Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện các kỹ năng giải toán cho học sinh khá giỏi thông qua một số bài toán

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện các kỹ năng giải toán cho học sinh khá giỏi thông qua một số bài toán

1. Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 – 2011 MỤC LỤC I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1. Lí do chọn đề tài 3 1.2. Mục đích nghiên cứu 4 1.3. Nhiệm vụ nghiên cứu 4 1.4. Bố cục của đề tài 4 II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.1. Các phép suy luận toán học 5 2.2. Rèn luyện các kỹ năng giải toán cho học sinh khá giỏi THPT thông qua khai thác các bài toán 6 2.2.1. Phương pháp tìm tòi lời giải bài toán 6 2.2.2. Tìm nhiều lời giải cho một bài toán 15 III. KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI 25 III. KẾT LUẬN 26 Chử Văn Thuỷ - Trường THPT Định Hoá 2
2. Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 – 2011 I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài Tại đại hội Đảng toàn quốc lần XIII và IX Đảng ta đã xác định và nhấn mạnh: “Giáo dục là quốc sách hàng đầu, là một trong những động lực quan trọng tạo sự chuyển biến toàn diện trong phát triển giáo dục và đào tạo” với mục tiêu “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Trong nhà trường THPT, môn Toán giữ một vị thế hết sức quan trọng, có khả năng to lớn trong việc phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh. Để thực hiện được nhiệm vụ này, môn Toán cần được khai thác nhằm góp phần phát triển những năng lực trí tuệ chung. Môn Toán là một môn học đòi hỏi học sinh phải thường xuyên thực hiện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, đặc biệt hoá, khái quát hoá, đó cũng là các kỹ năng quan trọng trong quá trình giải toán. Vì vậy, việc rèn luyện các kỹ năng giải toán nằm trong nhiệm vụ phát triển năng lực trí tuệ chung cho học sinh THPT trong dạy học môn Toán. Quá trình giải bài toán thường diễn ra theo 4 bước, trong đó bước cuối cùng là kiểm tra nghiên cứu lời giải. Ở bước này, người giải toán có thể tiếp tục suy luận, sáng tạo ra những lời giải hay, những bài toán mới độc đáo. Hiện nay trong giảng dạy, giáo viên thường ít đề cập đến bước này, ngại hướng dẫn học sinh, điều này gây thiệt thòi lớn cho các em, đặc biệt là các em học sinh khá giỏi. Ngay cả đối với giáo viên, nếu không có sự sáng tạo, tìm tòi thì vốn tư liệu của mỗi người cũng sẽ nghèo nàn dần, thu nhỏ dần. Trong những năm học gần đây tôi được phân công dạy các lớp mà ở đó có nhiều em khá giỏi, từ đó tôi thấy rằng việc dạy Toán cho các em quan trọng nhất là phải cho các em thấy được vẻ đẹp của Toán học, khơi dậy được niềm đam mê học Toán, có như vậy mới phát huy được tính tích cực, chủ động, khả năng sáng tạo, trong học tập từ đó rèn luyện được các kỹ năng, các thao tác tư duy trong giải Toán. Trong quá trình giảng dạy tôi thường được nhiều học sinh yêu toán hỏi: Chử Văn Thuỷ - Trường THPT Định Hoá 3
3. Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 – 2011 + Tại sao khi giải bài toán này phải bắt đầu như thế này hoặc thế kia? + Khi đọc sách giải em không hiểu tại sao người giải lại biết phải xuất phát từ đối tượng mà tưởng chừng như không liên quan(!) đến đối tượng cần phải tìm? +Tại sao phải tìm nhiều lời giải của một bài toán ? Những câu hỏi như thế đã làm tôi suy nghĩ và trăn trở nhiều trong quá trình truyền thụ tri thức cho học sinh. Đành rằng việc giải toán là một quá trình mò mẫm tìm tòi dựa trên những hiểu biết của người học toán. Tuy nhiên có người phải mầy mò rất lâu lại có người tìm được hướng giải khá nhanh bí quyết là ở chỗ nào?! Xuất phát từ những lí do trên và với mong muốn được nghiên cứu, đóng góp những vấn đề lí luận và kinh nghiệm trong thực tiễn về lĩnh vực này tôi đã chọn và tiến hành đề tài: “Rèn luyện các kỹ năng giải toán cho học sinh khá giỏi thông qua một số bài toán ”. Mặc dù việc hướng dẫn học sinh giải toán đã có nhiều thầy, cô giáo đề cập khá nhiều, xong tôi cũng mạnh dạn trình bày lại một chút ít kinh nghiệm nhỏ nhoi của bản thân xin viết ra đây để chúng ta cùng nhau bổ sung và hoàn thiện giúp cho học sinh chúng ta có thêm phương pháp học tốt hơn . 2. Mục đích nghiên cứu Trên cơ sở nghiên cứu lí luận và thực tiễn về các thao tác tư duy. Từ đó vận dụng xây dựng bài tập nhằm rèn luyện các các thao tác tư duy cho học sinh. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu phương pháp giải toán, các hướng phân tích. - Các bài toán xuất phát. - Xây dựng phương pháp rèn luyện kỹ năng giải toán . 4. Bố cục của đề tài Đề tài gồm có ba phần: 1. Đặt vấn đề 2. Giải quyết vấn đề 3. Kết luận Chử Văn Thuỷ - Trường THPT Định Hoá 4
4. Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 – 2011 II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. Các phép suy luận toán Tư duy là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng mà trước đó chưa biết. Tư duy sáng tạo là một trong những phẩm chất trí tuệ quan trọng cần rèn luyện cho học sinh. Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng sáng tạo ra cái mới như: Phát hiện ra vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Cái mới thường nảy sinh, bắt nguồn từ những cái cũ, nhưng vấn đề là ở chỗ cách nhìn cái cũ như thế nào. Để giải quyết vấn đề này, trước hết cần phải thành thạo các thao tác tư duy quan trọng sau: Phân tích là tách (trong tư tưởng) một hệ thống thành những vật, tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ. Tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng) những bộ phận thành một vật, liên kết nhiều vật thành một hệ thống. Phân tích và tổng hợp là hai thao tác tư duy trái ngược nhau nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất. Chúng là hai thao tác cơ bản của quá trình tư duy. Những thao tác tư duy khác có thể coi là những dạng xuất hiện của phân tích và tổng hợp. Trừu tượng hoá là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất. Đương nhiên sự phân biệt bản chất với không bản chất ở đây mang ý nghĩa tương đối, nó phụ thuộc mục đích hành động. Tính trừu tượng không phải chỉ có trong toán học mà là đặc điểm của mọi khoa học nhưng trong Toán học, cái trừu tượng tách khỏi mọi chất liệu của đối tượng, “chỉ giữ lại những mối quan hệ số lượng và hình dạng không gian, tức là những quan hệ về cấu trúc mà thôi” (Phạm Văn Hoàn). Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu nổi bật một số trong các đặc điểm chung của Chử Văn Thuỷ - Trường THPT Định Hoá 5
5. Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 – 2011 các phần tử của tập hợp xuất phát. Như vậy, trừu tượng hoá là điều kiện cần của khái quát hoá. Cùng với phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá, trong môn Toán học sinh còn thường phải thực hiện các phép tương tự hoá, so sánh, tổng quát hoá, đặc biệt hoá, do đó cần có điều kiện rèn luyện cho các em các thao tác tư duy, kỹ năng giải toán Việc thực hiện một số trong các thao tác trí tuệ trên được minh hoạ cụ thể qua việc khai thác kết quả của bài toán. Trong đó những thao tác hay được sử dụng nhất là: Phân tích, tổng hợp, tương tự hoá, tổng quát hoá, đặc biệt hoá, Một cái chung đem đặc biệt hoá sẽ được nhiều cái riêng, và ngược lại, một cái riêng có thể là trường hợp đặc biệt của nhiều cái chung. 2. Rèn luyện kỹ năng giải toán : Trước hết mỗi học sinh cần hiểu được mục đích cuối cùng của việc học toán là giải toán và ứng dụng toán học vào thực tế muốn vậy học sinh cần phải nắm được a/ Quan niệm về việc giải toán : Có thể coi một bài toán là một chuỗi hữu hạn các gút logíc được nguỵ trang khá công phu. Người làm toán cần phải tìm cách mở có hệ thống các gút logíc đó, quá trình gồm hai giai đoạn . 1- Định hướng giải . 2- Kỹ năng giải bài toán, tìm nhiều lời giải cho bài toán. Trong quá trình giải toán hai nội dung trên có khi tiến hành đồng thời nhưng cũng có khi tiến hành riêng biệt, người làm toán cần nhận thức rõ ý nghĩa và tác dụng của mỗi nội dung và sự tương hỗ của chúng. Mặc dù kỹ năng giải bài toán là quan trọng nhưng việc định hướng giải là giai đoạn có tính quyết định bởi các lí do sau: i) Kỹ thuật giải toán cao, thành thạo trong các thao tác, các phép tính nhưng chưa có phương hướng, hoặc chưa có phương hướng tốt sẽ không có lời giải hoặc chưa có lời giải tốt Chử Văn Thuỷ - Trường THPT Định Hoá 6
6. Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 – 2011 ii) Định hướng giải bài toán giúp cho học sinh khả năng làm việc độc lập, tư duy logic, sáng tạo, linh hoạt. b/Nội dung việc định hướng giải các bài toán: 1) Đối với mỗi bài toán người giải toán cần nắm rõ đề bài cho gì, tìm gì, nghĩa là nắm chắc giả thiết, các điều kiện liên quan cũng như yêu cầu mà đề bài cần xác định. Từ đó giúp ta phân loại bài toán, vạch đường lối để giải và tìm phương pháp cũng như công cụ thích hợp. 2) Phân tích các giả thiết, những tiềm ẩn sau những giả thiết những điều kiện liên quan. Làm sáng tỏ nguồn gốc các giả thiết và điều kiện của bài toán, có khi còn phân tích kết quả của bài nhằm tìm mối liên hệ giữa các đối tượng cho và đối tượng phải tìm. 3) Tìm kiếm các bài toán liên quan nhằm tương tự hoá trong quá trình suy luận; đồng thời sáng tạo bài toán mới. Trong các nội dung trên, tuy mỗi nội dung có những yêu cầu khác nhau nhưng lại có quan hệ hỗ trợ cho nhau một cách đắc lực. Vì vậy khi giải một bài toán ta cần phải tiến hành toàn diện các nội dung trên. c/ Các phương pháp tìm tòi lời giải : I-Phương pháp khai thác giả thiết của bài toán: Đây là công việc đầu tiên của người làm toán, làm tốt được điều này giúp chúng ta nắm được đặc điểm về dạng của bài toán, tức là nắm được phần hình thức của bài toán. Trên cơ sở sự thống nhất giữa nội dung và hình thức (quan hệ biện chứng của triết học ) giúp ta khám phá những đặc điểm trong nội dung của bài toán .(mà hình thức là muôn màu muôn vẻ) 1/Tìm hiểu những con số đặc biệt trong bài toán: Ví dụ 1: Giải phương trình 2(tgx - sinx) + 3(cotgx - cosx) + 5 = 0 . (1) *Nhận xét và hướng giải: Sự xuất hiện các con số 2 và 3 trong hai hạng tử đầu của phương trình giúp ta nghĩ đến việc phân tích số 5 = 2 + 3 . Chử Văn Thuỷ - Trường THPT Định Hoá 7
7. Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 – 2011 Khi đó (1) 2(tgx - sinx + 1) + 3(cotgx - cosx + 1) = 0 .( phương trình thuần cung nhưng đa hàm lượng giác thử làm giảm bớt hàm) sin x cos x 2( sin x 1) 3( cos x 1) 0 cos x sin x 2 3 (sin x cos x sin x.cos x)( ) 0 cos x sin x sin x cos x 0 sin x cos x sin x cos x 0 2 3 đến đây ta đã đưa về việc giải 0 cos x sin x các phương trình quen thuộc . 2 2 Ví du 2: Cho phương trình : x + x+1 - x - x+1 = m (2).Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm ? *Nhận xét và hướng giải: Đây là bài toán trong bộ đề thi tuyển sinh, cách giải trong bộ đề có phần khó hiểu. Ta hãy biến đổi các biểu thức trong các căn thức để tìm hình thức thể hiện khác của phương trình . 1 2 3 2 1 2 3 2 (2) (x ) ( ) (x ) ( ) m . Từ những con số, biểu 2 2 2 2 thức số có mặt trong phương trình giúp ta nghĩ đến công thức tính độ dài các véc tơ trong mặt phẳng Oxy, chuyển hướng giải bằng phương pháp toạ độ phẳng như sau: 1 1 3 Trong mp Oxy xét các điểm A( ,0) , B( ,0) , M (x, ) , ta có : 2 2 2  1 3  1 3 AM (x , ) => AM= x2 x 1 và BM (x , ) =>BM= x2 x 1 2 2 2 2 2 2 Do đó : x x 1 x x 1 m AM -BM = m Chử Văn Thuỷ - Trường THPT Định Hoá 8