Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp tọa độ hóa

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp tọa độ hóa

1. Hội những người ôn thi Đại Học Kinh Ngiệm Nhỏ_Kiến Thức Lớn Dƣới đây là nhƣng kinh nghiệm nhỏ đƣợc các bạn đang học đại học đóng góp về cho page những kinh nghiệm nhỏ mà các bạn đƣợc học hay sáng tạo ra trong quá trình ôn thi Đai Học đƣợc tổng hợp vào tài liệu nhỏ nó cũng không quá mới với nhiều bạn. Tài liệu này bao gồm: 1. Giải hình không gian bằng hình học giải tích. 2. Giải phƣơng trình bậc cao bằng máy tính. 3. Giải hệ phƣơng trình. 1. GIẢI HÌNH KHÔNG GIAN BẰNG PP TỌA ĐỘ HÓA Như chúng ta đã biết không có dạng toán nào mà chỉ có một cách giải hay một hướng giải, hình không gian cũng không ngoại lệ. Có thể bạn rất đau đầu với hình không gian vì hỏng kiến thức lớp 11, tư duy không tốt không thể nhìn ra hình, cách trình bày khó hiểu và dẫn đến bạn đang có ý định bỏ 1đ câu hình không gian. Nếu thật sự bạn muốn bỏ 1đ hình không gian thì phương pháp nhỏ này có lẽ sẽ khiến bạn sẽ nghĩ lại. Phương pháp mà chuẩn bị đề cập đến là phƣơng pháp tọa độ hóa chắc hẳn bạn đã được nghe giáo viên nói sơ qua phương pháp này. Hôm nay mình xin đề cập kĩ nhưng lại đơn giản về phương pháp này. Các bƣớc khi giải:  Đối với hình chóp: 1. Xác định đáy: Nếu đáy không biết hoàn toàn thì ta có thể đưa hệ trục tọa độ xét mặt phẳng xOy là mặt phẳng đáy rồi xác định các yếu tố của đáy còn lại. Hoặc ta gọi điểm cần tìm có chứa biến như A(a;x;0) hoặc (x;y;0) rồi chúng ta thiết lập các điều kiên giải ra x,y Lưu ý: Ta có thể gắn trục tọa độ với các hình có đáy đặc biệt ( tam giác vuông, cân, đều, tứ giác có góc 2 góc vuông, tứ giác có 2 đường chéo vuông góc) hoặc đáy đã biết tất cả các yếu tố( cạnh_góc). Còn lại nếu mơ hồ thì rất khó khăn cho ta. 2. Xác định chiều cao_đỉnh: Nếu đề bài không cho chiều cao mà các yếu tố khác như góc, khoản cách và hình chiếu của đáy thì ta có thể gọi tọa độ đỉnh S(a;b;x) với hình chiếu của đỉnh lên mặt phẳng đáy là K(a;b;c). Hoặc thiết lập điều kiện tương tự. 3. Cách chọn hệ trục: Thường có 2 cách chọn là chân đường cao là gốc tọa độ ưu điểm là đỉnh S(0;0;x) dễ dàng để giải tìm x, và chọn gốc vuông dưới đáy là gốc tọa độ ưu điểm là Ox, Oy là chứa 2 cạnh của đáy ( 2 đường chéo). Đối với tam giác đều (ABC) thì ta có thể chọn A trùng với O và AB thuộc tia Ox, hoặc có thể chọn trung điểm một cạnh làm gốc tọa độ. Sau đây mình xin được giải 3 bài hình không gian khối A các năm 09-10-11 Lưu ý: Bài viết dưới có sử dụng “ .”tức các bạn tự giải mấy bước này đây là bước cơ bản vì tránh do mình không có nhiều thời gian.
2. Hội những người ôn thi Đại Học 1. (A_09) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tai A và D; AB=AD=2a, CD=a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60°. Gọi I là trung điểm cạnh AD. Biết (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. HD: Ta có: (SBI) và (SCI) vuông góc với (ABCD)  SI vuông góc với (ABCD) Chọn trục tọa độ (Oxyz) với gốc tọa độ O trùng với I Tia Oy,Oz lần lượt chứa ID,IS, tia Ox song song và cùng phía với AB như hình vẽ: Ta có: A(0;-a;0) S(0;0;x)  ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗  [ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ (2ax;ax;3aa)  Vtpt(SBC)= (2ax;ax;3aa)  Chọn lại vtpt(SBC)= (2x;x;3a) Ta có vtpt(ABCD)=(0;0;1)  => x= √ a √  Vsabcd= √ 2. (A_10) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc vơi mặt phẳng (ABCD) và SH=√ .Tính thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường DM và SC theo a HD: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với góc tọa độ O trùng với A, tia Ox,Oy lần lượt chứa các cạnh AB,AD , tia Oz song song và cùng chiều với IS. Ta có A(0;0;0), B(a;0;0) Trên mặt phẳng Oxy :  Phương trình đường thẳng chứa DM : 2x+y-a=0 ( 1)
3. Hội những người ôn thi Đại Học  Phương trình đường thẳng chứa CN : x-2y+a=0 (2) H là giao DM và CN => H là nghiệm của hệ (1) và (2)  H(a/5 ;3a/5 ;0)  S(a/5 ;3a/5 ;a√ ) Tới đây bài toán trở về dạng cơ bản bên giải tích không gian. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua D nhận vecto SC và vecto DM là vtcp . √ √  (P) √ Khoảng cách SC và DM chình là khoảng cách từ C đến (P) √ Khoảng cách SC và DM bằng √ ___ 3. (A_11) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,AB=BC=2a ; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60°. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. HD : + Tính thể tích khối chóp S.BCNM (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC)  SA vuông góc với (ABC) Chọn trục tọa độ ta xác định được tọa độ các điểm A,B,C. M là trung điểm AB=> tọa độ M. MN là đường trung bình tam giác => N là trung điểm AC => tọa độ điểm N. Nếu không thể xác định góc giữa (SBC) và (ABC) thì ta có thể đặt S(0 ;2a ;x) rồi thiết lập điều kiện giống bài 1 rồi sẽ ra x=2a√ Còn tính tay thì bước này không quá khó và dài. +Khoảng cách giữa AB và SN : Khi xác định được tọa độ tất cả các điểm thì tới đây bài toàn khoảng cách giữa AB và SN không phải là vấn đề nữa. Tương tự bài 2, ta viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa AB và song với SN và tính khoản cách từ S hay N tới (Q) nữa là xong.
4. Hội những người ôn thi Đại Học √  Đáp số sẽ là 4. (A_ 12). Cho Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của H lên mp (ABC) là điểm H sao cho AH=2BH. Góc giữa SC và mp (ABC) bằng 60. Tính thể tích S.ABC và khoảng cách giữa 2 đường SA và BC theo a. Nếu áp dụng cách này bài này thật sự rất đơn giãn chỉ còn chờ cách tính chuẩn xác của bạn nữa là xong. √ Tính góc giữa SC và (ABC) =>x= √  Tính khoảng cách ra sẽ là
5. Hội những người ôn thi Đại Học 2. SỬ DỤNG MÁY TÌNH ĐỂ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH HỆ PHƢƠNG TRÌNH GIẢI PHƢƠNG TRÌNH BẬC 4 Phương trình bậc 4 mà trong các đề thi thử và thi chính thức thì chỉ có 2 loại: + Một là Có 2 hay 4 nghiệm đẹp, cái này thì chắc ai cũng biết. Nếu 2 nghiệm đẹp thì ta chia hoocne. Hoặc nếu làm biến chia hoocne thì có thể làm cách dưới đây, vừa nhanh và chính xác. + Hai là đưa về được tích 2 pt bậc 2 không có nghiệm nguyên hay phân số. Bài viết này chủ yếu đề cập đến dạng này. ___ +Bước 1: Ta dùng máy tính casio nhập pt 4 vô rồi dùng tính năng tìm nghiệm của máy tính tìm hết 4 nghiệm hoặc 2 nghiệm của pt bậc 4 và ghi ra giấy lấy (lưu ý nghiệm ở dạng số thập phân nên ta lấy 3-4 chử số thập phân). +Bước 2: Sau đó ta lấy các nghiệm nhân và cộng lại với nhau từng đôi một xem thử những nghiệm nào có ra số nguyên hoặc phân số và sau đó ta dùng vi-et tìm ra được pt bậc 2 ( tổng,tích). *Lưu ý đối với pt bậc 4 có hệ số x4 khác 1 thì khi ta nhân hay cộng 2 nghiệm thì nhân thêm hệ số x^4 hay nữa hệ số x^4 vì thường thì hệ số sẽ liên quan tới tổng và tích của 2 nghiệm như pt bậc 2 là (- b+_căn(delat))/2a nên nếu ta không nhân thêm hệ số thì khó thấy được đó là một phân số. Ưu điểm cách này là không cần tư duy. Có thể áp dụng cho việc giải hệ pt bằng pp thế, sau thế sẽ lên phương trình bậc cao. Ví dụ1: Giải pt: 2(x2-3x+2)=3√ Đk: x>-2 =>4(x2-3x+2)2=9(x3+8) Nhập nguyên biệu thức trên vào casio (dấu ''='' ấn ALPHA+CALC): [ ] là nút trên máy tính [Shift]->[CALC]->[2]->[0]-> [=] Màng hình sẽ hiện x=6,6055 Tiếp tục:[Shift]->[CALC]->[-]->[2]->[0]-> [=]x=-0,6055 [Shift]->[CALC]->[một vài số bất kì]-> [=] vẫn hiện x=-0,6055 như vậy khả năng pt có 2 nghiệm x=- 0,6055 lấy máy tính 6,6055x(-0,6055)=-4 và 6,6055 - 0,6055=6 2 Như vậy ta có 1 phương trình bậc 2 có x1+x2=6 và x1.x2=-4 => x -6x-4=0 sau đó lấy pt bậc 4 ban đầu chia cho pt bậc 2 ta tìm được là 1 pt bậc 2 vô nghiệm. Như vậy phương trình ban đầu sẽ là tích của 2 phương trình bậc 2. Ví dụ2: Giải pt: x2-5=√ tương tự đặt đk và bình phương dùng máy tính tìm nghiệm.X? là 20 ta thu được x1=2,7912X? là -20, x2=-2,5615X? là 1, x3=1,5612X? là -1, x4=-1,7912Nếu chọn x=0 thì máy tính se hiện continue:[=] thì ta ấn = thì sẽ thu được x=2,7912 và làm lại chọn x khác 0. Sau khi có được 4 nghiệm thì ta lấy máy tính cộng và nhân với nhau ta sẽ được: x1.x4=-5_ x1+x4=1; x2.x3=-4_x2+x3=-1Tới đây thì dùng vi-et tìm được 2 pt bậc 2. *Bài tập ứng dụng: 1. x2-2=√ 2. 3x3+2x+3=√ 3. (x+3)√ =x2+x+4 4. x2-2x=2√ 5. x2-6x+3=√ 6. 2√ =2x2-19x+23 Như vậy khi giải pt bậc cao không còn sợ bí và lúc này sẽ tự tin đưa về pt bậc cao ngay từ đầu do trong kỳ chính thức ta thường nhát đưa về pt bậc cao vì sẽ tự hỏi nếu nghiệm xấu thì tốn thời gian vô ích à?? Vd: 1. x+1+√ ≥3√ (B_12_HD: Đặt t=√ chuyển vế bình phương lên) 2. { (D_12_HD: pt1 rút y theo x xong thế vào pt2 quy đồng rút gọn được ptb5 thấy 1ng là x . Xong chia hoocne được ptb4 có 2nghiệm)
6. Hội những người ôn thi Đại Học Hệ Phƣơng Trình: Cách giải này áp dụng với những bài không chứ căn thức hoặc có căn mà chúng ta có thể bình phương khử căn với bậc không quá cao. Các bước: Bước 1: Lập quan hệ hữu tỉ Bước 2: Solve tất cả các nghiệm (tối thiểu 2 cặp nghiệm) Bước 3: Lập quan hệ tuyến tính Bước 4: Dùng phép thế ma trận và giải. Đây là phương pháp có thế áp dụng hầu hết các hệ không chứa căn thức hoặc có thể khử căn thức và bậc không quá cao tuy lần đầu thao tác sẽ khá lâu nhưng nó không cần nhiều tư duy. VD: Giải hpt{ =>[x3+8-7(x+y)]+(x-2)[6y2+2(x+y)2-7]=0 (x+2y-2)(x2+4y2-2x-4x-11)=0 Vậy (x-2) ở đâu ra? Để có x-2 ta phải làm máy móc một tí như sau: Từ pt1 =>y=( thế vào phương trình 2. Ta được 1 phương trình bậc 6. (Tới đây bạn có thể dùng cách giải phương trình bậc cao để giải phương trình bậc cao nhưng sẽ có một số bài gặp rắc rối không giải được bằng cách giải bằng cách giải phương trình bậc cao được) Sau khi rút y từ pt1 thế vào phương trình 2 dùng cách giải phương trình bậc cao ấn máy tình ta được 2 nghiệm đó là: x1=1,707106 ., x2=0,29289 . => x1=1 ,x2=1 => y1=(2+ √ )/4 và y2=(2- √ )/4 √ √ Thiết lập công thức x+ay-b=0 với x y là x x y y bên trên ta có hệ phương trình: { 1 2 1 2 => a=2 b=2 => x=2-2y Như vậy: Thế vào phương trình 1 ta được: -8y3+24y2-17y+2=0 (2-x)(8y2-8y+1)=0 Thế vào phương trình 2 ta được: 8y2-8y+1=0 Ta thấy pt1 gấp 2-x lần nên ta sẽ nhân (2-x) vào phường trình 2 rồi lấy phương trình 1 trừ đi. pt1-(2-x)pt2= x3+8-7(x+y)+(x-2)(6y2+2(x+y)2-7)=(x+2y-2)(x2+4y2-2x-4x-11)=0 Đây là 3 cách giải toán xem như là dành cho những người kém tư duy nhạy bén. Còn nếu bạn là người có tư duy cao có thể xem như tham khảo qua cho biết sau này thấy ai làm như vậy cũng bớt thắt mắt. Ưu điểm 3 cách trên là đỡ tốn chất xám và nhượt điểm là không hay và có thể chậm cần tính cẩn thận vì nếu gặp sai sót khó có thể nhận ra chổ sai. Bài viết có thể còn sai sót và thiếu sót, vui lòng nhận được sự góp ý từ các bạn. Khuyến khích các bạn gửi các phương pháp giải hay và mới về cho page. Mong nhận được sự đóng góp của các bạn. Page : Email : onthidh_fb@yahoo.com.vn