Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình không mẫu mực

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình không mẫu mực

1. Chuyên đề: Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình không mẫu mực A/ Đặt vấn đề: Trong quá trình học Toán, các em học sinh có thể gặp các bài toán mà đầu đề có vẻ lạ, không bình thường, những bài toán không thể giải trực tiếp bằng các quy tắc, các phương pháp quen thuộc. Những bài toán như vậy thường được gọi là “không mẫu mực”, có tác dụng không nhỏ trong việc rèn luyện tư duy Toán học và thường là sự thử thách đối với học sinh trong các kỳ thi HSG, thi vào cấp 3, các lớp chuyên toán, Tuy nhiên quen thuộc hay “không mẫu mực”, phụ thuộc vào trình độ của người giải Toán. Tôi xin đưa ra một số phương pháp giải một số phương trình và hệ phương trình “không mẫu mực”, với phương pháp này tôi đã giúp đỡ các em học sinh luyện tập và làm quen với phương trình và hệ phương trình “không mẫu mực” để từ đó biết cách tư duy suy nghĩ trước những phương trình và hệ phương trình “không mẫu mực” khác. B. Giải quyết vấn đề I. Phần I: Phương trình. 1. Phương trình một ẩn: Với phương trình một ẩn có 4 phương pháp thường vận dụng là: Đưa về phương trình tích, áp dụng các bất đẳng thức chứng minh nghiệm duy nhất và đưa về hệ phương trình. a. Phương pháp đưa về phương trình tích. * Các bước: - Tìm tập xác định của phương trình. - Dùng các phép biến đổi đại số, đưa phương trình về dạng f(x).g(x) .h(x) = 0 (gọi là phương trình tích). Từ đó suy ra f(x) = 0; g(x) = 0; h(x) = 0 là những phương trình quen thuộc. Nghiệm của phương trình là tập hợp các nghiệm của các phương trình f(x) = 0, g(x) = 0, h(x) = 0 thuộc tập xác định. - Đôi khi dùng ẩn phụ thay thế cho một biểu thức chứa ân đưa phương trình về dạng tích (với ẩn phụ). Giải phương trình với ẩn phụ, từ đó tìm nghiệm của phương trình đã cho. 1
2. - Dùng cách nhóm số hạng, hoặc tách các số hạng để đưa phương trình về dạng quen thuộc mà ta đã biết cách giải . *Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Giải phương trình: x 2 10x 21 3 x 3 2 x 7 6 ĐK: x ≥ -3. x 2 10x 21 3 x 3 2 x 7 6 (x 3)(x 7) 3 x 3 2 x 7 6 0 x 3( x 7 3) 2( x 7 3) 0 ( x 7 3)( x 3 2) 0 x 7 3 0 x 7 3 x 3 2 0 x 3 2 Vì 2 vế đều dương nên ta có: x 7 9 x 2(TM ) x 3 4 x 1(TM ) Vậy tập hợp nghiệm của phương trình là S = 1;2. Ví dụ 2: Giải phương trình: 3x+1 + 2x.3x - 18x - 27 = 0 TXĐ: x R. Giải 3x+1 + 2x.3x - 18x - 27 = 0 3x(3 + 2x) – 9(2x + 3) = 0 (2x + 3) (3x - 9) = 0 2x 3 0 x 3 9 0 3 x 2 x 2 3  Vậy tập nghiệm của phương trình là S = ;2 2  Ví dụ 3: Giải phương trình: (x2 - 4x + 2)3 = (x2 - x - 1)3 - (3x - 2)3; TXĐ: R. áp dụng hằng đẳng thức (a - b)3 - (a3 - b3) = -3ab(a - b) (x2 - 4x + 1)3 = (x2 - x - 1) - (3x - 2)3 2
3. 3 3  x 2 x 1 3x 2   x 2 x 1 3x 2 3  0 3(x 2 x 1)(3x 2)(x 2 4x 1) 0 x 2 x 1 0 (1) 3x 2 0 (2) 2 x 4x 1 0 (3) Giải (1): x2 - x - 1 = 0 = 1 + 4 = 5 > 0, Pt có 2 nghiệm 1 5 1 5 x ; x 1 2 2 2 Giải (2): 2 3x - 2 = 0 x . 3 Giải (3): x2 - 4x + 1 = 0 ’ = 4 - 1 = 3 > 0, Pt có 2 nghiệm x1 2 3; x2 2 3 . Vậy tập nghiệm của phương trình là: 1 5 1 5 2  S= ; ; ;2 3;2 3 2 2 3  Ví dụ 4: Giải phương trình: (x - 2)(x - 4)(x + 6)(x + 8) = -36 TXĐ: R  x 2 x 6  x 4 (x 8) 36 (x 2 4x 12)(x 2 4x 32) 36(*) Đặt y = x2 + 4x - 12 x 2 4x 32 y 20 Phương trình (*) trở thành: y(y 20) 36 y 2 20y 36 0 (y 18)(y 2) 0 y 18 0 y 18 y 2 0 y 2 x 2 4x 12 18(1) 2 x 4x 12 2(2) Giải (1) ta có: x 2 4x 12 18 x 2 4x 30 0 ' 4 30 34 0 3
4. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 2 34; x2 2 34 Giải (2) ta có: x 2 4x 12 2 x 2 4x 14 0 ' 4 14 18 0 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 2 18 2 3 2 x2 2 18 2 3 2 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = 34 2; 34 2;3 2 2; 3 2 2 Ví dụ 5: Giải phương trình: (x + 2)4 + x4 = 82 Đặt y = x + 1 (x + 2)4 + x4 = 82 (y + 1)4 + (y - 1)4 = 82 y4 + 6y2 - 40 = 0 Đặt y2 = t ≥ 0 t2 + 6t - 40 = 0 ’ = 9 + 40 = 49 > 0, Pt có 2 nghiệm phân biệt. t1 = -3 + 7 = 4; t2 = -3 - 7 = -10 (loại) y2 = 4, y = 2. Với y = 2 x + 1 = 2 x = 1. Với y = -2 x + 1 = -2 x = -3. Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1;-3}. Chú ý: Phương trình dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c (a, b, c là hằng số) a b đặt ẩn phụ y = x + , thì phương trình đưa được về dạng dy4 + ey2 + g = 0 2 (d, e, g là hằng số). Ví dụ 6: Giải phương trình 4
5. 1 1 1 1 x 2 9x 20 x 2 11x 30 x 2 13x 42 18 1 1 1 1 (x 4)(x 5) (x 5)(x 6) (x 6)(x 7) 18 ĐK: x -4; x -5; x -6; x -7. 1 1 1 1 1 1 1 (x 4) (x 5) (x 5) x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 (x 4) x 7 18 18(x 7) 18(x 4) (x 4)(x 7) x 2 11x 26 0 x 13 x 2 0 x 13 0 x 13 x 2 0 x 2 Thoả mãn điều kiện. Vậy tập nghiệm của phương trình S = {-13; 2}. b. Phương pháp áp dụng bất đẳng thức. *Các bước: - Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(x) mà f(x) a; g(x) a (a là hằng số). - Nghiệm của phương trình là các giá trị thoả mãn đồng thời f(x)=a và g(x)=a. - Biến đổi phương trình về dạng h(x)=m (m là hằng số), mà ta luôn có h(x) m hoặc h(x) m thì nghiệm của phương trình là các giá trị của x làm cho dấu đẳng thức xảy ra. - áp dụng các bất đẳng thức Côsi, Bunhiacôpxki *Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Giải phương trình: 3x2 6x 7 5x2 10x 14 4 2x x2 3(x 1)2 4 5(x 1)2 9 5 (x 1)2 : x R 3(x 1)2 4 5 x 1 2 9 4 9 5 Mà: 5 x 1 2 5 Nên ta có: (x+1)2 = 0 x = -1. 5
6. Vậy nghiệm của phương trình là x = -1. Ví dụ 2: Giải phương trình: x2 6x 11 x2 6x 13 4 x2 4x 5 3 2 (x 3)2 2 (x 3)2 4 4 (x 2)2 1 3 2 Mà: (x 3)2 2 (x 3)2 4 4 (x 2)2 1 2 4 1 3 2 (x 3)2 0 Nên dấu “=”xảy ra x 2 0 Điều này không thể xảy ra. Vậy phương trình vô nghiệm. Ví dụ 3: Giải phương trình: x2 3x 3,5 (x2 2x 2)(x2 4x 5) Ta có: x2 2x 2 (x 1)2 1 0 x2 4x 5 (x 2)2 1 0 (x2 2x 2) (x2 4x 5) x2 3x 3,5 2 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương (x2 2x 2);(x2 4x 5) ta (x2 2x 2) (x2 4x 5) có: (x2 2x 2)(x2 4x 5) 2 Vậy x2 3x 3,5 (x2 2x 2)(x2 4x 5) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: (x2 2x 2) (x2 4x 5) 2x 3 3 x 2 3 Vậy nghiệm của phương trình là x= . 2 Ví dụ 4: Giải phương trình: 2 2 2 13 x2 3x 6 x2 2x 7 5x2 12x 33 áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 4 số : a2 b2 c2 d 2 (ac bd)2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: a.d=b.c Với a=2 ; b=3 ; c=x2-3x+6 ; d= x2-2x+7 ta có: 6
7. 2 2 2 22 32 x2 3x 6 x2 2x 7 2 x2 3x 6 3 x2 2x 7 2 2 2 13 x2 3x 6 x2 2x 7 5x2 12x 33 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: 3(x2 3x 6) 2(x2 2x 7) 3x2 9x 18 2x2 4x 14 x2 5x 4 0 a b c 1 5 4 0 c Phương trình có 2 nghiệm: x 1; x 4 1 2 a Vậy nghiệm của phương trình là x1 1; x2 4 c. Phương pháp chứng minh nghiệm duy nhất. *Các bước giải: ở một số phương trình ta có thể thử trực tiếp để tìm nghiệm của chúng rồi sau đó tìm cách chứng minh rằng ngoài nghiệm này ra chúng không còn nghiệm nào khác nữa. *Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 2x 3 3x 9(1) Giải: +) x=0 là nghiệm của phương trình (1) +) Nếu x 0 ta có: x2 0 2 2x 3 3x 20 3 30 9 Do đó x 0 không thể là nghiệm của phương trình (1). Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 0. Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 xx 10x x (2); Với x > 0. Giải: +Ta nhận thấy x=1 là nghiệm của phương trình(2). +Với x>1 ta có : xx 1x 1 2 10x x 100 1 x2 x nên x x2 0 do đó 2 10x x xx Vậy x>1 không thể là nghiệm của phương trình 7
8. xx 1x 1 +Với 0<x<1 ta có: x2 x x x2 0 2 2 Nên 10x x 100 1 10x x xx Vậy 0<x<1 không thể là nghiệm của phương trình. Vậy nghiệm của phương trình là x=1. II. Phần II: Hệ phương trình. Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của hệ: x2 xy 3y2 9 2 2 2x 655xy 660y 1992 Giải: x2 xy 3y2 9 2 2 x 656xy 657y 1983 x2 xy 3y2 9 (x y)(x 657y) 1983 Xét : (x+y)(x-657y)=1983=661.3 x y 661 x 660 Không thoả mãn. x 657y 3 y 1 x y 661 x 660 Không thoả mãn. x 657y 3 y 1 x y 3 x 4 Thoả mãn. x 657y 661 y 1 x y 3 x 4 Thoả mãn. x 657y 661 y 1 Vậy nghiệm của hệ là: (4;-1) và (-4;1). Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của hệ: x y z 3 (2) (z y)(y 3)(z 3) 8 Giải: y z 3 x (2) (3 x)(3 y)(3 z) 8 Ta có: 8 = 1.1.8 = -1.1.(-8) =(-1).(-1).8 = 2.2.2 = (-2).(-2).2 = 2.(-2).(-2). Trong các bộ số trên chỉ có (-1)+(-1)+8 = 6 và 2+2+2=6. 8
9. 3 x 1 x 4 3 y 1 y 4 3 z 8 z 5 3 x 8 x 5 3 y 1 y 4 3 z 1 z 4 Do đó: 3 x 1 x 4 3 y 8 y 5 3 z 1 z 4 3 x 2 x 1 3 y 2 y 1 3 z 2 z 1 Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của hệ: x y 2 2 xy z 1 x y 2(1) 2 xy 1 z (2) Từ (2) ta có: xy 1 x, y cùng dấu. Mặt khác x+y=2 do đó x=y=1 z=0. Vậy nghiệm của hệ là (x;y;z) = (1;1;0) . Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của hệ: x y z 2 2 2xy z 4 Dễ thấy y 0 . Từ hệ phương trình ta có: 2(x+y+z)y - (2xy - z2) = 4y-4 2xy 2y2 2yz 2xy z2 4y 4 (y z)2 (y 2)2 0 y z 0 y 2 x 2 y 2 0 y z Các giá trị tìm được nghiệm đúng với hệ đã cho. Vậy nghiệm nguyên của hệ là (x;y;z) = (2;2;-2). Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên của hệ: x3 y3 z3 3 x y z 3 Giải: Ta có công thức: (x y z)3 (x3 y3 z3 ) 3(x y)(y z)(z x) Do đó ta có: (3 x) (3 y) (3 z) 6 (3 x).(3 y).(3 z) 8 9