Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của một biểu thức

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của một biểu thức

1. A. đặt vấn đề Trong ch−ơng trình toán bậc trung học cơ sở, dạng toán “ Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của một biểu thức ” là một dạng toán th−ờng đ−ợc đ−a ra trong các đề thi học kỳ, kiểm tra cuối ch−ơng, nhằm dành cho các học sinh phấn đấu đạt điểm giỏi. Tuy nhiên, sách giáo khoa không dành tiết học nào cho riêng dạng bài này mà đ−a ra nh− những bài tập nâng cao yêu cầu học sinh tự tìm tòi giải quyết theo gợi ý của giáo viên. Chính vì vậy học sinh th−ờng gặp khó khăn khi giải các bài tập dạng này nên khả năng giải quyết và trình bày không đ−ợc tốt. Để giúp các em học sinh khá toán trong lớp có thể làm tốt dạng toán này, tôi đã dành thời gian nghiên cứu tài liệu và biên soạn hệ thống ph−ơng pháp cùng bài tập để đ−a ra đề tài “ Ph−ơng pháp tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của một biểu thức ” với mục đích giúp học sinh tiếp thu đ−ợc dễ dàng hơn một dạng toán khó, đồng thời có dịp rèn luyện t− duy và phát huy đ−ợc tính tích cực trong học tập cho học sinh. Khi học sinh có kiến thức tốt về dạng toán này, các em sẽ đ−ợc củng cố tốt hơn cả các bài toán nâng cao khác trong ch−ơng trình toán THCS nh− “ Chứng minh một biểu thức luôn nhận giá trị d−ơng hoặc âm ”, “ Chứng minh bất đẳng thức “, Vì hiểu đ−ợc vai trò quan trọng của dạng toán này và cũng thấy rõ các khó khăn của học sinh học tập cũng nh− giáo viên giảng dạy, tôi đã mạnh dạn viết tài liệu “ Ph−ơng pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức ” để tr−ớc hết phục vụ cho công tác giảng dạy của chính mình, sau đó tạo điều kiện để bản thân có dịp trao đổi chuyên môn với các đồng nghiệp, nâng cao nghiệp vụ s− phạm và năng lực nghiên cứu khoa học của cá nhân.
2. B. Nội dung đề tài I. Lý thuyết chung Xét biểu thức A(x) xác định ∀x∈(a, b). 1. Bài toán 1: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) trên (a, b), ta cần tiến hành các b−ớc: a) B−ớc 1: Chứng tỏ rằng A(x) ≥ k (k là một hằng số) ∀x∈(a, b). b) B−ớc 2: Tìm giá trị x = a để A(x) = k, tức là chỉ ra tr−ờng hợp để xảy ra dấu đẳng thức. c) Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của A(x) = k khi x = a. Ta th−ờng dùng kí hiệu: min A(x) = k ⇔ x = a. 2. Bài toán 2: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A(x) trên (a, b), ta cần tiến hành các b−ớc: a) B−ớc 1: Chứng tỏ rằng A(x) ≤ k (k là một hằng số) ∀x∈(a, b). b) B−ớc 2: Tìm giá trị x = a để A(x) = k, tức là chỉ ra tr−ờng hợp để xảy ra dấu đẳng thức. c) Kết luận: Giá trị lớn nhất của A(x) = k khi x = a. Ta th−ờng dùng kí hiệu: max A(x) = k ⇔ x = a. 3. Chú ý. a) Với biểu thức chứa nhiều biến số cũng giải t−ơng tự nh− trên. b) Học sinh hay mắc phải sai lầm khi chỉ thực hiện b−ớc 1 đã kết luận bài toán, dẫn đến kết quả sai. Vì vậy cần yêu cầu học sinh trình bày đầy đủ cả hai b−ớc hết sức cẩn thận, không đ−ợc thiếu bất cứ b−ớc nào. Ví dụ 1. Cho biểu thức: A = x2 + (x – 2)2. Một học sinh đã tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A nh− sau: “Ta có: ∀x∈R, x2 ≥ 0 và (x – 2)2 ≥ 0 nên A ≥ 0. Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 0.” Lời giải trên có đúng không ? Giải. Lời giải trên không đúng. Học sinh trên đã mắc phải sai lầm là mới chứng tỏ rằng A ≥ 0 nh−ng ch−a chỉ ra đ−ợc tr−ờng hợp xảy ra dấu đẳng thức. Dấu đẳng thức không xảy ra vì không thể có đồng thời : x2 = 0 và (x – 2)2 = 0. Lời giải đúng nh− sau: +) Ta có: A = x2 + (x – 2)2 = x2 + x2 – 4x + 4 = 2x2 – 4x + 4 = 2(x2 – 2x + 1) + 2 = 2(x – 1)2 + 2 ≥ 2 , ∀x∈R. +) Mà: A = 2 ⇔ x – 1 = 0 ⇔ x = 1. +) Vậy: min A = 2 ⇔ x = 1. c) Khi giải các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức, ta cần nhớ các hằng bất đẳng thức sau: 1) a2 ≥ 0 (Tổng quát: a2k ≥ 0 với k nguyên d−ơng). Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0. 2) -a2 ≤ 0 (Tổng quát: -a2k ≤ 0 với k nguyên d−ơng). Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0.
3. 3) a ≥ 0. Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0. 4) a ≥ a. Xảy ra dấu đẳng thức khi a ≥ 0. 5) - a ≤ a ≤ a . Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0. 6) a + b ≤ a + b . Xảy ra dấu đẳng thức khi ab ≥ 0. 7) a2 + b2 ≥2ab. Xảy ra dấu đẳng thức khi a = b. a + b 8) ≥ ab với a, b ≥ 0 (Bất đẳng thức Côsi). 2 Xảy ra dấu đẳng thức khi a = b. 1 1 9) a ≥ b, ab > 0 ⇒ ≤ . Xảy ra dấu đẳng thức khi a = b. a b a b 10) + ≥ 2 với ab > 0. Xảy ra dấu đẳng thức khi a = b. b a d) Khi tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của một biểu thức, nhiều khi ta cần phải đổi biến. e) Khi tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của một biểu thức A với A > 0, 1 trong nhiều tr−ờng hợp ta lại đi xét các biểu thức hoặc A2. A Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức là bài toán không đơn giản, vì vậy ở đây ta chỉ xét một số dạng biểu thức đặc biệt có công thức giải cơ bản, phù hợp với khả năng tiếp thu của số đông học sinh lớp 8. II. Một số dạng biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất th−ờng gặp trong ch−ơng trình toán lớp 8 Dạng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức có dạng tam thức bậc hai. Ph−ơng pháp giải: Xét tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c. * Nếu a > 0 thì P có giá trị nhỏ nhất. Ta biến đổi biểu thức P về dạng aX2 + k và có kết quả: min P = k ⇔ X = 0. * Nếu a < 0 thì P có giá trị lớn nhất. Ta cũng biến đổi biểu thức P về dạng aX2 + k và có kết quả: max P = k ⇔ X = 0. Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) A = x 2 − 4x +1; b) B = 2x 2 − 8x +1; c) C = 3x 2 − 6x +1. Giải. a) A = x 2 − 4x +1= (x2 − 4x + 4) − 3 = (x − 2)2 − 3 ≥ −3. A = -3 ⇔ x - 2 = 0 ⇔ x = 2 . Vậy: min A = -3 ⇔ x = 2. b) B = 2x 2 − 8x +1= 2(x 2 − 4x + 4) − 7 = 2(x − 2)2 − 7 ≥ −7 .
4. B = -7 ⇔ x - 2 = 0 ⇔ x = 2 . Vậy: min B = -7 ⇔ x = 2. c) C = 3x2 − 6x +1= 3(x2 − 2x +1) − 2 = 3(x −1)2 − 2 ≥ −2. C = -2 ⇔ x - 1 = 0 ⇔ x = 1 . Vậy: min C = -2 ⇔ x = 1. Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: a) A = −x 2 − 4x +1; b) B = −2x 2 + 8x −1; c) C = −3x2 − 6x + 5. Giải. a) A = −x 2 − 4x +1= −(x2 + 4x + 4) + 5 = −(x + 2)2 + 5 ≤ 5. A = 5 ⇔ x + 2 = 0 ⇔ x = -2 . Vậy: max A = 5 ⇔ x = -2. b) B = −2x 2 + 8x −1= −2(x 2 − 4x + 4) + 7 = −2(x − 2)2 + 7 ≤ 7. B = 7 ⇔ x - 2 = 0 ⇔ x = 2 . Vậy: max B = 7 ⇔ x = 2. c) C = −3x 2 − 6x + 5 = −3(x2 + 2x +1) + 8 = −3(x +1)2 + 8 ≤ 8. C = 8 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1 . Vậy: max C = 8 ⇔ x = -1. * Bài tập tự giải. Bài tập 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) A = x 2 + x +1; b) B = x 2 − x +1; c) C = 2x2 − 20x + 53; d) D = 2x 2 + 3x +1. Bài tập 2. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: a) A = −x 2 + x +1; b) B = −x 2 − x +1; c) C = −2x2 − 20x + 53; d) D = −2x 2 + 3x +1; e) B = −5x 2 − 4x +1. Dạng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức có dạng đa thức bậc cao. Ph−ơng pháp giải: Ta th−ờng tìm cách biến đổi biểu thức đã cho về dạng 1 bằng cách đặt ẩn phụ thích hợp. Ví dụ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) A = (x2 + x +1)2 ; b) B = x4 − 4x3 + 5x2 − 4x + 4;
5. c) C = (x −1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) . Giải. a) Mặc dù A ≥ 0 nh−ng giá trị nhỏ nhất của A không phải bằng 0 vì x 2 + x +1 ≠ 0,∀x ∈R . 1 3 1 3 3 Ta có: x 2 + x + 1 = (x 2 + x + ) + = (x + )2 + ≥ . 4 4 2 4 4 2 Do đó: Amin ⇔ (x + x +1)min . 3 9 1 Vậy: min A = ( )2 = ⇔ x = − . 4 16 2 b) Ta có: B = x4 − 4x3 + 5x2 − 4x + 4 = x 2 (x 2 − 4x + 4) + (x 2 − 4x + 4) = x2 (x − 2)2 + (x − 2)2 ≥ 0 . ⎧⎡x = 0 ⎪⎢ Mà: B = 0 ⇔ ⎨⎣x = 2 ⇔ x = 2. ⎪ ⎩ x = 2 Do đó: min B = 0 ⇔ x = 2. c) C = (x −1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) = [(x −1)(x + 6)].[(x + 2)(x + 3)] = (x2 + 5x − 6)(x 2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 − 36 =[x(x + 5)]2 − 36 ≥ −36 . ⎡ x = 0 C = −36 ⇔ x(x + 5) = 0 ⇔ ⎢ . ⎣x = −5 ⎡ x = 0 Vậy: min C = −36 ⇔ ⎢ . ⎣x = −5 * Bài tập tự giải – Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) M = x4 − 6x3 +10x2 − 6x + 9; b) N = x(x − 3)(x +1)(x + 4) ; c) P = x 4 − 2x3 + 3x 2 − 2x +1; d) Q = (x 2 − x)(x 2 + 3x + 2) . Dạng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức có dạng đa thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Ph−ơng pháp giải. Dùng một trong các tính chất sau: 3) a ≥ 0. Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0. 4) a ≥ a. Xảy ra dấu đẳng thức khi a ≥ 0.
6. 5) - a ≤ a ≤ a . Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0. 6) a + b ≤ a + b . Xảy ra dấu đẳng thức khi ab ≥ 0. Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) A = 2x + 2x − 5 ; b) B = x −1 + x − 3 ; c) C = x −1 + x − 2 + x − 3 . Giải. a) áp dụng tính chất 4, ta có: A = 2x + 2x − 5 = 2x + 5 − 2x ≥ 2x + 5 − 2x = 5. 5 A = 5 ⇔ 5 − 2x ≥ 0 ⇔ x ≤ . 2 5 Vậy: min A = 5 ⇔ x ≤ . 2 b) áp dụng tính chất 6, ta có: B = x −1 + x − 3 = x −1 + 3 − x ≥ x −1+ 3 − x = 2. B = 2 ⇔ (x −1)(3 − x) ≥ 0 ⇔ 1≤ x ≤ 3. Vậy: min B = 2 ⇔ 1≤ x ≤ 3. c) áp dụng tính chất 6 và tính chất 3, ta có: +) x −1 + x − 3 = x −1 + 3 − x ≥ x −1+ 3 − x = 2. Dấu bằng xảy ra khi (x −1)(3 − x) ≥ 0 ⇔ 1≤ x ≤ 3 . +) x − 2 ≥ 0 và dấu bằng xảy ra khi x – 2 = 0 ⇔ x = 2. Do đó: C = x −1 + x − 2 + x − 3 ≥ 2 + 0 = 2 . Dấu bằng xảy ra khi x = 2. Vậy: min C = 2 ⇔ x = 2. * Bài tập tự giải – Bài tập 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) A = x + x −1 ; b) B = 4x 2 + 4x − 6 2x + 1 + 6 ; c) C = x − 2 + x − 5 . Dạng4. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức dạng phân thức có tử là hằng số và mẫu là tam thức bậc hai . Ph−ơng pháp giải. Sử dụng tính chất 9: 1 1 a ≥ b, ab > 0 ⇒ ≤ . Xảy ra dấu đẳng thức khi a = b. a b 3 Ví dụ 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = . 4x 2 − 4x + 5
7. Giải. 3 3 +) Ta có: M = = . 4x 2 − 4x + 5 (2x −1)2 + 4 3 3 Mà: (2x −1)2 ≥ 0 ⇒ (2x −1)2 + 4 ≥ 4 ⇒ M = ≤ . (2x −1)2 + 4 4 3 1 +) M = ⇔ x = . 4 2 3 1 Vậy: max M = ⇔ x = . 4 2 * Chú ý. Với biểu thức dạng này, cần l−u ý học sinh tránh sai lầm sau: Lập luận rằng M có tử là hằng số nên M lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. Ta sẽ thấy rõ sai lầm đó qua bài giải sau. 1 Để tìm giá trị lớn nhất của phân thức A = , ta lập luận: x 2 − 3 1 1 +) x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 − 3 ≥ −3 ⇒ ≤ − . x 2 − 3 3 −1 +) A = ⇔ x = 0 . 3 −1 Vậy: max A = ⇔ x = 0 . 3 −1 Nh−ng ta dễ dàng nhận thấykết quả này sai, vì với x = 2 thì A = 1 > . 3 1 1 Sai lầm ở chỗ: Từ -3 , vì -3 và 1 không cùng dấu. − 3 1 1 1 Tổng quát: Từ a khi a và b là hai số cùng dấu. a b * Bài tập tự giải – Bài tập 5. Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của các biểu thức: 1 a) A = ; 9x 2 − 6x + 7 6 b) B = ; 4x − x 2 − 6 1 c) C = ; 2x − x 2 − 4 3x 2 + 6x + 10 d) D = ; x 2 + 2x + 3 x 2 −1 e) E = . x 2 + 1