mod m);c  d(mod m) a c  b d(mod m) Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 2
3. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” a  b(mod m);c  d(mod m) ac  bd(mod m) a  b(mod m) an  bn (mod m) 4.Nguyên tắc Đirichlê Nội dung quy tắc này được phát biểu dưới dạng một bài toán sau: Nếu nhốt n thỏ vào m lồng(n>m) thì ít nhất có một lồng nhốt không ít hơn hai con thỏ. 5.Phương pháp chứng minh quy nạp Muốn chứng minh một khẳng định A n đúng với mọi n=1,2,3 ta chứng minh như sau: -Khẳng định A1 đúng -Giả sử Ak đúng với mọi k ≥ 1, ta cũng suy ra khẳng định Ak+1 đúng Kết luận: Khẳng định An đúng với mọi n=1,2,3 6.Chứng minh bằng phương pháp phản chứng Muốn chứng minh khẳng định P đúng ta làm như sau: -Giả sử P sai -Từ giả sử sai ta suy ra điều vô lý -Điều vô lý đó chứng tỏ rằng P không sai, tức là khẳng định P đúng *CÁC DẠNG TOÁN Trong phần này tôi chia theo từng dạng để dễ dàng cho người dạy và người học tham khảo, lựa chọn một số bài cho HS làm từ dễ đến khó. Một bài có thể vận dụng theo nhiều cách khác nhau, phát triển cho HS tính linh hoạt trong quá trình giải toán 1.Dạng 1: Tìm các chữ số chưa biết của một số Bài toán 1:Tìm các chữ số a và b sao cho 19ab chia hết cho 5 và 8 Để tìm được a và b ta phải thấy được hai dấu hiệu cơ bản đó là số đó chia hết cho 5 và 8 Vì 19ab chia hết cho 5 nên b=0 hoặc b=5 và 19ab chia hết cho 8 nên suy ra b=0 Mặt khác , 19a0 chia hết cho 8 nên 19a0 chia hết cho 4 khi a0 chia hết cho 4 suy ra a {0;2;4;6;8}. Ta có 19a0 chia hết cho 8 khi 9a0 chia hết cho 8 nên a=2 hoặc a=6. Vậy nếu a=2 thì b=0 và nếu a=6 thì b=0 ên số cầm tìm là 1920 và 1960 Bài toán 2 Chữ số a là bao nhiêu để aaaaa96 chia hết cho cả 3 và 8 vì aaaaa96 8  a96 8  100a + 96 8 suy ra 100a8 vậy a là số chẵn a 2, 4, 6, 8} (1). vì aaaaa96 3  (a + a + a + a + a + 9 + 6 ) 3  5a + 15  3 mà 153 5a 3 mà (5, 3) = 1 Suy ra a  3 vậy a 3, 6 ,9} (2). từ (1) và (2 ) suy ra a = 6 KL: Vậy dố phải tìm là 6666696. Bµi to¸n 3 : Tìm chữ số a để 1aaa1  11. Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 3
4. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” HD: tổng các chữ số hàng lẻ là 2 + a .Tổng các chữ số hàng chữ là 2a. *Nếu 2a a + 2 a 2 thì 2a – (a + 2) = a -2 9 – 2 = 7 mà (a - 2)  11 nên a - 2 = 0  a = 2 *Nếu 2a a + 2  a 2 thì (a + 2) - 2a = 2 - a là 2 hoặc là 1 không chia hết cho 11.vậy a=2 Bài tập tương tự Bài 1: Tìm x,y sao cho 1994xy72 HD: 1994xy  72 = 72. 2769 + 32 + xy  72  32 + xy  72 Vì 32 32 + xy 32 + 99 = 131 nên 32 + xy = 72  xy = 40 vậy x = 4 , y = 0. Bài 2; Tìm x để x1994 3 nhưng không chia hết cho 9 HD: Vì x1994 chia hết cho 3  (x + 1 + 9 + 9 + 4) chia hết cho 3 Hay (x + 25) chia hết cho 3 Vì 1 x 9 nên 24 23 + x 32 Trong các số tự nhiên từ 23 đến 32 có 24, 30 chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9. Bài 3 phải viết ít nhât mấy số 1994 liên tiếp để được một số chia hết cho 3 HD: ta thấy tổng các chữ số của số 1994 là 23 nên khi chia cho 3 thì dư 2 nều viết k lần số 1994 liên tiếp nhau thì tồng các chữ số của số nhận được có cùng số dư với 2k khi chia cho 3. Để nhận được sốp chia hết cho 3 thì 2k phải chia hết cho 3, nên số nhỏ nhất là 3 tức là phải viết ít nhât 3 lần số 1994 liên tiếp nhau 2.Dạng 2: Chứng minh chia hết đối với biểu thức số Bài toán 1 : Chứng minh rằng 2139+3921 chia hết cho 45 *Cách 1: Ta có 2139 + 3921 = (2139- 1 ) + (3921 + 1) Vì 2139- 1 = 20 (2138+ 2137+ + 1) chia hết cho 5 Vậy 3921 + 1 = 40 (3920 - 3919+ +1) chia hết cho 5 Suy ra: (2139- 1 ) + (3921 + 1) chia hết cho 5 Mặt khác 2139- 3921 = (2139- 339) + (3921 - 321) + (339 + 321) Mà 2139- 339= 18 (2138+ +338) chia hết cho 9 2139- 339 = 36 (3920+ +320) chia hết cho 9 Vậy 339+ 321= 321 (318 + 1) = (33)7 (318+ 1) chia hết cho 9 Mà ( 5,9) = 1 nên 2139 + 3921 45 Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 4
5. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” *Cách 2: vì 45 = 5.32 nên để chứng minh 2139 + 3921 chia hết cho 45 thì ta chứng minh 2139 + 3921 chia hết cho 5.32 Ta có: 2139 = (20 + 1)39 = 2039 + 39. 2038 + + 39.20 + 1= 10M + 1.3921 = (30 + 9)21 = 3021+ 21.3020.9 + 9 + + + 21.30.920+ 921 = 10N + 9 Như vậy: 2139 + 3921 = 10K + 1 + 9 = 10K + 10 chia hết cho 5 Mặt khác 2139 + 3921 = (7.3)39 + (13.3)21 = 739.339+ 1321+ 321 = 321. 739. 318+ 1321. 321 = 321 (739. 318+ 1321) = (33)7 (739. 318+ 1321) chia hết cho 9 *C¸ch 3 Ta có: 21  1 (mod 20) 39  -1 (mod 20) Vậy 2139 + 3921  139+ (-1)21  0 (mod 20) Như vậy 2139 + 3921 chia hết cho 20; do đó 2139 + 3921 chia hết cho 5 (*) Tương tự ta chứng minh 2139 + 3921 chia hết cho 9 KL: Vậy 2139 + 3921 chia hết cho 45 Bài toán 2: Cho A = 2 + 22 + 23+ + 260 Chứng minh rằng: A chia hết cho 3,7 và 15. Ta có: A =2 + 22 + 23+ + 260 A = 2(1+2)+ 23 (1+2)+ + 259 (1+2) = 3 (2 + 22 + 23+ + 259) A = 3 (2 + 22 + 23+ + 259) chia hết cho 3 Ta có A = 2 + 22 + 23+ + 260 A = 2 (1 + 2 + 22) + 24 (1 + 2 + 22) + + 258 (1 + 2 + 22) A = 2 . 7 + 24.7 + + 258.7 A = 7 (2 + 24 + + 258) chia hết cho 7 Ta có A = 2 (1 + 2 + 22 + 23) + 25(1 + 2 + 22 + 23) + +257(1 + 2 + 22 + 23) A = 2. 15 + 25.15 + + 257.15 A = 15( 2 + 25 + + 257) chia hết cho 15 KL: Vậy A chia hết cho 3,7 và 15. Bài toán 3:Chứng minh rằng 4343-1717 chia hết cho 5 Ta có 4343= 4340. 433= (434)10.4343 Ta có 433 có tập cùng là chữ số 1 nên 434 có tận cùng là chữ số 1 hay 4340 có tận cùng là chữ số 1 Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 5