Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian

1. SKKN-Phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian LỜI NÓI ĐẦU Trong chương trình Toán PTTH các bài tập hình học không gian trong sách giáo khoa cũng như trong các đề thi thường là bài toán khó đối với các em học sinh.Vấn đề đặt ra là làm thế nào cho học sinh thấy được sự cần thiết phải giải các bài toán này? Để giúp các em học sinh lớp 12 chuẩn bị thi tốt nghiệp Trung học phổ thông, thi tuyển vào các trường Đại học cao đẳng đạt kết quả tốt, giúp các giáo viên có thêm những kinh nghiệm trong việc giảng dạy môn Hình học. Qua nhiều năm giảng dạy, qua một số tài liệu tham khảo, qua thông tin từ học sinh về vấn đề học tập môn Hình học ở bậc Trung học phổ thông. Tôi trình bày một kinh nghiệm nhỏ của mình trong giảng dạy Toán, đó là: “PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN” Với phương pháp này sẽ giải được một số bài toán về hình học không gian, mong muốn tạo cho các em học sinh thấy yêu thích môn Toán hơn, nhất là môn Hình học không gian. Tác giả Giáo viên thực hiện:Lương Xuân Bá -Trường THPT Eahleo - 1 -
2. SKKN-Phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian Phần I: THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Trong quá trình ôn tập cho học sinh lớp 12 chuẩn bị thi tốt nghiệp Trung học phổ thông, thi tuyển vào các trường Đại học cao đẳng. Tôi nhận thấy hầu hết các đề thi Đại học đều có một bài toán về hình học không gian, đặc biệt năm 2009 trong đề thi Tốt nghiệp trung học phổ thông có một câu hình học không gian. Phần hình học mà học sinh được học từ kỳ II của lớp 11 và kỳ I của lớp 12, bài tập mà phần đông học sinh cảm thấy “sợ nhất” mặc dù nó rất dễ. Nhiều học sinh lúng túng không tìm ra cách xử lí bằng phương pháp nào, ngay cả những vấn đề tưởng chừng hết sức cơ bản. Vì thế, dạng bài tập này trở thành vấn đề khó vượt qua đối với học sinh. Bản thân là giáo viên đã giảng dạy nhiều năm, trong quá trình giảng dạy đã phát hiện ra những khó khăn của học sinh trong việc giải các bài toán hình học không gian là: +Khó khăn trong việc vận dụng các kiến thức cũ từ các năm học trước +Chưa vận dụng thành thạo trong việc vận dụng lí thuyết để giải bài tập +Chưa nhận thức đúng về tầm quan trọng của việc chủ động phân tích đề bài, dựng hình và định hướng phương pháp giải toán. +Khi làm bài học sinh chỉ làm một cách máy móc, lập luận thiếu căn cứ, không chính xác, đôi khi không phân biệt đâu là giả thiết đâu là phần cần chứng minh +Do chưa tìm ra được phương pháp thích hợp để giải toán nên còn nhiều vướng mắc, dẫn đến kết quả giải toán hình không gian không được tốt. Từ đó thiếu hứng thú trong học tập. Nhằm giúp học sinh cảm thấy thoải mái hơn trong quá trình tiếp thu và chủ động giải quyết bài toán hình học không gian, giúp học sinh giải Giáo viên thực hiện:Lương Xuân Bá -Trường THPT Eahleo - 2 -
3. SKKN-Phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian được các bài tập hình học không gian phức tạp, giúp học sinh hiểu được là phải học và giải được bài toán này trong các đề thi, học sinh cảm thấy hứng thú hơn khi giải toán hình học không gian. Ví dụ : Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, B· AD = 600. Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh AA’, CC’. a) Chứng minh B’, M, D, N cùng 1 mặt phẳng . b) Tính AA’ theo a để BMDN là hình vuông. Nếu giải theo phương pháp hình học không gian ta tiến hành như sau A’ B’ D’ C’ M O N A B H D C a. Ta có A’M // CN A’M = CN => A’MCN là hình bình hành  A’C  MN tại O là trung điểm của mỗi đường là I nên B’MDN là hình bình hành. Do đó B’, M, D, N cùng 1 mặt phẳng. b)Ta có: DM2 = AD2 + AM2 (1) DN2 = CD2 + CN2 Vì : B· AD = 600 => ∆ BAD đều => AD = CD (2) Tù (1), (2) => DM2 = DN2  DM = DN  B’DMN là hình thoi. Giáo viên thực hiện:Lương Xuân Bá -Trường THPT Eahleo - 3 -
4. SKKN-Phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian Để B’DMN là hình vuông thì MN = B’D  AC2 = B’D2 (1’) Gọi H = AC  BD  H là trung điểm của AC và BD ∆ BAD đều  H là đường cao. a 3  AH = => AC = a 3 (2’) 2 Trong ∆ vuông BB’D ta có B’D2 = BB’2 + BD2(3’) Từ (1’), (2’), (3’) => 3a2 = BB’2 + BD2 => BB’2 = 3a2- a2 = 2a2  BB = a 2  AA’ = a 2 Vậy nếu AA’ = a 2 thì B’MDN là hình vuông Việc giải bài toán hình học theo cách này đối với học sinh là rất khó khăn. Để giải quyết vấn đề vướng mắc của học sinh về bài toán hình học không gian, ngoài cách giải bằng phương pháp hình học thuần tuý, ta cũng có thể: “Dùng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian”, lời giải của phương pháp này sẽ khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp, giúp học sinh dễ tiếp thu và áp dụng một cách dễ dàng, nhanh chóng trong việc làm bài tập. Đó là lý do thôi thúc tôi hoàn thành sáng kiến này. Giáo viên thực hiện:Lương Xuân Bá -Trường THPT Eahleo - 4 -
5. SKKN-Phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian Phần II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I/Các giải pháp thực hiện: Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ chúng ta cần phải thực hiện các bước sau PHƯƠNG PHÁP GIẢI : Bước 1. Thực hiện việc chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp, từ đó suy ra tọa độ của các điểm cần thiết. Chú ý đến vị trí của gốc O. Xác định tọa độ của các điểm có liên quan ta có thể dựa vào: ♦Ý nghĩa hình học của tọa độ điểm (các điểm nằm trên các trục tọa độ, các mặt phẳng tọa độ) ♦Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song, cùng phương, thẳng hàng, điểm chia đoạn thẳng để tìm tọa độ các điểm ♦Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng,mặt phẳng ♦Dựa vào các quan hệ về góc của đường thẳng và mặt phẳng Tìm độ dài cạnh của hình. Bước 2. Chuyển hẳn bài toán đã cho về bài toán hình học giải tích. Giải bài toán hình học giải tích nói trên. Bước 3. Chuyển các kết luận của bài toán hình học giải tích sang các tính chất hình học tương ứng. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP : - Độ dài đoạn thẳng - Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng - Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng - Khoảng cách giữa hai đường thẳng - Góc giữa hai đường thẳng Giáo viên thực hiện:Lương Xuân Bá -Trường THPT Eahleo - 5 -
6. SKKN-Phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian - Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng - Góc giữa hai mặt phẳng - Thể tích khối đa diện - Diện tích thiết diện - Chứng minh các quan hệ song song, vuông góc II/Các giải pháp để tổ chức thực hiện: A.Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian Vấn đề chọn hệ trục tọa độOxyz là quan trọng nhất, nó quyết định sự thành công của bài toán. Sau đây là một số phương pháp chọn hệ trục tọa độ Oxyz được áp dụng cho một số bài toán thường gặp Ta có : Ox, Oy, Oz vuông góc từng đôi một. Do đó, nếu trong mô hình chứa các cạnh vuông góc thì ta ưu tiên chọn các đường đó lần lượt thuộc các trục tọa độ. Cụ thể : Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' z Với hình lập phương . A’ D’ Chọn hệ trục tọa độ sao cho : B’ A(0;0;0) ; B(a;0;0) ; C(a;a;0) ; D(0;a;0) C’ A D y A'(0;0;a) ; B '(a;0;a) ; C '(a;a;a) ; D'(0;a;a) B x C Với hình hộp chữ nhật. Chọn hệ trục tọa độ sao cho : A(0;0;0) ; B(a;0;0) ; C(a;b;0) ; D(0;b;0) A'(0;0;c) ; B '(a;0;c) ; C '(a;b;c) ; D'(0;b;c) Giáo viên thực hiện:Lương Xuân Bá -Trường THPT Eahleo - 6 -
7. SKKN-Phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian Với hình hộp đáy là hình thoi ABCD.A'B'C'D' Chọn hệ trục tọa độ sao cho : - Gốc tọa độ trùng với giao điểm O z A’ D’ của hai đường chéo của hình thoi O’ ABCD B’ C - Trục Oz đi qua 2 tâm của 2 đáy A y D O B C x Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ z S Giả sử cạnh hình vuông bằng a và đường cao SO h D y A Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vuông a 2 a 2 O Khi đó : A ;0;0 ;C ;0;0 2 2 B C x a 2 a 2 B 0; ;0 ; D 0; ;0 ;S(0;0;h) 2 2 Với hình chóp tam giác đều S.ABC Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ z Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và S đường cao bằng h . Gọi I là trung điểm của BC Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ C y A sao cho I(0;0;0) I H a a Khi đó : A ;0;0 ; B ;0;0 B x 2 2 a 3 a 3 C 0; ;0 ; S 0; ;h 2 6 Giáo viên thực hiện:Lương Xuân Bá -Trường THPT Eahleo - 7 -
8. SKKN-Phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA  (ABCD) ABCD là hình chữ nhật z S AB a; AD b chiều cao bằng h Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao A D cho A(0;0;0) y O B Khi đó : B a;0;0 ; C a;b;0 C x D 0;b;0 ; S(0;0;h) Với hình chóp S.ABC có ABCD là hình thoi và SA  (ABCD) S z ABCD là hình thoi cạnh a chiều cao bằng h Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao A D cho O(0;0;0) y O B C x Giáo viên thực hiện:Lương Xuân Bá -Trường THPT Eahleo - 8 -
9. SKKN-Phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian Với hình chóp S.ABC có SA  (ABC) và ABC vuông tại A z S Tam giác ABC vuông tại A có AB a; AC b đường cao bằng h . y A C Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ B x sao cho A(0;0;0) Khi đó : B a;0;0 ; C 0;b;0 S 0;0;h Với hình chóp S.ABC có SA  (ABC) và ABC vuông tại B z S Tam giác ABC vuông tại B có BA a; BC b đường cao bằng h . x y A C Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ B sao cho B(0;0;0) Khi đó : A a;0;0 ; C 0;b;0 S a;0;h Giáo viên thực hiện:Lương Xuân Bá -Trường THPT Eahleo - 9 -
10. SKKN-Phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian Với hình chóp S.ABC có (SAB)  (ABC), SAB cân tại S và ABC vuông tại C S z ABC vuông tại C CA a;CB b chiều cao bằng h y x H là trung điểm của AB A H B Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao C cho C(0;0;0) Khi đó : A a;0;0 ; B 0;b;0 a b S( ; ;h) 2 2 Với hình chóp S.ABC có (SAB)  (ABC), SAB cân tại S và ABC vuông tại A ABC vuông tại A AB a; AC b z chiều cao bằng h S H là trung điểm của AB Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0) A C y Khi đó : B a;0;0 ; C 0;b;0 H a B S(0; ;h) x 2 Giáo viên thực hiện:Lương Xuân Bá -Trường THPT Eahleo - 10 -
11. SKKN-Phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian Với hình chóp S.ABC có (SAB)  (ABC), SAB cân tại S và ABC vuông cân tại C z Tam giác ABC vuông cân tại C có CA CB a đường cao bằng h . S H là trung điểm của AB y A H B C Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ x sao cho H(0;0;0) a a Khi đó : C ;0;0 ; A 0; ;0 2 2 a B 0; ;0 ; S 0;0;h 2 Giáo viên thực hiện:Lương Xuân Bá -Trường THPT Eahleo - 11 -