Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp tứ giác nội tiếp

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp tứ giác nội tiếp

1. Mục lục Nội dung Trang A. Đặt vấn đề 2 I. Lý do chọn đề tài 2 1. Cơ sở lý luận 2 2. Cơ sở thực tiễn 2 II. Mục đích nghiên cứu 3 III. Nhiệm vụ đề tài 3 IV. Giới hạn đề tài 3 B. Giải quyết vấn đề 4 I. Phương pháp nghiên cứu 4 II. Nội dung cụ thể 5 1. Kiến thức cơ bản 5 2. Bài tập minh hoạ 6 2.1 Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn 6 Phương pháp 1 6 Phương pháp 2 7 Phương pháp 3 7 Phương pháp 4 8 2.2 Bài toán hay và khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp 10 Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn. 10 Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định. 11 Chứng minh quan hệ giữa các đại lượng. 13 Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm. 15 Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình. 16 III. Kết quả thu được 18 IV. Bài học kinh nghiệm 18 C. Kết luận 20 - 1 -
2. A - Đặt vấn đề I. Lý do chọn đề tài 1. Cơ sở lý luận Trong hoạt động giáo dục hiện nay, đòi hỏi học sinh cần phải tự học tự nghiê n cứu rất cao. Tức là cái đích cần phải biến quá trình giáo dục thành quá trình tự giáo dục. Như vậy, học sinh có thể phát huy được năng lực sáng tạo, tư duy khoa học, từ đó xử lý linh hoạt được các vấn đề của đời sống xã hội. Một trong những phương pháp để giúp học sinh đạt được điều đó đối với mô n Toán (cụ thể môn Hình Học 9) đó là khích lệ các em sau mỗi đơn vị kiến thức cần k hắc sâu, tìm tòi những bài toán liên quan. Làm được như vậy có nghĩa là các em rất c ần sự say mê học tập, tự nghiên cứu đào sâu kiến thức. 2. Cơ sở thực tiễn Đối với học sinh lớp 9 khi học các bài toán về đường tròn thì chuyên đề tứ gi ác nội tiếp và những bài toán liên quan là rất quan trọng. Đóng vai trò là đơn vị kiến t hức trọng tâm của nội dung Hình Học lớp 9. Mà đa số các em mới chỉ biết đến chứng minh một tứ giác nội tiếp đường tròn là như thế nào, còn ít biết vận dụng phương ph áp tứ giác nội tiếp để làm gì ? Ta biết rằng có nhiều phương pháp để chứng minh một tứ giác là nội tiếp đư ờng tròn. Khi biết một tứ giác nội tiếp đường tròn thì suy ra được góc trong ở một đỉnh bằng góc ngoài ở đỉnh đối diện với nó hay vận dụng các Định lý về mối liên hệ giữ c ác loại góc của đường tròn để tìm ra những cặp góc bằng nhau. Với phương pháp tứ giác nội tiếp ta có thể vận dụng để giải một số bài toán hay và khó . Với lý do đó, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu cho mình là: “Phương pháp tứ giác nội tiếp” II.Mục đích nghiên cứu - 2 -
3. Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ các phương ph áp chứng minh tứ giác nội tiếp đồng thời vận dụng phương pháp tứ giác nội tiế p để giải một số bài toán hay và khó như sau: Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn. Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định. Chứng minh quan hệ giữa các đại lượng. Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm. Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình. Như vậy, giáo viên có thể giúp học sinh nắm vững, khai thác sâu, đầ y đủ một cách có hệ thống đơn vị kiến thức “Tứ giác nội tiếp trong một đườn g tròn”. III. Nhiệm vụ của đề tài + Đưa ra các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp có minh họa. + Đưa ra các loại bài tập vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp hay và khó có bài tập minh họa. IV. Giới hạn đề tài Đề tài này được gói gọn với một đơn vị kiến thức trọng tâm ở bộ môn Hì nh Học lớp 9. - 3 -
4. B – Giải quyết vấn đề I – Phương pháp nghiên cứu Để nghiên cứu đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp cơ bản sau: 1. Phương pháp nghiên cứu lý thuyết Kết hợp kinh nghiệm giảng dạy có được với sự nghiên cứu tài liệu, tôi đã sử dụng các tài liệu như: - Sách giáo khoa Tóan 9 (tập II) - Sách bài tập Toán 9 (tập II) - Tóan nâng cao Hình học 9 – NXB Thành phố Hồ Chí Minh - Tóan nâng cao và các chuyên đề 9 – NXB Giáo dục. - Các bài tóan hay và khó về đường tròn – NXB Đà Nẵng. 2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn. Tôi tiến hành dạy thử nghiệm đối với học sinh lớp 9A – Trường THCS Đại Đồng và bồi dưỡng đội tuyển học sinh Giỏi của trường. 3. Phương pháp đánh giá. Kết thúc chuyên đề đối với học sinh lớp 9A, tôi có tiến hành kiểm tra đánh giá mức độ nhận thức và suy luận của các em. - 4 -
5. II – Nội dung cụ thể 1 – Kiến thức cơ bản 1.1 Khái niệm tứ giác nội tiếp B * Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó. A O * Trong hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) và C (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD. D Hình 1 1.2.Định lý. * Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng180o. * Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng180o thì tứ giác đó nội tiếp được một đường tròn. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn A + C = 1800 hoặc B + D = 1800 1.3. Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp - Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800. - Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. - Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác. - Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc . 1.4. Một số bài toán hay và khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp. Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn. Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định. Chứng minh quan hệ giữa các đại lượng. Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm. Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình. - 5 -
6. 2 - Bài tập minh hoạ 2.1. Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn. Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa. Bài toán 1: Cho tam giác ABC, 2 đường cao BB’, A CC’. Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội B' tiếp. C' O B C Chứng minh: Cách 1: Lấy O là trung điểm của cạnh BC. Xét BB’C có :  BB’C = 900 (GT) OB’ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền OB’ = OB = OC = r (1) Xét BC’C có :  BC’C = 900 (GT) Tương tự trên OC’ = OB = OC = r (2) Từ (1) và (2) B, C’, B’, C (O; r) BC’B’C nội tiếp đường tròn. Cách 2: Ta có: BB’  AC (GT)  BB’C = 900. CC’  AB (GT)  BC’C = 900. B’, C’ cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông B’, C’ nằm trên đường tròn đường kính BC Hay BC’B’C nội tiếp đường tròn đường kính BC. - 6 -
7. Phương pháp 2: Dựa vào định lý Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn A + C = 1800 hoặc B + D = 1800 Bài toán 2: Cho tam giác ABC nhọn và nội A tiếp (O), 2 đường cao BB’, CC’. I B' a/ Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội C' tiếp. b/ Tia AO cắt (O) ở D và cắt B’C’ ở I. O Chứng minh tứ giác BDIC’ nội tiếp. B C D Chứng minh: a/ (Bài toán 1) b/ Từ câu a  C +  BC’B’ = 180 0 (Tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp) Mà :  C =  D (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)  D +  BC’I = 1800 BDIC’ nội tiếp đường tròn. Phương pháp 3: Dựa vào quỹ tích cung chứa góc Bài toán 3: M Cho ABC cân ở A nội tiếp (O). Trên A tia đối của tia AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho 1 2 AM=CN. Chứng minh AMNO nội tiếp. O 1 C B N - 7 -
8. Chứng minh: Ta có: ABC cân ở A và O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC  A1 =  A2 AOC cân tại O (vì OA = OC) A2 = C1 nên A1 = A2 = C1 0 0 Mà A1 + OAM = 180 và C1+ OCN= 180 . AOM = OCN Xét OAM và OCN có : OA = OC; AOM = OCN; AM = CN OAM = OCN (c.g.c) AMO = CNO hay AMO = ANO AMNO nội tiếp đường tròn (hai đỉnh kề nhau M và N cùng nhìn cạnh OA dưới cùng một góc). Phương pháp 4: Dựa vào: tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. Bài toán 4: M Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), A E P B M là điểm chính giữa của cung AB. Nối M với D, M với C cắt AB lần lượt O ở E và P. D Chứng minh tứ giác PEDC nội tiếp được đường tròn. C Chứng minh: Ta có :  MEP là góc có đỉnh nằm bên trong (O) sđ(AằD Mẳ B) Mã EP 2 sđDẳM Mà Dã CP (góc nội tiếp) 2 sđ(AằD Mẳ A) Hay Dã CP 2 Lại có : AẳM Mẳ B Nên : Mã EP = Dã CP - 8 -
9. Nghĩa là: PEDC có góc ngoài tại đỉnh E bằng góc trong tại đỉnh C Vậy PEDC nội tiếp được đường tròn. Bài toán 5: (Bài tập tổng hợp các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp) Cho hình vẽ: B F Biết AC  BD tại O, OE AB E tại E; OF  BC tại F; OG  DC tại G; OH AD tại H. A C O Hãy tìm các tứ giác nội tiếp trong hình vẽ bên. H G D Chứng minh: * Các tứ giác nội tiếp vì có hai góc đối là góc vuông là: AEOH; BFOE; CGOF; DHOG * Các tứ giác nội tiếp vì có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện AEFC; AHGC; BEHD; BFGD Thật vậy: Xét tứ giác AEFC Ta có: EAC =  EOB (cùng phụ với  ABO)  BFE = EOB (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung EB) EAC =  BFE. Các tứ giác AHGC; BEHD; BFGD chứng minh tương tự. * Tứ giác EFGH nội tiếp vì có tổng hai góc đối bằng 1800 Thật vậy: Ta có :  OEH = OAH ( vì cùng chắn cung OH) OAH = HOD (vì cùng phụ với AOH) HOD = HGD ( vì cùng chắn cung HD)  OEH =HGD Chứng minh tương tự ta được : OEF = FGC Từ đó :  OEH + OEF =HGD + FGC  FEH =HGD + FGC Mặt khác: HGD + FGC+ HGF = 1800  FEH + HGF = 1800 ( điều phải chứng minh) - 9 -
10. 2.2. Bài toán hay và khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp. Bài tóan 1. Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn. a. Phương pháp: Nếu ta phải chứng minh 5 điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn, ta có thể chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp và tứ giác ABCE nội tiếp. Suy ra 4 điểm A, B, C, D và 4 điểm A, B, C, E cùng nằm trên một đường tròn. Hai đường tròn này có ba điểm chung là A, B, C thế nên theo định lý về sự xác định đường tròn thì chúng phải trùng nhau. Từ đó suy ra 5 điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn. b. Ví dụ 1: (Bài toán về đường tròn Euler) A Chứng minh rằng, trong một tam giác bất kì, ba trung điểm của K các cạnh, ba chân của các đường M cao, ba trung điểm của các đoạn L l E thẳng nối trực tâm với đỉnh đều ở F trên một đường tròn. H O N P C B I D Chứng minh: Ta có: ME là đường trung bình của AHC ND là đường trung bình của BHC ME = ND = HC/2 tứ giác MNDE là hình bình hành (1) Lại có : ME // CH; MN // AB (vì MN là đường trung bình của HAB) Mà CH  AB (GT) ME  MN (2) Từ (1) và (2) Tứ giác MNDE là hình chữ nhật - 10 -