Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp tiếp cận và khai thác định lý Côsin trong tam giác

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp tiếp cận và khai thác định lý Côsin trong tam giác

1. 1 “Phương pháp tiếp cận và khai thác định lý côsin trong tam giác” . A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. Lý do chọn đề tài: Với xu thế đổi mới phương pháp giáo dục hiện nay của bộ giáo dục, trong quá trình dạy học để thu được hiệu quả cao đòi hỏi người thầy phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa ra các phương pháp phù hợp với kiến thức, với các đối tượng học sinh cần truyền thụ. Như luật giáo dục có viết: ”Phương pháp GD phổ thông cần phát huy tính tích cực, tự gác , chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn ruyện kỹ năng vận dụng kiến thức, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”. Trong thời gian dạy, tôi luôn nghiên cứu tìm tòi các phương pháp mới phù hợp với từng bài dạy và các đối tượng học sinh để truyền thụ các kiến thức, đặc biệt là trong việc dạy học các định lý. Đó là tôi luôn đưa ra kiến thức một cách tự nhiên, bằng cách dẫn dắt từng bước cho học sinh tự tìm lấy; phân tích hướng dẫn các em thấy ý nghĩa , ứng dụng của định lý; sau đó đưa ra hệ thống bài tập áp dụng tương thích. Với phương pháp truyền thụ như trên tôi thấy rằng: Trước hết người dạy luôn luôn thoãi mái, nhẹ nhàng, say sưa, qua mỗi tiết dạy thấy đạt được tốt mục đích của mình; đối với học sinh tiếp thu kiến thức một cách say mê, hứng thú; các kiến thức được các em nhớ lâu và vận dụng tốt trong quá trình giải và khai thác các bài tập. Với lý do trên tôi xin trình bày một ví dụ điển hình để các đồng nghiệp tham khảo và góp ý: Tên đề tài: ”PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN VÀ KHAI THÁC ĐỊNH LÝ CÔSIN TRONG TAM GIÁC” Nội dung đề tài gồm: 1. Hướng dẫn học sinh tiếp cận định lý. 2. Phân tích ý nghĩa, tác dụng của định lý. 3. Hệ thống bài tập áp dụng . II. Đối tượng nghiên cứu Học sinh lớp 10 với trình độ không quá yếu. III. Phương pháp nghiên cứu Qua kinh nghiệm giảng dạy thực tiễn; Tìm hiểu tài liệu tham khảo, sách giáo khoa lớp 10; Tham khảo ý kiến của đồng nghiệp. IV. Thời gian nghiên cứu Thí điểm trong suốt năm học 2009- 2010. B. NỘI DUNG ĐỀ TÀI I. Hướng dẫn học sinh tiếp cận định lý côsin trong tam giác. Ta đã biết tam giác hoàn toàn xác định khi biết: 3 cạnh, hoặc hai cạnh và một góc xen giữa, hoặc biết một cạnh và hai góc kề; có nghĩa là khi biết các yếu tố góc cạnh như trên thì các góc cạnh còn lại sẽ xác định như thế nào? Rõ ràng các góc cạnh còn lại và các góc
2. 2 “Phương pháp tiếp cận và khai thác định lý côsin trong tam giác” . cạnh đã biết sẽ có một mối liên hệ! Các mối liên hệ đó người ta gọi là các hệ thức lượng giác trong tam giác. Một trong các hệ thức đó là Định lý côsin trong tam giác. Trong mặt phẳng cho tam giác ABC . Kí hiệu : AB= c, AC= b, BC= a; B· AC A; ·ABC B; ·ACB C . ( Kí hiệu dung cho cả bài viết) + Nếu tam giác ABC vuông tại A, Tìm mối liên hệ giữa các cạnh? AB2 AC2 BC2 c2 +b2 a2 (Định lý Pitago)  2   2 Biến đổi về biểu thức véc tơ?: AB AC 2 BC . Yêu cầu chứng minh biểu thức AB2 AC2 BC2 c2 +b2 a2 theo véc tơ.  2   2  2  2    2  2   BC AC AB AB AC 2AB.AC AB AC ( V ì AB.AC =0) + Nếu tam giác ABC không vuông tại A nữa thì liên hệ giữa các cạnh góc như thế nào? 2  2   2  2  2   BC BC AC AB AB AC 2AB.AC AB2 AC 2 2AB.AC.CosA a2 = b2 + c2 – 2.bc.cosA Tương tự tìm: b2, c2 Vậy ta có định lý sau đây gọi là định lý côsin trong tam giác: Với mọi tam giác ABC luôn có : a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB c2 = a2 + b2 – 2bc.cosC II. Phân tích ý nghĩa, tác dụng của định lý. 1. Trực tiếp định lý cho ta thấy xác định được cạnh tam giác khi biết hai cạnh khác và góc xen giữa. b2 c2 a2 2. Hệ quả: CosA . 2bc a2 c2 b2 CosB . 2ac a2 b2 c2 CosC 2ab Cho ta tìm được các góc của tam giác khi biết các cạnh. 3. Cho phép ta xét được các góc tam giác nhọn, tù hay vuông thông qua các yếu tố cạnh của tam giác. Cụ thể: A nhọn b2 c2 a2 A tù b2 c2 a2 A vuông b2 c2 a2 Từ đây đưa đến cách nhận dạng tam giác ABC thông qua yếu tố cạnh của nó. b2 c2 a2 2 2 2 Tam giác ABC có 3 góc nhọn c a b . 2 2 2 a b c
3. 3 “Phương pháp tiếp cận và khai thác định lý côsin trong tam giác” . b2 c2 a2 2 2 2 Tam giác ABC có 1 góc tù c a b . 2 2 2 a b c b2 c2 a2 2 2 2 Tam giác ABC có 1 góc vuông c a b . 2 2 2 a b c 2 2 2 2 2 2 4. Viết công thức về dạng: a b c 2bcSinA.cot A a b c 4SV ABC .cot A b2 c2 a2 Co t A 4S a2 c2 b2 a2 b2 c2 Tương tự: Co t B ; Co t C 4S 4S Đây là định lý “côsin suy rộng trong tam giác ” nó cho ta mối liên hệ về hệ thức lượng giác góc của tam giác với 3 cạnh cùng diện tích của nó. Lớp các bài toán áp dụng nó khá rộng. 5. Ngoài ra sử dụng định lý, hệ quả kết hợp các kiến thức khác giải quyết các bài toán về hệ thức lượng trong tam giác, nhận dạng tam giác Từ các ý nghĩa, tác dụng của định lý ta có thể đề xuất các bài toán liên quan tương thích như sau: III. Bài tập áp dụng. Bài 1. Cho tam giác ABC thõa mãn: b = 5; c= 7; cosA= 3/5. Tính cạnh a, và Côsin của các góc còn lại. Bài 2. Cho tam giác ABC thõa mãn: a= 3, b= 4, c= 6. Tìm côsin góc có số đo lớn nhất. Bài 3. Cho tam giác ABC thõa mãn: a3= b3+ c3. a) Chứng minh rằng ABC là tam giác nhọn. b) Tổng quát: Cho tam giác ABC thõa mãn: an= bn+ cn (n>2, n N) CMR tam giác ABC có 3 góc nhọn. Bài 4. Nhận dạng tam giác ABC biết các cạnh a, b, c thõa mãn: a2, b2, c2 là độ dài 3 cạnh của một tam giác khác.
4. 4 “Phương pháp tiếp cận và khai thác định lý côsin trong tam giác” . Bài 5. a x2 x 1 Giả sử: b 2x 1 (với mọi x >1). CMR a, b, c là 3 cạnh của một tam giác.Tìm góc A. 2 c x 1 Bài 6. a) Tam giác ABC tù, nhọn hay vuông nếu có : sin2A+ sin2 B= sin2C . b) Cho tam giác ABC, A và B là hai góc nhọn thõa mãn điều kiện: Sin2A+ Sin2B = 2010 SinC . CMR tam giác ABC không tù. ( Tam giác ABC vuông? Cm kết hợp công thức lượng giác.) Bài 7. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có: a) a = c. cosB+ b.cosC. 2 2 2 b) bc. cosA+ ab.cosC + ac.cosB = a b c . 2 c) 2abc.(CosA+ cosB)= (a +b) (c+ b- a) (c+ a- b). Bài 8. Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. R a2 b2 c2 CMR: CotA CotB CotC abc Bài 9. Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. CMR:CotC CotB 2.CotB· MA Bài 10. Cho tam giác ABC, M là điểm nằm trong tam giác sao cho: M· AB M· BC M· CA . CMR: CotA+ CotB+ CotC= Cot . Bài 11. Cho tam giác ABC, G là trọng tâm tam giác, ký hiệu: G· AB ,G· BC ,G· CA  . CMR: Cot Cot Cot 3 CotA CotB CotC .
5. 5 “Phương pháp tiếp cận và khai thác định lý côsin trong tam giác” . Bài 12. b3 c3 a3 Nhận dạng tam giác ABC biết: a2 . b c a Bài 13. b3 c3 a3 a2 b c a Nhận dạng tam giác ABC biết: . 1 CosA.cosC 4 Bài 14. CMR: a2 ab b2 b2 bc c2 a2 ac c2 với mọi a, b, c >0. Giải bài tập áp dụng Bài 1. 3 Ta có: a2 b2 c2 2bc.cos A = 25+ 49- 2.5.7. = 32 a 32 4 2 . 5 a2 c2 b2 32 49 25 2 CosB . 2ac 56 2 2 a2 b2 c2 32 25 49 2 CosC 2ab 40 2 10 Bài 2. a2 b2 c2 9 16 36 11 Ta có: Góc số đo lớn nhất là góc C; CosC . 2ab 24 24 Bài 3. a) Ta có: a3= b3+ c3 nên a là cạnh lớn nhất A là góc lớn nhất. Lại có: b c a3= b3+ c3 a2 b2 c2 b2 c2 b2 c2 a2 0 suy ra A nhọn. Vậy tam giác ABC a a là tam giác nhọn. b) Hoàn toàn tương tự. a2 b2 c2 2 2 2 Bài 4. Vì a2, b2, c2 là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên: b c a từ đó suy ra tam 2 2 2 a c b giác ABC là tam giác nhọn. Bài 5. a b c Dễ dàng xét được: a c b với mọi x> 1. Suy ra a, b, c là 3 cạnh 1 tam giác. b c a Ta có: a2 x4 2x3 3x2 2x 1; b2 4x 2 4x 1, c2 x4 2x2 1, bc 2x3 x2 2x 1
6. 6 “Phương pháp tiếp cận và khai thác định lý côsin trong tam giác” . Suy ra: a2 b2 c2 bc . Lại có: a2 b2 c2 2.bcCosA. 1 Vậy: CosA A 120o 2 Bài 6 a) Áp dụng định lý Sin trong tam giác Ta có: sin2A sin2 B sin2C a 2 b2 c2 Suy ra tam giác ABC vuông tại C. b) Dễ thấy 0<sinC 1 2010 SinC Sin2C . 2 2 2 Vậy: sin2A+ sin2 B sin2C a b c .Hay tam giác ABC không tù. Bài 7. a2 c2 b2 a2 b2 c2 a). Thế: CosB , CosC vào vế phải ta có: 2ac 2ab a2 c2 b2 a2 b2 c2 a2 c2 b2 a2 b2 c2 a2 c2 b2 a2 b2 c2 VP= c. b. = a VT 2ac 2ab 2a 2a 2a b) Để ý rằng: 2bc.cosA b2 c2 a 2 , 2ab.cosC a 2 b2 c2 . Thế vào VT ta được đccm. c) Chứng minh: 2abc. CosA cosB a b c b a c a b . Tương tự như trên thế: 2bc.cosA b2 c2 a 2 , 2ac.cosB a 2 c2 b2 vào VT ta có: VT a(b2 c2 a 2 ) b(a 2 c2 b2 ) ab a b c2 a b (a3 b3 ) a b (ab c2 a 2 ab b2 ) a b [c2 a b 2 ] VP (đccm). Bài 8. Áp dụng trực tiếp công thức côsin suy rộng: b2 c2 a2 a2 c2 b2 a2 b2 c2 Co t A , Co t B , Co t C thế vào vế trái suy ra: 4S 4S 4S A b2 c2 a2 a2 c2 b2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 VT= 4S 4S a.b.c a2 b2 c2 Lại có: S vậy VT= R. = VP (ĐCCM). S1 4R abc S2 B Bài 9. C M a 2 c 2 b 2 a 2 b 2 c 2 b 2 c 2 Ta có: C otB , C otC C otC C otB (1) 4 S 4 S 2 S a 2 a 2 AM 2 c 2 AM 2 b 2 · 4 · · 4 S 2 S1 2 S 2 , C ot BM A , C otC M A C ot BM A 4 S1 4 S 2 b2 c2 b2 c2 2.CotB· MA (2). Từ (1), (2) suy ra đccm. 4S1 2S Bài 10. Giả sử tồn tại điểm M trong tam giác ABC thõa mãn: M· AB M· BC M· CA
7. 7 “Phương pháp tiếp cận và khai thác định lý côsin trong tam giác” . b2 c2 a2 a2 c2 b2 a2 b2 c2 Ta có: Co t A ,Co t B , Co t C A 4S 4S 4S a2 b2 c2 Suy ra: CotA CotB CotC (1) 4S S2 S1 M S3 B C 2 2 2 · MA c MB 2 2 2 Lại có: Co t CotMAB 4S1.Co t MA c MB 4S1 2 2 2 2 2 2 Tương tự: 4S2.Co t MC b MA , 4S3.Co t MB a MC a2 b2 c2 Từ đó suy ra: 4(S S S )Co t 4S.Co t a2 b2 c2 Co t (2) 1 2 3 4S Từ (1), (2) suy ra đccm. A Bài 11. a2 b2 c2 Ta có: CotA CotB CotC 4S S2 S1 GA2 c2 GB2 GA2 c2 GB2 Cot G 4S S AGB 4 S3 3 B C GB2 a2 GC 2 GB2 a2 GC 2 Cot 4S S AGB 4 3 GC 2 b2 GA2 GC 2 b2 GA2 Cot 4S S AGB 4 3 3(a2 b2 c2 ) Suy ra: Cot Cot Cot . 4S Từ đó suy ra: Cot Cot Cot 3 CotA CotB CotC . Bài 12. b3 c3 a3 Từ gt: a2 a2 b c a b3 c3 a3 a2 b c b3 c3 b c a