Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình

1. A. Đặt vấn đề Dạng toán: “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” ở chương trình lớp 8, lớp 9 trung học cơ sở là một dạng toán tương đối khó với học sinh. Do đặc trưng của loại toán này có đề bài bằng lời văn và thường được xen trộn nhiều dạng ngôn ngữ (ngôn ngữ thông thường, ngôn ngữ toán học, vật lý ) Hầu hết các bài toán có dữ kiện ràng buộc nhau, ẩn ý dưới dạng lời văn, buộc học sinh phải có suy luận tốt mới tìm được sự liên quan giữa các đại lượng dẫn đến việc lập trình hoặc hệ phương trình mà thực chất các vấn đề khoa học giải toán là giải phương trình. Trong phân phối chương trình toán ở trường trung học cơ sở thì tới lớp 8 học sinh mới được học về khái niệm phương trình và các phép biến đổi phương trình. Nhưng việc giải phương trình đã có trong chương trình toán cấp 1 với mức độ và yêu cầu tùy theo từng đối tượng học sinh. Một đặc thù riêng của loại toán này là các bài toán đều được gắn liền với nội dung thực tế. Chính vì vậy mà việc chọn ẩn thường là những số liệu liên quan đến thực tế. Do đó khi giải toán học sinh thường mắc sai lầm thoát ly thực tế, dẫn đến quên điều kiện hoặc điều kiện sai, thiếu; học sinh không khai thác hết được những mối liên hệ ràng buộc của thực tế Từ những lý do đó mà học sinh rất sợ và ngại làm loại toán này. Mặt khác cũng có thể trong quá trình giảng dạy do năng lực, trình độ của giáo viên mới chỉ dạy cho học sinh ở mức độ truyền thụ tinh thần của sách giáo khoa khi chưa biết phân loại toán, chưa khái quát được cách giải cho mỗi dạng. Kỹ năng phân tích, tổng hợp của học sinh còn yếu trong quá trình đặt ẩn số, mối liên hệ giữa các dữ kiện trong bài toán dẫn đến lúng túng trong giải toán loại này. Chính vì vậy muốn giải toán bằng cách lập phương trình thì điều quan trọng là phải biết cách diễn đạt những mối liên hệ cho trong bài thành những mối quan hệ toán học. 1
2. Nhiệm vụ của người thầy giáo không phải là giải bài tập cho học sinh mà vấn đề đặt ra là người thầy phải dạy học sinh cách giải bài tập. Do đó khi hướng dẫn cho học sinh giải bài toán dạng này phải dựa trên một số quy tắc chung là: Yêu cầu về giải một bài toán; quy tắc giải bài toán dựa vào quá trình biến thiên của các đại lượng (tăng, giảm, thêm, bớt ) làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại lượng dẫn đến lập phương trình dễ dàng. Đây là bước đặc biệt quan trọng và khó khăn nhất đối với học sinh. Làm thế nào để nâng cao chất lượng môn học và cần có phương pháp như thế nào để giúp các em có tư duy tốt và giải quyết một cách khoa học các bài toán giải bằng cách lập phương trình và hệ phương trình? Điều đó đã giúp tôi suy nghĩ, tìm tòi, tham khảo và trong bản sáng kiến kinh nghiệm này tôi xin được mạnh dạn đề xuất ý kiến về việc trình bày phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình. Mong rằng qua đây, góp phần nào đó để thiết thực phục vụ việc nâng cao chất lượng bộ môn cho học sinh. Cung cấp cho học sinh các bước và phương pháp giải toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình hợp lý, khoa học và lôgic từ đó giúp các em phát huy trí lực học tập môn đại số nói riêng và môn toán nói chung. 2
3. B. Nội dung Phần I: Phương pháp nghiên cứu và yêu cầu giải một bài toán I. Phương pháp nghiên cứu Một trong các phương pháp dẫn học sinh giải loại toán trên là dựa vào quy tắc chung: Giải toán bằng cách lập phương trình. Nội dung quy tắc gồm các bước sau: * Bước 1: Lập phương trình. Gồm các công việc sau. - Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số. - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. - Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ giác các đại lượng. * Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình). Tùy thuộc vào những dạng phương trình mà còn cách giải cho thích hợp và ngắn gọn. * Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm này thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận. Mặc dù đã có quy tắc trên xong người giáo viên trong quá trình hướng dẫn giải loại toán này cần cho học sinh vận dụng theo sát yêu cầu về giải một bài toán nói chung. II. Yêu cầu về giải một bài toán. 1. Yêu cầu 1: Lời giải không phạm sai lầm và không có sai sót. Muốn cho học sinh không mắc sai phạm này, giáo viên phải làm cho học sinh suy luận, kỹ năng tính toán, ký hiệu, điều kiện của ẩn. Phải cho học sinh có thói quen đặt điều kiện chính xác, đủ cho ẩn và xem xét đối chiếu kết quả với điều kiện của ẩn. Ví dụ 1: Tỉ số giữa tuổi em và tuổi anh bằng 0,5; sau 3 năm nữa tỉ số sẽ tăng thêm 0,1. Hỏi tuổi anh và tuổi em hiện nay là bao nhiêu? Giải: Nếu gọi tuổi em hiện nay là x (tuổi) ĐK (x N*). Khi đó tuổi anh là 2x (tuổi) (Phân tích ?). 3
4. x 3 Theo bài ta có phương trình: 0,5 0,1 0,6 2x 3 Giải phương trình có x = 6 thỏa mãn điều kiện. Vậy hiện nay tuổi em là 6 tuổi anh là 12 tuổi. 2. Yêu cầu 2: Lời giải bài toán lập luận phải có căn cứ chính xác. Đó là quá trình thực hiện từng bước có lôgic và cơ sở lí luận chặt chẽ với nhau, đặc biệt phải chú ý đến việc thỏa mãn điều kiện nêu trong giả thiết. Xác định ẩn khéo léo, mối quan hệ giữa ẩn và dữ kiện đã làm nổi bật được ý phải tìm. Nhờ mối tương quan giữa các đại lượng trong bài toán thiết lập được phương trình (hệ phương trình) từ đó tìm được giá trị của ẩn số. Muốn vậy giáo viên cần làm cho học sinh hiểu được đâu là ẩn? đâu là dữ kiện ? đâu là điều kiện ? có thể thỏa mãn điều kiện hay không? điều kiện có đủ để xác định được ẩn hay không? Từ đó mà xác định được hướng đi, xây dựng được cách giải. Ví dụ 2: Hai cạnh của một khu đất hình chữ nhật hơn kém nhau 4m. Tính chu vi của khu đất đó nếu biết diện tích của nó bằng 1200m2. Hướng dẫn: ở đây bài toán hỏi chu vi của hình chữ nhật. Học sinh thường có xu thế bài toán gọi gì thì chọn đó làm ẩn. Nếu gọi chu vi của hình chữ nhật là ẩn thì bài toán đi vào bế tắc, khó có lời giải. Giáo viên cần hướng dẫn học sinh phát triển sâu trong khả năng suy diễn để từ đó đặt vấn đề: muốn tính chu vi hình chữ nhật ta cần biết gì? Từ đó: Gọi chiều rộng khu đất hình chữ nhật là x (m) (ĐK x>0) => Có phương trình: x (x+4) = 1200 Giải phương trình có x1 = 30 x2 = -34 Giáo viên giúp học sinh từ điều kiện để loại nghiệm x2: chỉ lấy x1 = 30. Chiều dài là: 30+4= 34 và chu vi là: 2(30+34) = 128(m) ở bài toán này nghiệm x2 = -34 có giá trị tuyệt đối bằng chiều dàu hình chữ nhật, học sinh dễ mắc sai sót dẫn đến coi đó cũng là kết quả của bài toán. 3. Yêu cầu 3: Lời giải phải đầy đủ và mang tính toàn diện. Hướng dẫn học sinh không được bỏ sót khả năng chi tiết nào không thừa nhưng cũng không thiếu, rèn cho học sinh cách kiểm tra lại lời giải đã đầy đủ 4
5. chưa? Kết quả của bài toán đã là đại diện phù hợp với mọi cái chung. Nếu thay đổi điều kiện bài toán rơi vào trường hợp đặc biệt thì kết quả vẫn luôn luôn đúng. Ví dụ 3: Một tam giác có chiều cao bằng 3/4 cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3dm và cạnh đáy giảm đi 2dm thì diện tích của nó tăng thêm 12dm2. Tính chiều cao và cạnh đáy? Giáo viên lưu ý cho học sinh dù có thay đổi chiều cao, cạnh đáy của tam giác thì diện tích của nó luôn được tính theo công thức: S = (cạnh đáy x chiều cao): 2 Từ đó gọi chiều dài cạnh đáy lúc đầu là x(dm) (ĐK x>0). 3 Thì chiều cao lúc đầu là: x(dm) 4 1 1 => Diện tích lúc đầu là: x. x(dm 2 ) 2 3 1 3 Diện tích sau là: (x 2). x 3 (dm 2 ) 2 4 1 3 3 Theo đầu bài ra ta có phương trình: (x 2). x 3 x 2 12 2 4 8 Giải phương trình ta được x = 20 thỏa mãn điều kiện. Vậy cạnh đáy tam giác là 20(dm) và chiều cao tam giác là 15(dm). 4. Yêu cầu 4: Lời giải bài toán phải đơn giản, có lập luận, mang tính toàn diện và phù hợp kiến thức, trình độ của học sinh; đại đa số học sinh hiểu và làm được. Ví dụ 4: (Bài toán cổ) “Vừa gà vừa chó Bó lại cho tròn Ba mươi sáu con Một trăm chân chẵn” Với bài toán này nếu giải như sau: Gọi số gà là x (con) (ĐK x N*) Thì số chó sẽ là: 36 - x (con). Nên số chân gà là 2x (chân) Và số chân chó là: 4(3 - x) (chân) Theo bài ra ta có phương trình 2x+4.(36-x) = 100 Giải phương trình ta được x= 22 thỏa mãn ĐK => Số gà có 22 con, số chó có 14 con. 5
6. Thì bài toán sẽ ngắn gọn, dễ hiểu Nhưng có học sinh giải theo cách dùng 2 ẩn (x,y) hoặc gọi số chân gà là x => số chân chó là (100-x) => phương trình: x 100 x 36 2 4 Kết quả cuối cùng 22 gà và 144 chó. Nhưng đã vô tình biến bài giải thành khó hiểu hoặc không phù hợp với trình độ của học sinh. 5. Yêu cầu 5: Lời giải phải trình bày khoa học: Đó là lưu ý đến mối liên hệ giữa các bước giải trong bài toán, phải lôgic, chặt chẽ với nhau; các bước sau được suy ra từ các bước trước, nó đã được kiểm nghiệm, chứng minh là đúng hoặc những điều đã biết từ trước. Ví dụ 5: Chiều cao của một tam giác vuông bằng 9,6m và chia cạnh huyền thành hai đoạn hơn kém nhau 5,6m. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác. Theo hình vẽ ta có: Bài toán yêu cầu tìm độ dài BC khi đã biết AH=9,6m. Trước khi giải cần kiểm tra kiến thức của học sinh để củng cố công thức: AH2 = BH.CH Để từ đó gọi độ dài đoạn BH là x(m) (x>0) => có phương trình x(x+5,6) = (9,6)2 Giải phương trình được x = 7,2 thỏa mãn ĐK => độ dài cạnh huyền là: (7,2 + 5,6) + 7,2 = 20(m) 6. Yêu cầu 6: Lời giải bài toán phải rõ ràng, đầy đủ, có thể nên thử lại. Lưu ý đến việc giải các bước lập luận, điều hành không chồng chéo nhau, phủ định lẫn nhau, kết quả phải đúng. Muốn vậy cần rèn cho học sinh có thói quen: sau khi giải xong cần thử lại kết quả và tìm hết các nghiệm của bài toán, tránh bỏ sót nhất là với phương trình bậc hai, hệ phương trình. Ví dụ 6: Độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông là 25cm, còn tổng độ dài hai cạnh góc vuông là 35cm. Tìm độ dài mỗi cạnh góc vuông của tam giác. Hướng dẫn: Gọi độ dài của cạnh góc vuông là x, y (cm) (x , y >0). x y 35 Ta có hệ phương trình: 2 2 2 x y 25 625 Giải phương trình ra ta được x1 = 20; x2 = 15. 6
7. Đến đây học sinh hoang mang vì hai kết quả (thực chất trong bài toán hai tam giác vuông này là một) không biết lấy kết quả nào. Giáo viên cần xây dựng cho học sinh thói quen đối chiếu kết quả với điều kiện đầu bài, nếu thỏa mãn thì các nghiệm đều hợp lý. Một bài toán không nhất thiết chỉ có duy nhất một kết quả và được kiểm chứng lại bằng việc thử lại tất cả các kết quả đó với yêu cầu bài toán. Phần II: Phân loại bài toán và các giai đoạn giải một bài toán I. phân loại các bài toán giải bằng cách lập phương trình và hệ phương trình. Trong các bài tập ở lớp 8 và lớp 9, giải toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình có thể phân loại như sau: 1. Loại toán về chuyển động. 2. Loại toán có liên quan đến số học. 3. Loại toán về năng suất lao động. 4. Loại toán về tỉ lệ chia phần (thêm, bớt, tăng, giảm, tổng- hiệu, tỉ số của chúng). 5. Loại toán có liên quan đến hình học. 6. Loại toán về công việc làm chung, làm riêng (toán quy về đơn vị) 7. Loại toán có nội dung vật lí, hóa học. 8. Loại toán có chứa tham số. II. Các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình. 1. Phân giai đoạn. - Với bài toán giải bằng phương trình bậc nhất một ẩn số: là dạng bài toán sau khi xây dựng phương trình, biến đổi phương trình về dạng ax +b = 0 (a 0). - Với bài toán giải bằng phương trình bậc hai: là dạng toán sau khi xây dựng phương trình, biến đổi phương trình về dạng ax2 + bx + c= 0 (a 0). - Với bài toán giải bằng hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn: là dạng toán sau khi ax by c xây dựng và biến đổi hệ phương trình về dạng a' x b' y c' 7