Sáng kiến kinh nghiệm Phương trình quy về phương trình bậc hai - Mạc Tuấn Tú

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phương trình quy về phương trình bậc hai - Mạc Tuấn Tú

1. SKKN: DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Môc lôc Trang PhÇn I : phÇn më ®Çu 1 I. §Æt vÊn ®Ò 2 II.NhiÖm vô vµ ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu 4 PhÇn II: Néi dung ®Ò tµi Ch­¬ng I :Lý luËn chung 6 Ch­¬ng II: ph­¬ng tr×nh quy vÒ ph­¬ng tr×nh bËc hai I . Ph­¬ng tr×nh bËc hai cã 1 Èn sè 10 II. Ph­¬ng tr×nh quy vÒ ph­¬ng tr×nh bËc hai 1. Ph­¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu 13 2. Ph­¬ng tr×nh ®­a vÒ d¹ng tÝch 16 3. Ph­¬ng tr×nh bËc bèn 3.1 Ph­¬ng tr×nh trïng ph­¬ng 18 3.2 Ph­¬ng ph¸p ®Æt Èn phô 20 3.3 Ph­¬ng tr×nh chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi 21 3.4 Ph­¬ng tr×nh chøa Èn d­íi dÊu c¨n 22 3.5 Ph­¬ng tr×nh håi quy 22 2 3.6 Ph­¬ng tr×nh d¹ng af (x)+bf(x)+c=0 24 3.7 Ph­¬ng tr×nh d¹ng (x+a)4+(x+b)4=0 26 3.8 Ph­¬ng tr×nh d¹ng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m 29 4. Vµi ph­¬ng tr×nh bËc cao kh¸c 32 5. Mét sè bµi ®Ò nghÞ 35 PhÇn III: Thùc nghiÖm TiÕt 1 36 TiÕt 2 39 PhÇn IV : KÕt luËn 44 PhÇn V: Tµi liÖu tham kh¶o 45 Ng­êi thùc hiÖn: Mạc Tuấn Tú 1
2. SKKN: DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI - Một trong những chuyên đề kiến thức quan trọng đối với học sinh lớp 9 cần nắm vững đó là giải bài tập về “Giải phương trình” nhưng nội dung chương trình sách giáo khoa lớp 9 môn đại số mới chỉ quan tâm hướng dẫn kĩ học sinh cách giải phương trình bậc hai,những phương trình có thể quy về phương trình bậc hai để giải còn ít dạng, bài tập còn ít và dễ do các yêu cầu về nội dung chương trình khung của Bộ giáo dục đã đề ra. Chưa đáp ứng được yêu cầu học tập nâng cao tri thức kĩ năng của nhưng em học sinh có năng lực học tập khá, giỏi . Vì vậy chúng ta cần quan tâm đến việc hướng dẫn, bồi dưỡng cho học sinh lớp 9 cách giải các phương trình có thể quy về phương trình bậc hai. Những phương trình quy về phương trình bậc hai này không mới, nhưng nó có thể mới với nhiều thầy cô, nhất là đối với các em học sinh. Bởi vì những phương tr×nh quy về phương trình bậc hai là vấn đề dạy giải các bài tập có đặc thù riêng. Lí thuyết chỉ dạy về phương trình bậc hai nhưng ở đây dạy giải những phương trình ở những dạng khác có thể đưa về phương trình trung gian là những phương trình bậc hai thường gặp trong chương trình lớp 9 những bài toán hay và khó đặc biệt thường gặp trong việc thi chọn HSG, thi vào trường chuyên. - Về hệ thống bài tập phương trình quy về phương trình bậc hai trong SGK và SBT có nhiều đề cập tới song chưa nhiều, chưa đa dạng, chưa có sự hướng dẫn cụ thể nên chưa thực sự thuận lợi cho người dạy và người học tiếp thu và nghiên cứu. - Với sự xác nhận đúng đắn mục tiêu, nội dung chương trình dạy học của môn Đ¹i số 9. Kết hợp với sự tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp, kinh nghiệm của các đồng chí có trình độ chuyên môn vững vàng và nhiều năm làm công tác giảng dạy, và kết quả đánh giá, cũng như kinh nghiệm của bản thân sau một số năm tham gia giảng dạy bộ môn Toán 9 còng như ôn luyện cho học sinh khá giỏi, đã mạnh dạn đi sâu và nghiên cứu lựa chọn một số dạng bài tập về giải phương trình và cách giải các phương trình quy về phương trình bậc hai. Hệ thống bài tập này có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên giảng dạy và học sinh học để chuẩn bị cho các kì thi chọn HSG, tuyển sinh vào lớp 10, giúp người thầy đổi mới PPDH, giúp các em học sinh lớp 9 tự tin và thêm yêu môn toán và học toán ngày càng có kết quả hơn. Ng­êi thùc hiÖn: Mạc Tuấn Tú 3
3. SKKN: DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI quy về phương trình bậc hai”có hiệu quả tôi đã sử dụng các phương pháp sau: - Tham khảo thu nhập tài liệu - Thông qua các tổ chức hoạt động học tập của học sinh “Cách tốt nhất để hiểu là làm” _ (Kant). Tự lực khám phá những điều mình chưa biết làm phát huy tính tích cực chủ động của học sinh - Phân tích tổng kết kinh nghiệm - Kiểm tra kết quả: Dự giờ, kiểm tra kết quả học sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, điều tra trực tiếp thông qua các giờ học, theo dõi quá trình học tập tiếp thu kiến thức của học sinh, từ đó điều chỉnh và sử dụng linh hoạt các phương pháp dạy học. - Trưng cầu, tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp nhất là những giáo viên trực tiếp giảng dạy chương trình lớp 9 để trau dồi thêm kiến thức, phương pháp 4. PHẠM VI NGHIÊN CỨU: - Giới hạn ở vấn đề giải các phương trình cơ bản , phương trình bậc cao ( một số dạng thường gặp ở lớp 9) trong chương trình THCS Ng­êi thùc hiÖn: Mạc Tuấn Tú 5
4. SKKN: DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI - Các bài tập đưa ra cả đơn giản lẫn phức tạp. Có bài thuần tuý toán học và có cả những bài mang nội dung thực tế. 2.2 Hệ thống bài tập phải đảm bảo tính mục đích của việc dạy học. - Hệ thống bài tập chọn phải củng cố khắc sâu kiến thức cơ bản – vì kiến thức cơ bản là cơ sở để giải quyết nh÷ng vấn đề có liên quan. Có nắm vững kiến thức cơ bản mới có hướng để vận dụng vào thực tế giải bài tập. - Hệ thống bài tập phải đảm bảo trang bị kiến thức cho học sinh một cách có hệ thống, chính xác. Góp phần rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh. - Hệ thống bài tập chọn phải có tác dụng giáo dục tư tưởng cho học sinh thấy rõ vai trò của toán học với thực tiễn, làm cho học sinh yêu thích môn toán có hứng thú học tập đối với môn toán. 2.3. Hệ thống bài tập phải đảm bảo yêu cầu vừa sức, phù hợp với đối tượng học sinh. Phải làm cho học sinh thấy cần và có khả năng giải các bài tập đã ra. Nếu ra bài tập quá khó sẽ gây tâm lí lo ngại cho học sinh. Vì vậy khi bài tập thích hợp chúng ta có thể chia ra thành các loại bài tập: Loại 1: bài tập có tính chất củng cố lí thuyết. Loại bài này đòi hỏi tư duy ít phức tạp, nên ra với học sinh trung bình, yếu. Loại 2: Bài tập có sự vận dụng bước đầu các hình thức tư duy như áp dụng lí thuyết có tính chất không đơn giản. Loại này thường ra với học sinh trung bình, Khá. Loại 3: Loại bài tập có tính phức tạp hơn, đòi hỏi các thao tác tư duy khéo léo, mềm dẻo hơn, sử dụng lí thuyết phức tạp thường là kông trực diện. Loại bài này thường ra đối với đối tượng học sinh khá, giỏi, học sinh lớp chọn, lớp chuyên. 2.4 Hệ thống bài tập phải đảm bảo yêu cầu cân đối: Cân đối về thời gian với hoàn cảnh , quy định của chương trình , nhưng sao cho học sinh phải nỗ lực mới hoàn thành được. Đồng thời nên giao cho học sinh những bài tập có gắn với thực tiễn ( Ví dụ như bài toán về dân số ). Ng­êi thùc hiÖn: Mạc Tuấn Tú 7
5. SKKN: DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI - Căn cứ vào tình huống dạy học: Bài tập của mỗi tiết học phải đảm bảo phù hợp với đặc điểm của tiết học ấy. Chẳng hạn mới học xong lí thuyết ta có thể đưa ra cho học sinh những bài tập áp dụng đơn, giản trực tiếp về những phương trình có thể quy về phương trình bậc hai, phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình trùng phương, phương trình vô tỷ - Ngoài hệ thống bài tập ở nhà, bài tập ôn tập yêu cầu kiến thức phải nhiều hơn về khối lượng cũng như yêu cầu cao hơn về tư duy. B. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ KĨ NĂNG CẦN THIẾT KHI HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH. - Các quy tắc tính toán về biểu thức đại số. - Các hằng đẳng thức đáng nhớ. - Phép phân tích đa thức thành nhân tử. - Giá trị tuyệt đối của một số, một biểu thức đại số. - Điều kiện để biểu thức có nghĩa. - Phép biến đổi ( hay đặt ẩn phụ) trong phép biến đổi đại số trong giải phương trình . Ng­êi thùc hiÖn: Mạc Tuấn Tú 9
6. SKKN: DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1.3 Chú ý: a) Nếu a và c trái dấu (a.c 0 ) b) Đối với một số phương trình bậc hai đơn giản (với hệ số nguyên) trong trường hợp phương trình có nghiệm ( 0) ta có thể dùng định lí viet để tính nhẩm nghiệm của phương trình. ĐỊNH LÍ VIET: 2 Nếu phương trình ax + bx + c = 0 (với a 0) có nghiệm số x1,x2 ( 0) thì b x x 1 2 a c x x 1 2 a Trường hợp đặc biệt : c * Nếu a + b + c = 0 thì phương trình bậc hai có hai nghiệm là x1= 1, x2 = a c * Nếu a - b + c = 0 thì phương trình bậc hai có hai nghiệm là x1= -1, x2 = a Nhờ định lí viet ta có thể tìm được nghiệm của một số phương trình có dạng đặc biệt. Ngoài ra chúng ta có thể khảo sát về tính chất các nghiệm của phương trình bậc hai . Phương trình bậc hai có hai nghiệm cùng dấu khi: b2 4ac 0 0 hay c x1x2 0 0 a Phương trình bậc hai có hai nghiệm cùng dương khi: b 2 4 a c 0 0 c x 1 x 2 0 h a y 0 a x x 0 1 2 b 0 a Phương trình bậc hai có hai nghiệm cùng âm khi: b 2 4 a c 0 0 c x 1 x 2 0 h a y 0 a x x 0 1 2 b 0 a Phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu khi: Ng­êi thùc hiÖn: Mạc Tuấn Tú 11
7. SKKN: DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Ví dụ: giải các phương trình bậc hai sau: a) -2x2 +5x + 3 = 0 b) x2 - 3x + 3 = 0 c) 4x2 – 12x + 9 = 0 Giải a) -2x2 +5x + 3 = 0 2x2 - 5x - 3 = 0 Tính = 25 + 24 = 49 => = 7 5 7 5 7 1 Vậy x 4 ; x 1 2.2 2 2.2 2 b) x2 - 3x + 3 = 0 Tính = 9 -12 = - 3 phương trình vô nghiệm c) 4x2 – 12x + 9 = 0 6 3 Tính ’= 36 - 36 = 0 => phương trình có nghiệm kép x x 1 2 4 2 1.4 Kết luận a. Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (với a 0) có nghiệm khi 0 và b ngược lại, khi đó công thức nghiệm là: x 1,2 2a b. Về số nghiệm của phương trình bậc hai: - Phương trình vô nghiệm (không có nghiệm thực) khi <0 - Phương trình có nghiệm khi 0 khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt hoặc có hai nghiệm trùng nhau ( nghiệm kép), tránh nhận thức sai lầm khi = 0 phương trình bậc hai chỉ có một nghiệm. II. PHƯƠNG TRÌNH QUI VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI : Ta thường gặp một số dạng phương trình quy về phương trình bậc hai trong trường phổ thông sau đây: 1.Phương trình chứa ẩn số ở mẫu: a. Khái niệm: Phương trình chứa ẩn số ở mẫu là những phương trình có ẩn số nằm ở mẫu thức của phương trình nhờ các phép biến đổi tương đương ta đưa được phương trình về dạng trung gian: phương trình bậc hai . b. Cách giải: Thực hiện các bước giải như trong quy tắc chung giải một phương trình: chú ý biến đổi phương trình là tương đương ta làm như sau: - Tìm điều kiện xác định của phương trình chính là đặt điều kiện để phương trình có nghĩa (giá trị của mẫu thức phải khác không) - Khử mẫu (nhân cả hai vế của phương trình với mẫu thức chung của 2 vế) Ng­êi thùc hiÖn: Mạc Tuấn Tú 13
8. SKKN: DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 2x2 7x 6 (2x2 3x) (4x 6) x(2x 3) 2(2x 3) (x 2)(2x 3) 4 1 4 1 (a) (2x 3)(x 2)(x 2) (x 2)(x 2) (x 2)(2x 3) 2x 3 x 2 0  x 2 Điều kiện: x 2 0  3 x 2x 3 0 2 Mẫu thức chung: (x 2)(x 2)(2x 3) 4 (2x 3) 4(x 2) (x 2)(x 2) (a) 4 2x 3 4x 8 x2 4 Thu gọn: x2 6x 5 0 (b) Phương trình (b) có hai nghiệm: x1 1; x2 5 Nhận định kết quả x 1 =1 và x 2 =5 đều thuộc miền xác định của phương trình (a) nên nó là nghiệm của phương trình (a) Ví dụ 3. Giải phương trình (4) Giải. Điều kiện của phương trình (4) là và . Nhân hai vế của phương trình (4) với ta được phương trình hệ quả (4) . . . Phương trình cuối có hai nghiệm là và .Ta thấy không thỏa mãn điều kiện của phương trình (4), đó là nghiệm ngoại lai nên bị loại, còn thỏa mãn điều kiện và là một nghiệm của phương trình (4). Ng­êi thùc hiÖn: Mạc Tuấn Tú 15
9. SKKN: DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 2x2 +3x - 5 = 0 (1) 2 2x - x - 3 = 0 (2) giải (1)và (2) ta được x1 = 1; x2 = -2.5; x3 = -1; x4 = 1.5 Vậy S = x1 = 1; x2 = -2.5; x3 = -1; x4 = 1.5 *Ví dụ 2: Giải phương trình: 2x3 7x2 7x 2 0 (a) Chú ý hệ số ở vế trái, phân tích thành nhân tử: 2x 3 7x 2 7x 2 2x 3 2 7x 2 7x 2(x3 1) 7x(x 1) 2(x 1)(x2 x 1) 7x(x 1) x 1 2x 2 5x 2 (a) (x 1)(2x2 5x 2) 0 x 1 0 (*) 2 2x 5x 2 0 ( ) (b) (*) x 1 1 ( ) x 2; x 2 1 Vậy phương trình (a) có 3 nghiệm: x1= -1; x2= -2; x3= 2 d. Nhận xét: -Giải phương trình đưa về dạng tích chủ yếu dùng phép phân tích đa thức thành nhân tử để đưa phương trình về dạng phương trình tích ta sẽ được một phương trình mà vế trái gồm các phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai đã biết cách giải. - Chú ý tới hai tính chất của phương trình bậc 3: ax 3 + bx 2 + cx+ d= 0 Nếu a+ b+ c + d = 0 thì phương trình có một nghiệm x 1 =1 Ng­êi thùc hiÖn: Mạc Tuấn Tú 17
10. SKKN: DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1 2 1 1 Với t2 = => x = => x= 3 3 3 1 1 Vậy phương trình có 4 nghiệm x 1; x 1; x ; x 1 2 3 3 4 3 *Ví dụ 2: Giải phương trình: 2x4 3x2 2 0 đặt x2 t (t 0) ta có phương trình 2t 2 3t 2 0 t1 2 1 t 2 2 1 t (lo¹i) 2 2 2 Với t1 = 2 x = 2 x = 2 Vậy S = 2; 2 *Ví dụ 3: Giải phương trình: 3x4 10x2 3 0 x2 t (t 0) 3t 2 10t 3 0 1 đặt ta có phương trình t ( loại) 3 Vậy phương trình vô nghiệm t 3 ( loại) * VÝ dô 4 : Gi¶i ph­¬ng tr×nh 7 2x 2 1 4 x 2 2x 4 x 2 7 4x 2 2x4 + 5x2 -7=0 ®Æt x2=t víi t > 0 ta ®­îc 2t2 +5t -7 =0 Cã :2+5-7=0 nªn 7 t1=1(tho¶ m·n) ; t2= (lo¹i) 2 2 víi t1=1 suy ra x =1 suy ra x1=1 ; x2=-1. VËy ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1=1 ; x2=- 1 d) Nhận xét : Khi nghiên cứu số nghiệm của phương trình trùng phương ta thấy Ng­êi thùc hiÖn: Mạc Tuấn Tú 19
11. SKKN: DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm b. (x2 - 4x + 2)2 + x2 - 4x- 4 = 0 2 2 Đặt x - 4x + 2 = t ta có phương trình t + t - 6 = 0 giải ra ta được t1 = 2; t2 = -3. 2 2 x 0 Với t1 = 2 ta có x - 4x + 2 = 2 x - 4x = 0 x 4 2 2 Với t2= -3 ta có x - 4x + 2 = - 3 hay x - 4x + 5 = 0 phương trình này vô nghiệm Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 = 0; x2 =4 3.3.Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: Để giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng định nghĩa giá trị tuyệt đối hoặc bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ . Giải phương trình (3) Giải Cách 1 a) Nếu thì phương trình (3) trở thành . Từ đó . Giá trị không thỏa mãn điều kiện nên bị loại . b) Nếu thì phương trình (3) trở thành . Từ đó . Giá trị này thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm. 2 Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình là x 3 . Cách 2. Bình phương hai vế của phương trình (3) ta đưa tới phương trình hệ quả: (3) Ng­êi thùc hiÖn: Mạc Tuấn Tú 21
12. SKKN: DẠY GIẢI BÀI TẬP “PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia hai vế của phương trình k 2 k cho x2 ta được : a(x2 + ) + b(x ± ) + c = 0 x2 x k k 2 k 2 đặt t x t 2 x 2 2k x 2 t 2  2k x x 2 x 2 Ta có phương trình bậc hai: a(t 2 + 2k) + bt + c = 0 b) Ví dụ:1) Giải phương trình x4 + 4 = 5x( x2 -2) (1) Giải Ta có (1) x4 – 5x3 +10x +4 = 0 . x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia hai vế của phương trình 4 2 cho x2 ta được x2 + - 5(x- ) = 0 x2 x 2 4 4 Đặt t = x- ta có t 2 x 2 4 t 2 4 x 2 x x 2 x 2 2 t 1 Ta có phương trình t - 5t + 4 = 0 t 4 2 Với t = 4 ta có : x 4 x 2 4x 2 0 x 2 6 x 2 2 x 1 Với t = 1 ta có : x 1 x x 2 0 x x 2 Vậy S = {- 1;2;2± 6} 2)gi¶i ph­¬ng tr×nh (PT ®èi xøng) 4 3 2 x 3x 4x 3x 1 0 V× : x=0 kh«ng lµ nghiÖm nªn ta chia hai vÕ cho x2 1 1 (x 2 ) 3 x 4 0 x 2 x (a) Ng­êi thùc hiÖn: Mạc Tuấn Tú 23