Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải phương trình vô tỉ

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải phương trình vô tỉ

1. Phần I: Những vấn đề chung I. Lí do chọn đề tài 1. Cơ sở lí luận: Thế hệ trẻ Việt Nam nói chung, giới học sinh nói riêng có may mắn là được sinh ra và lớn lên trong thời đại mà các cuộc cách mạng khoa học kĩ thuật công nghệ đang trào dâng như vũ bão, thông tin bùng nổ từng phút từng giờ, cái mới này chưa kịp đăng quang đã phải nhường chỗ cho cái mới khác đến thay thế. Vậy thì mỗi thầy cô giáo, mỗi học sinh phải hành động như thế nào? Việc học tập hiện nay đang có xu hướng đi vào chiều sâu “học phải đi đôi với hành”, do vậy phải có những phương pháp dạy và học có hiệu quả tối ưu nhất nhằm tìm ra những con đường ngắn nhất, hay nhất trong việc học tập để giúp chúng ta nắm vững được kiến thức và đi đào sâu lượng kiến thức đã học. Để đạt được điều đó thì mỗi người giáo viên, mỗi học sinh phải trau dồi kiến thức, sưu tầm và hệ thống cho chính mình những phương pháp học tập và nghiên cứu riêng. Trong quá trình học tập và nghiên cứu, việc đi phân loại các phương pháp giải một dạng toán hay bất kì một lĩnh vực nào, nó giúp chúng ta có nhiều cách nhìn, cách lý giải cho cùng một vấn đề, nó giúp chúng ta nhìn nhận, xem xét một cách kĩ lưỡng hơn, dưới nhiều góc độ, để chúng ta tìm được cách giải quyết cho nhanh nhất, hiệu quả nhất. 2. Cơ sở thực tiễn: Hiện nay, trong các trường THCS và ngay cả bậc phổ thông việc giải một phương trình vô tỉ vẫn là một vấn đề cần bàn, đa số các giáo viên đã truyền đạt hết cho học sinh những kiến thức, những phương pháp giải nhưng chưa có tính hệ thống cao, chưa đi sâu vào phân tích những ưu điểm, những tồn tại và khả năng ứng dụng của từng phương pháp chính, bởi lẽ đó mà những phương pháp giảng giải của giáo viên thường hay chồng chéo lên nhau khiến cho việc tiếp thu của học sinh thường bị động và chưa có tính quyết toán trong việc tìm cho mình một phương pháp tối ưu nhất khi đứng trước một bài toán giải phương trình vô tỉ. Mặt khác, đa số các em học sinh không có khả năng hệ thống cho mình những phương pháp giải loại phương trình này, hay còn phần lớn các em không biết cách giải thế nào cho đúng, cho hay, nhất là với học sinh bậc THCS. Các em thường giải theo phương pháp lũy thừa và chọn ẩn nhưng đa số các em không phán đoán được phương trình sau có tương đương với phương trình đã cho hay không?
2. Chính bởi những lí do trên mà tôi chọn đề tài này để phần nào tháo gỡ những vướng mắc trên, giúp cho quá trình dạy và học được tốt hơn và đạt hiệu quả mong muốn. II. Mục đích nghiên cứu đề tài: Một là, giúp học sinh nắm được các phương pháp giải một bài giải phương trình vô tỉ. Trên cơ sở đó, tìm được những vướng mắc, khó khăn mà các em thường gặp phải trong quá trình giải loại bài tập này. Hai là, hệ thống được các phương pháp giải phương trình vô tỉ, trên cơ sở đó phân tích những ưu việt hay hạn chế của từng phương pháp. Ba là, thông qua hệ thống ví dụ, giúp các em thấy được cách lựa chọn một hoặc nhiều phương pháp khác nhau để giải một bài toán sao cho nhanh và đạt hiệu quả tối ưu nhất. III. Đối tượng và khách thể nghiên cứu: 1. Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu những phương pháp giải phương trình vô tỉ. Đánh giá tính ưu việt, hạn chế và khả năng ứng dụng của từng phương pháp giải. 2. Khách thể nghiên cứu : Tập trung nghiên cứu trong chương trình đại số lớp 8, lớp 9 và trong chương trình toán phổ thông. 3. Phạm vi nghiên cứu: Do yêu cầu của đề tài nên chỉ tập trung nghiên cứu phần đại số ở lớp 8 và lớp 9 còn lại là trong chương trình toán cấp III. IV. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài: Phải hệ thống được cách giải một phương trình vô tỉ. Phải phân tích được những ưu việt và hạn chế của từng phương pháp, từ đó đưa ra khả năng ứng dụng của từng phương pháp đối với một bài giải phương trình vô tỉ. Phải phân tích và tìm ra từng chỗ thiếu sót, chỗ sai mà học sinh thường hay mắc phải và đưa ra cho học sinh những cách khắc phục. V. Phương pháp nghiên cứu đề tài: 1 - Phương pháp đọc và phân tích tài liệu. 2 - Phương pháp tổng hợp những kinh nghiệm sáng kiến của những giáo viên dạy giỏi. 3 - Phương pháp khảo sát thực tế.
3. Phần II: Nội dung chính của đề tài Chương I: Những kiến thức cơ bản I. Những vấn đề chung của phương trình: 1. Tập xác định của phương trình: a. Định nghĩa: Tập xác định của một phương trình là tập hợp các giá trị của một ẩn làm cho mọi biểu thức trong phương trình có nghĩa. Tập xác định được viết tắt là TXĐ. Ví dụ : a. Phương trình x2 – 7x + 1 = 6x2 + 2 Có tập xác định là D = R x 2 6x b. Phương trình 1 x 4 có tập xác định là: D = { ∀x ∊ R/x + 4 ≠ 0} = R - {- 4} 2 c. x 2 x 2 có tập xác định là: D = { ∀x ∊ R/x - 2 ≥ 0} = R – [- 4] 2. Hai phương trình tương đương: 2.1. Định nghĩa : Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng chung một tập nghiệm trong cùng một tập số. 2.2. Ví dụ : a. Cho hai phương trình : x2 - 7x + 6 = 0 và 2x2 – 14x + 12 = 0 là hai phương trình tương đương vì chúng có cùng tập nghiệm S = {1; 6}. b. Hai phương trình: x + 1 = 0 và (x + 7).(x - 5) = 0 là hai phương trình không tương đương vì tập nghiệm của phương trình thứ nhất là S = {- 1} còn của phương trình thứ hai là S = {- 1; 5}. c. Hai phương trình: x2 + 1 = 0 và x2 + x + 6 = 0 là hai phương trình tương đương vì chúng có cùng chung một tập nghiệm là S = φ. 3. Nghiệm của phương trình: Cho phương trình f(x) = g(x). Nghiệm của phương trình xét trên tập A là số α ∊ A sao cho f(α) = g(α). II. Cách giải các bất phương trình, phương trình cơ bản: 1. Phương trình và bất phương trình bậc nhất: b - ax + b = 0 ⇔ x (với a ≠ 0) a b x a b x a
4. - ax + b > 0 ⇔ (với a > 0) (với a 0 – phương trình có hai nghiệm phân biệt. x 2a b. Quy tắc xét dấu tam thức bậc hai: Cho f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) * ∆ ≤ 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a. * ∆ ≥ 0 thì f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2. Nếu f(x) cùng dấu với hệ số a khi với ∀ x ∉ (x1; x2); f(x) khác dấu với hệ số a với ∀ x ∉ (x1; x2); 3. Phương trình và bất phương trình tích: f(x).g(x) = 0 ⇔ f(x) = 0 hoặc g(x) = 0 f(x). g(x) > 0 ⇔ f(x) > 0 hoặc f(x) 0 g(x) < 0 4. Các phép biến đổi tương đương: a. f(x) = g(x) + h(x) ⇔ f(x) – g(x) = h(x) b. f(x) = g(x) ⇔ f(x) ± c = g(x) ± c (với c ∊ R) f(x) g(x) c. f(x) = g(x) ⇔ k.f(x) = k.g(x) ⇔ (với k ∊ R*) k k d. f(x) = g(x) ⇔ (f(x))2k + 1 = (g(x))2k + 1 (với k ∊ N). e. f(x) = g(x) (với f(x) ≥ 0; g(x) ≥ 0) ⇔ [f(x)]2k = [g(x)]2k (với k ∊ N) III. Phương trình vô tỉ: 1. Định nghĩa: Phương trình vô tỷ là phương trình có chứa dấu căn thức 2. Cách giải chung: Bước 1: tìm tập xác định của phương trình. Bước 2: tìm cách khử căn thức và tìm nghiệm. Bước 3 : so sánh với tập xác định và kết luận nghiệm của phương trình. 3.Ví dụ : Giải phương trình : 2x 3 x (1) 3 Điều kiện để căn thức có nghĩa 2x + 3 ≥ 0 x (2) ⇔ 2
5. với điều kiện x ≥ 0 (3) phương trình (1) ⇔ (2x + 3) = x2 (4) ⇔ x2 – 2x – 3 = 0. Vì a – b + c = 0 nên (4) có nghiệm là: x1 = - 1; x2 = 3 x1 = - 1 không thoả mãn điều kiện (3) x2 = 3 thoả mãn các điều kiện (2) và (3) Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là x = 3. 4. Một số kiến thức cần nhớ: 4.1. Điều kiện tồn tại một căn thức: 2k A tồn tại khi ∀ A ≥ 0 (k ∊ N) 2 k 1 A tồn tại khi ∀ A ∊ R (k ∊ N) A 2 = ∣A∣ = A khi A ≥ 0 - A khi A ≤ 0 4.2. Một số bất đẳng thức quan trọng: a. Bất đẳng thức Côsi: Nếu a1, a2 an là các số không âm ta có: a a a 1 2 n n a .a a n 1 2 n đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = = an. b. Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Nếu a1, a2 an và b1, b2 bn là các số tuỳ ý ta có: 2 2 2 2 2 2 2 (a1 + a2 + + an ).(b1 + b2 + + bn ) ≥ (a1b1 + a2b2 + + anbn) . a a a đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 1 2 n b b b 2 2 n c. Bất đẳng thức Trêbưsep. Nếu a1 ≥ a2 ≥ ≥ an và b1 ≥ b2 ≥ ≥ bn, ta có: (a1 + a2 + + an).(b1 + b2 + + bn) ≥ n.(a1b1 + a2b2 + + anbn). đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = = an hoặc b1 = b2 = = bn. d. Lược đồ Hoocle. n n-1 Cho đa thức f(x) = anx + an-1x + + a1x + a0 (với x = α), ta có: an an-1 a1 a0 + + α x an α an + an-1 α.∆ + a1 f(α)
6. Chương II: Phương pháp biến đổi tương đương I. Phương pháp nâng lũy thừa: 1. Các dạng phương trình vô tỉ cơ bản: a. A = B ⇔ A ≥ 0 hay B ≥ 0 A = B b. A = B ⇔ B ≥ 0 A = B2 3 c. A = B ⇔ A = B3 d A + B = C ⇔ A ≥ 0 ⇔ A + B + 2 AB = C B ≥ 0 Lưu ý: Với phương pháp lũy thừa hai vế. Muốn nâng hai vế phương trình lên lũy thừa bậc chẵn, ta phải biết chắc chắn hai vế cùng dấu, tốt nhất là cùng dương. Để nắm được phương pháp này, chúng ta cùng tìm hiểu một số ví dụ cụ thể: 2. Ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình x 5 x 7 (1) Giải: Điều kiện để căn thức có nghĩa x – 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ 5 (2) Với điều kiện x – 7 ≥ 0 ⇔ x ≥ 7 (3) phương trình (1) tương đương với: x – 5 = (x – 7)2 ⇔ x2 – 15x + 54 = 0 (4) Giải phương trình (4) ta được: x1 = 6 không thỏa mãn điều kiện (3) x2 = 9 thỏa mãn các điều kiện (2) và (3) Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x = 9. Nhận xét: Trong cách giải trên, ta đặt điều kiện (2) vì lý do sư phạm. Thực ra không cần điều kiện này. Thật vậy, khi bình phương hai vế của (1), biểu thức x – 5 bằng một bình phương, đương nhiên không âm, do đó các giá trị của x thỏa mãn (3) cũng sẽ thỏa mãn điều kiện (2). Ví dụ 2: Giải phương trình x 2 2 x 3 0 Giải: Chuyển vế phương trình đã cho, ta có: 2 x 3 x 2 (1) 3 phương trình (1) có nghĩa khi và chỉ khi: 2x + 3 ≥ 0 x (2) ⇔ 2 x + 2 ≥ 0 x ≥ - 2 với điều kiện (2) thì phương trình (1) tương đương với:
7. 2x + 3 = (x + 2)2 ⇔ x2 + 2x + 1 = 0 (3) Giải phương trình (3) ta được nghiệm duy nhất là: x = - 1. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = - 1. Lưu ý: Nhiều em khi gặp bài này thường giải theo cách quen thuộc: 2 x 3 x 2 ⇔ x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ - 2. 2x + 3 = (x + 2)2 ⇔ (x + 1)2 = 0 và cũng tìm được nghiệm x = - 1 thoả mãn (x ≥ - 2). 3 Nhưng với điều kiện (- 2 ≤ x ) thì 2 x 3 lại không tồn tại vì 2x + 3 < 0. 2 Ví dụ 3: Giải phương trình 1 x 1 2 x x 4 (1) Giải: Điều kiện để căn thức có nghĩa: 1 – x ≥ 0 x ≤ 1 1 1 1 – 2x ≥ 0 ⇔ x ⇔ 4 x (2) 2 2 x + 4 ≥ 0 x ≥ - 4 Với điều kiện (2) phương trình (1) tương đương với: ( 1 x 1 2 x ) 2 ( x 4 ) 2 ⇔ 1 – x + 1 – 2x +2 (1 x).(1 2x) x 4 ⇔ 2 (1 x).(1 2x) 4x 2 ⇔ ( 1 x ).( 1 2 x ) 2 x 1 (3) 1 với điều kiện 2x + 1 ≥ 0 x (4) thì phương trình (3) tương đương với: ⇔ 2 2 2 2 ( 1 x ).( 1 2 x ) ( 2 x 1 ) 2 ⇔ 2x – 3x + 1 = 4x + 4x + 1 ⇔ 2x2 + 7x = 0 (5) Giải phương trình (5) ta được x = 0 (thỏa mãn điều kiện (2) và (4)) 7 x không thỏa mãn điều kiện (4) 2 Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x = 2. 1 Lưu ý: Với điều kiện (2) ta chỉ cần x thì phương trình (1) đã tương đương với 2 phương trình (3) vì khi bình phương thì (x + 4) bằng một bình phương, đương nhiên là dương. Với ab a . b , điều này chỉ đúng khi a ≥ 0 ; b≥ 0 và trong trường hợp a ≤ 0; b ≤ 0 thì . ab a. b Ví dụ 4: Giải phương trình