Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp vẽ đường phụ giúp ích cho chứng minh hình học

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp vẽ đường phụ giúp ích cho chứng minh hình học

1. PHƯƠNG PHÁP VẼ ĐƯỜNG PHỤ GIÚP ÍCH CHO CHỨNG MINH HÌNH HỌC PHẦN I: MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài: 1.1. Cơ sở lí luận: Khi chứng minh hình học, trừ một số bài dễ, phần nhiều phải vẽ thêm đường phụ mới chứng minh được. Vì đường phụ có nhiều loại và tùy thuộc vào từng bài toán nên không có một phương pháp vẽ cố định, đó là việc khó trong lúc chứng minh. Do vậy khi gặp bài toán phải vẽ đường phụ, nhiều học sinh không biết vẽ hoặc vẽ không hợp lí dẫn đến không giải quyết được bài toán. Làm thế nào để định hướng cho học sinh cách vẽ đường phụ một cách hợp lí để giúp ích trong việc chứng minh hình học là điều hết sức quan trọng, có ý nghĩa thiết thực trong dạy và học học môn hình học nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy và tạo nguồn học sinh khá giỏi. 1.2. Cơ sở thực tiễn: Qua thực tế giảng dạy môn toán của cá nhân tôi từ năm 2001 tại trường THCS Cao Bá Quát, qua dự giờ, trao đổi, bàn bạc với đồng nghiệp tôi nhận thấy có một vấn đề nổi trội là việc tìm ra lời giải cho một bài toán hình là rất khó khăn đối với học sinh, mặc dù trong quá trình giảng dạy giáo viên đã cố gắng hướng dẫn, rèn luyện kĩ năng này cho học sinh, trong đó khó khăn nhất là những bài toán mà muốn tìm ra lời giải cần phải vẽ thêm đường phụ. Do đó một vấn đề rất cần thiết là định hướng, rèn luyện cho học sinh cách vẽ đường phụ cho từng bài toán. Sở dĩ học sinh cảm thấy khó khăn trong việc vẽ đường phụ, thứ nhất là do học sinh chưa hiểu hết mục đích, ý nghĩa của việc vẽ đường phụ nên không có định hướng đúng để vẽ đường phụ; thứ hai là học sinh chưa nắm kĩ các loại đường phụ thường vẽ dẫn đến học sinh vẽ những đường rất tùy tiện, không giúp ích cho việc chứng minh, không tuân theo những phép dựng hình cơ bản. Trang 1
2. Trên đây là những khó khăn mà giáo viên thường hay gặp trong quá trình hướng dẫn học sinh giải bài tập hình học, nhất là học sinh ở vùng nông thôn. Tuy nhiên vấn đề này có thể giải quyết được nếu trong quá trình dạy học giáo viên thường xuyên hướng dẫn, giúp đỡ, cung cấp cho học sinh mục đích, ý nghĩa của việc vẽ đường phụ và các loại đường phụ thường vẽ, khi đó kĩ năng làm toán của học sinh sẽ được nâng lên. 2. Nhiệm vụ của đề tài: Đề tài “Phương pháp vẽ đường phụ giúp ích trong chứng minh hình học” nhằm khắc phục những khó khăn nêu trên. Từ đó giáo viên có thể áp dụng vào giảng dạy nhằm nâng cao hiệu quả dạy và học môn Toán (phân môn hình học); phát hiện, bồi dưỡng học sinh khá giỏi. 3. Phương pháp tiến hành: Đề tài này được rút ra từ kinh nghiệm dạy toán của bản thân và có sự tham gia góp ý của đồng nghiệp. Các giải pháp nêu ra ở đề tài đã đựơc áp dụng thử nghiệm nhiều năm học. 4. Cơ sở và thời gian tiến hành: Một thực trạng của học sinh ở trường THCS Cao Bá Quát trước đây và hiện nay là khả năng tư duy, tìm tòi, phát hiện vấn đề trong chứng minh hình học còn kém, nhất là viêïc phải vẽ thêm đường phụ để chứng minh. Do vậy tôi mạnh dạng nêu ra đề tài này nhằm khắc phục những khó khăn nêu trên. Kinh nghiệm thể hiện trong đề tài được đúc kết qua giảng dạy môn Toán tại trường THCS Cao Bá Quát. PHẦN II: KẾT QUẢ 1. Mô tả tình trạng sự việc hiện tại: Như đã nêu ở trên, với thực trạng học sinh ở trường THCS Cao Bá Quát hiện nay, các em rất yếu ở khả năng suy luận, tìm tòi, phát hiện vấn đề, nhất là đối với phân môn hình học của bô môn Toán và đặc biệt là với những bài toán cần vẽ thêm đường phụ. Việc vẽ đường phụ như thế nào là tùy thuộc vào từng bài toán mà học sinh suy xét để tìm ra nên các em thường gặp khó khăn. Hơn nữa đây là vấn đề mà giáo viên thường ít chú ý rèn luyện cho học sinh một cách có hệ thống. Từ khi áp dụng phương Trang 2
3. pháp này vào giảng dạy, học sinh bước đầu đã biết cách suy xét vấn đề một cách có cơ sở để tìm ra hướng giải quyết bài toán, dần dần học sinh đã hình thành kĩ năng vẽ đường phụ trong giải toán hình học, nhiều học sinh trở nên thành thạo. 2. Mô tả nội dung giải pháp mới: 2.1.Mục đích của việc vẽ đường phụ: Để giúp học sinh có định hướng đúng trong tìm tòi, suy xét, trước hết giáo viên cần lưu ý học sinh việc vẽ đường phụ nhằm 6 mục đích dưới đây: 1. Đem những điều kiện đã cho của bài toán và những hình có liên quan đến việc chứng minh tập hợp vào một nơi (một hình mới), làm cho chúng có liên hệ với nhau. Ví dụ 1: Chứng minh rằng: “Hai đoạn thẳng song song và bằng nhau thì hình chiếu của chúng trên một đường thẳng thứ ba cũng bằng nhau”. B GT: AB=CD, ABCD A D C AE, BF, CG, DH đều  MN K L M N KL: EF=GH E F G H Suy xét: Sự bằng nhau của AB và CD và sự bằng nhau của EF và GH không thấy ngay được là có liên quan với nhau. Hai đoạn thẳng cần chứng minh bằng nhau là EF và GH. Từ định lí “Những đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì song song với nhau”, ta biết AE  BF  CG  DH và có thể dựng thêm EK  AB, GL  CD để tạo nên hai hình bình hành. Từ định lí “Các cạnh đối của hình bình hành bằnh nhau” ta có EK=AB, GL=CD. Như vậy tức là ta đã dời vị trí của AB và CD đến EK và GL để tạo thành hai cạnh tương ứng của hai tam giác EKF và GLH trong đó ta cần chứng minh rằng hai đoạn thẳng EF và GH bằng nhau. Muốn có EF=GH ta chỉ cần chứng minh EKF = GLH. 2. Tạo nên đoạn thẳng thứ ba hoặc góc thứ ba, làm cho hai đoạn thẳng hoặc hai góc cần chứng minh trở nên có liên hệ Trang 3
4. Ví dụ 2: A B GT: A +E+C=3600 1 F E 2 KL: AB  CD C D Suy xét: Từ E dựng EF  AB, nếu chứng minh được EF  CD thì sẽ có AB  CD. 3. Tạo nên đoạn thẳng hay góc bằng tổng, hiệu, gấp đôi hay 1 2 đoạn thẳng hay góc cho trước, để đạt được mục đích chứng minh. Ví dụ 3: (Tạo nên đoạn thẳng bằng 2 lần đoạn thẳng cho trước) Chứng minh rằng: “Khoảng cách từ trực tâm đến một đỉnh của tam giác bằng 2 lần khoảng cách từ tâm của đường tròn ngoại tiếp đến cạnh đối diện với đỉnh đó” B K F L G GT: AK, BD là đường cao của ABC H cắt nhau ở G, đường trung trực A D E C HE, HF cắt nhau ở H. KL: BG=2HE, AG=2 HF. Suy xét: Muốn chứng minh BG=2HE, ta có thể tìm cách dựng thêm một đoạn thẳng khác bằng 2HE. Nhưng nếu kéo dài HE gấp đôi để đạt mục đích trên thì đoạn thẳng đó không có liên hệ gì với BG cả, nên phải nghĩ cách khác. Từ giả thiết E là trung điểm của AC, ta thử nối CH và kéo dài đến L sao cho HL=CH. H là trung điểm của CL, HE trở thành đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh của tam giác CAL. Từ định lí “Đường trung bình của một tam giác bằng 1 cạnh thứ 2 ba” ta có LA=2HE. Xét 2 đoạn LA và BG, ta có thể chứng minh chúng là cạnh đối của một hình bình hành, nên giải được bài này. Trang 4
5. 4. Tạo nên những đại lượng mới (đoạn thẳng hoặc góc) bằng nhau; thêm vào những đại lượng bằng nhau mà bài ra đã cho để giúp cho việc chứng minh. Ví dụ 4: Chứng minh rằng: “Trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác vuông bằng một nửa cạnh huyền”. GT: Trong ABC, C=900; DA=DB. A KL: DC=DA. D 1 2 E B C Suy xét: Trong bài ra chỉ có một cặp đại lượng bằng nhau là DA=DB, như vậy không chứng minh được DC=DA. Ta lấy trung điểm của AC là E, nối DE thì có thêm một đại lượng mới bằng nhau là AE=EC. Và từ định lí “Đường trung bình của một tam giác song song với cạnh thứ ba”, “Góc đồng vị của hai đường thẳng song song hợp thành với một cát tuyến thì bằng nhau” và “Góc bù với góc vuông cũng 0 là góc vuông” ta sẽ có DE  BC; E 1=C=90 =E2, như vậy, lại được thêm một cặp đại lượng mới bằng nhau. Ta có thể chứng minh ADE = CDE để rút ra DC=DA. 5. Tạo nên một hình mới, để có thể áp dụng một định lí đặc biệt nào đó. Ví dụ 5: Từ 3 đỉnh của một tam giác hạ các đường vuông góc xuống một đường thẳng ở ngoài tam giác đó. Chứng minh rằng tổng độ dài của ba đường vuông góc đó gấp 3 lần độ dài của đoạn thẳng vuông góc hạ từ trọng tâm của tam giác xuống cùng đường thẳng đó. A F GT: Trong ABC, trung tuyến AD, BE, O E M B CF gặp nhau tại O. D C AG, BH, CK, OI đều  xy. KL: AG+BH+CK=3 IO H N I G P K Trang 5
6. Suy xét: Bài này nếu muốn áp dụng trường hợp thứ ba để tạo nên một đoạn thẳng bằng tổng 3 đoạn thẳng kia thì không sao làm được, ta phải nghĩ đến cách khác. Từ định lí “Những đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng cho trước thì song song với nhau”, ta biết 4 đường thẳng đó song song với nhau. Và từ định lí “Trọng tâm của một tam giác cách đỉnh một đoạn bằng 2 trung tuyến hạ từ đỉnh đó xuống 3 cạnh đối diện”; biết BO=2 BE, ta có thể lấy trung điểm của BO là M, dựng MN  xy, EP  xy, tạo nên hình thang MNPE, BHIO, AGKC, có OI, MN, EP song song với nhau và là đường trung bình của các hình thang trên. Ta có thể áp dụng định lí “Đường trung bình của hình thang bằng 1 tổng của hai đáy” và chứng minh được bài trên. 2 6. Biến đổi hình vẽ làm cho bài toán dễ chứng minh hơn trước. Ví dụ 6: Chứng minh rằng: “Một tam giác có hai cạnh không bằng nhau thì tổng của cạnh lớn và đường cao thuộc cạnh ấy lớn hơn tổng của cạnh bé và đường cao thuộc cạnh đó” A E G D GT: Cho ABC, AB AC; BD, CE là F H đường cao. B C KL: AB+CE AC+BD. Suy xét: Nếu tạo nên một đoạn thẳng bằng AB+CE và một đoạn thẳng khác bằng AC+BD thì không chứng minh được. Do đó ta phải biến đổi kết luận của bài ra: chuyển vế bất đẳng thức của kết luận, ta sẽ được AB-AC BD-CE. Trên cạnh lớn AB ta lấy AF=AC, thì BF=AB-AC; dựng FG  AC, FH  BD tạo nên một đoạn BH=BD-HD=BD-CE. Như vậy là ta đã đổi bài tập trên thành một bài tập khác phải chứng minh BF BH. 2.2. Các loại đường phụ thường vẽ: Giáo viên cần cung cấp cho học sinh 10 loại đường phụ thường vẽ sau đây: Trang 6
7. 1. Kéo dài một đoạn thẳng cho trước với độ dài tùy ý, hoặc bằng một độ dài cho trước, hoặc cắt một đường thẳng khác. 2. Nối hai điểm cho trước hoặc hai điểm cố định (gồm cả trung điểm của đoạn thẳng cố định), điểm nằm trên một đoạn thẳng cho trước và cách một đầu của đoạn thẳng đó một khoảng cho trước. 3. Từ một điểm cho trước dựng đường song song với một đường thẳng cho trước, hoặc dựng đường song song với một đường, mà ta cần chứng minh đường thẳng này song song một với đường thẳng nào đó. 4. Từ một điểm cho trước hạ đường vuông góc xuống một đường thẳng cho trước. 5. Dựng đường phân giác của một góc cho trước . 6. Dựng đường thẳng đi qua một điểm cho trước hợp thành với một đường thẳng khác một góc bằng góc cho trước. 7. Từ một điểm cho trước dựng tiếp tuyến với đường tròn cho trước. 8. Bài ra cho hai đường tròn giao nhau thì kẻ được dây cung chung 9. Bài ra cho hai đường tròn tiếp xúc nhau ta có thể dựng tiếp tuyến chung hoặc đường nối tâm. 10. Nếu có bốn điểm nằm trên một đường tròn thì qua bốn điểm đó có thể dựng thêm đường tròn phụ. 2.3. Các ví dụ cụ thể: 1. Kéo dài một đoạn thẳng cho trước với độ dài tùy ý, hoặc bằng một độ dài cho trước, hoặc cắt một đường thẳng khác. Ví dụ 7: Chứng minh rằng: “Khoảng cách từ trực tâm đến một đỉnh của tam giác bằng 2 lần khoảng cách từ tâm của đường tròn ngoại tiếp đến cạnh đối diện với hìnhB đó” K GT: AK, BD là đường cao của ABC G F L cắt nhau ở G, đường trung trực H HE, HF cắt nhau ở H. A D E C KL: BG=2HE, AG=2 HF. Trang 7