Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải các phương trình không mẫu mực

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải các phương trình không mẫu mực

1. Phần I: Mở đầu I - Lý do chọn đề tài Trong quá trình học toán, các em học sinh có thể gặp đây đó những bài toán mà đầu bài có vẻ “lạ”, “ Không bình thường”, những bài toán không thể giải bằng cách áp dụng trực tiếp các quy tắc, các phương pháp quen thuộc. Những bài toán như vậy thường được gọi là “ Không mẫu mực” ( non- standard problems). Những bài toán này có tác dụng không nhỏ trong việc rèn luyện tư duy toán học và thường là sự thử thách đối với các em trong các kỳ thi học sinh giỏi, các kỳ thi vào chuyên. Đương nhiên “ Quen thuộc” hay “ Không mẫu mực “ chỉ là tương đối, nó còn phụ thuộc vào trình độ, kinh nghiệm của người giải toán. Có những bài “Lạ” “ Không mẫu mực” đối với người này, nhưng lại là quen thuộc đối với người khác. Khi đã gặp phải những phương trình như vậy hoặc “ Gần như vậy “ thì nó lập tức trở nên rất quen thuộc và không quá khó, dần dần xây dựng cho học sinh một phương pháp làm bài tổng quát, từ đó học sinh có phương pháp làm bài sáng tạo, học tập tích cực chủ động. Từ những lý do trên tôi chọn đề tài “ Phương pháp giải các phương trình không mẫu mực” II - Phạm vi mục đích của đề tài 1) Phạm vi: Do thời gian hạn chế, khẳ năng có hạn nên đề tài chỉ đề cập một phần, một số dạng toán, phương trình không mẫu mực và phương pháp đối với các lớp 8, lớp 9. 2) Mục đích : Giúp các em học sinh luyện tập để nhiều bài toán giải phương trình “ Không mẫu mực” trở thành “ Quen thuộc” với mình qua đó biết cách suy nghĩ, biết định hướng trước các phương trình “ Không mẫu mực” khác
2. Phần II : Nội dung Đề tài được viết bao gồm hai phần Phần A : Phương trình một ẩn Phần B: Phương trình nhiều ẩn Phần A: Phương trình một ẩn Phương pháp1: Đưa về phương trình tích 1) Các bước giải : • Tìm TXĐ của phương trình • Dùng phép biến đổi đại số, đưa phương trình về dạng f(x).g(x) h(x) = 0 ( Gọi là phương trình tích ) Từ đó đưa ra được f(x) = 0; g( x) = 0 h(x) = 0 là những phương trình quyen thuộc. Nghiệm của phương trình là tập hợp các nghiệm của các phương trình f(x) = 0; g( x) = 0 h(x) = 0 thuộc tập xác định • Két luận nghiệm của phương trình + Chú ý : Đôi khi dùng ẩn phụ thay thế các biểu thức chứa ẩn đưa về dạng tích với ẩn phụ. Giải phương trình với ẩn phụ, từ đó tìm nghiệm của phương trình đã cho 2) Các ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình x2 10x 21 3 x 3 2 x 7 6 ( 1) ĐKXĐ - 3 Giải (1) x 3. x 7 3 x 3 2 x 7 6 0 x 3( x 7 3) 2( x 7 3) 0 x 7 3 0 x 7 9 x 2 ( x 7 3)( x 3 2) 0 x 3 2 0 x 3 4 x 1 Thoả mãn điều kiện. Vậy phương trình có hai nghiệm
3. Ví dụ 2: Giải phương trình x x ( 2 3 2 3 4 ( 2) Giải : x Đặt 2 3 y ĐK ( y > 0 ) 1 (2) y 4 y2 1 4y (y 2)2 3 y 2 3;y 2 3 y 1 2 Phương pháp 2: áp dụng bất đẳng thức 1) Các bước giải : • Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(x) mà f(x) a; g( x) a ( a là một hằng số. Nghiệm của phương trình là các giá trị của x thoả mãn đồng thời f(x) = a và g(x) bằng a • Biến đỏi phương trình về dạng h(x) = m ( m là một hằng số ) Mà ta luôn có h( x) m hoặc h(x) m thì nghiệm của phương trình là các giá trị của x làm cho dấu dẳng thức xảy ra • áp dụng bất đẳng thức Côsi, Bunhia cốpxki v.v 2) Ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình 3x 2 6x 7 5x 2 10x 14 4 2x x 2 (1) Giải (1) 3x 2 6x 7 5x 2 10x 14 5 (x 1) 2 2 2 Mà 3(x 1) 4 5(x 1) 9 4 9 5 5 (x 1) 2 5 Nên ta có ( x+ 1)2 = 0 x + 1 = 0 x = -1 x 1 4 2 6 2 Ví dụ 2 : Giải phương trình 19 5 x 1 95 x 3x 2 3 Giải x 1 0 2 Điều kiện x 1 0 2 x 3x 2 0 x 1 4 2 6 2 Ta có 19 5 x 1 95 x 3x 2 190 + 50 + 950 = 3 nên x - 1 = 0 ; x2 - 1 = 0 và x2 - 3x + 2 = 0. Giải ra ta được x = 1
4. Ví dụ 3 : Giải phương trình x 2 3x 3,5 (x 2 2x 2)(x 2 4x 5 Giải Ta có x2 - 2x + 2 = ( x -1)2+ 1 > 0 x2 - 4x + 5 = ( x-2 )2 + 1 > 0 (x 2 2x 2) (x 2 4x 5) x 2 3x 3,5 2 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương x2 - 2x + 2 và x2 - 4x + 5 Ta có (x2 - 2x + 2) + ( x2 - 4x + 5) 2 (x 2 - 2x 2) (x 2 - 4x 5) Dấu bằng xảy ra khi (x2 - 2x + 2) = ( x2 - 4x + 5) x2 - 2x + 2 = x2 - 4x + 5 2x = 3 x = 3/2 Phương pháp 3: Chứng minh nghiệm duy nhất 1) Các bước giải • ở một số phương trình ta có thể thử tực tiếp để thấy nghiệm của chúng, ròi tìm cách chứng minh rằng ngoài nghiệm này ra không có nghiệm nào khác nữa 2) Một số ví dụ 2 2 Ví dụ 1 : Giải phương trình 2 x 3 3x 9 ( 1) Giải *x = 1 là nghiệm của (1) 2 2 * Nếu x 0 ta có 2 x 3 3x 20 3 30 9 Do đó x 0 không thể là nghiệm của (1) . Vậy nghiệm của phương trình là x = 0 2 Ví dụ 2: Giải phương trình x x 10 x x (2) Với x > 0 Giải *x = 1 là nghiệm của (2) 2 *Xét x>1 ta có xx > 1x = 1 x2 > x nên x - x2 1 không là nghiệm của phương trình (2) 2 * Xét 0 x - x2 >0 nên 10 x x > 100 = 1 2 Suy ra 10 x x > xx Vậy 0<x<1 không là nghiệm của phương trình (2) Vậy nghiệm của phương trình (2) là x = 1 Phần B : Phương trình nhiều ẩn I) Các phương pháp thường vận dụng Phương pháp1: Đưa về phương trình tích a) Các bước giải : • Đưa phương trình về dạng f1( x, y ). f2( x, y ) fn( x, y ) .= a1. a2 an. Với a1. a2 an. Z
5. • Xét mọi trường hợp có thể xảy ra để tìm được nghiệm thích hợp của phương trình b) Các ví dụ Ví dụ 1 : Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình xy - 4xy = 35 - 5y ( 1) Giải (1) ( y- 4 ) ( x + 5 ) = 15 Vì x,y N nên x + 5 5; x + 5 là ước của 15 do đó ta có x 5 5 x 5 15 x 0 x 10 Hoặc Hoặc y 4 3 y 4 1 y 7 y 5 Vậy nghiệm tự nhiên (x; y) của phương trình ( 1) là : ( 0; 7) ; ( 10; 5) Ví dụ 2 : Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình sau 2m - 2n = 1984 ( 2 ) Giải • Với m n thì 2m - 2n 0 nên đẳng thức (2) không xảy ra • Với n = 0 thì 2m - 1 = 1984 không có số tự nhiên nào thoả mãn đẳng thức này • Với m n 1 2m 2n 1984 2n (2m n ) 26.31 2n 26 n 6 m n 2 1 31 m 11 Vậy nghiệm tự nhiên của phương trình (2) là n = 6; m = 11 Phương pháp2: Nhận xét về ẩn số a) Phương pháp; trước khi bắt tay vào giải toán ta nên nhận xét xem vai trò của các ẩn, cấu trúca của ẩn để có một cách giải phù hợp • Nếu các ẩn có vai trò bình đẳng như nhau thì ta có thể giải sử x y z Hoặc ngược lại để thu hẹp miền xác định của bài toán • Nếu ẩn có cấu trúc giống nhau như luỹ thừa cùng bậc của các số nguyên liên tiếp hoặc tích của các số nguyên liên tiếp thì ta khử ẩn để đưa về dạng quen thuộc hơn hoặc ít ẩn hơn b) Ví dụ Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x4 +x2 +1 = y2 Giải Vì x2 0 với mọi x nên ( x4+ x2 + 1 ) - ( x2 + 1 ) (x2)2 (x2)2 ( x2 + 1 )2 = x4+ x2 + 1 x2 = 0 x = 0 => y = 1 Vậy nghiệm nguyên (x,y) cần tìm là (0;1) ; ( 0; -1)
6. Phần IV: Kết luận Chuyên đề “ phương pháp giải phương trình không mẫu mực” đã cung cấp cho học sinh những kiến thức cần thiết về phương pháp giải mọt số dạng toán về phương trình không mẫu mục, những kinhnghiệm tìm tòi lời giải, do đó giúp đỡ học sinh rèn luyện các thao tác tư duy, phương pháp suy luận và khả năng sáng tạo, đồng thời vẫn nêu lên hướng suy nghĩ và đường lói giải toán nhưng độc lập suy nghĩ của học sinh. Qua thực tế giảng dạy toi thấy muốn tạo chất lượng trong bộ môn toán ( đặc biệt đối với học sinh giỏi) ngoài việc cung cấp cho học sinh những kiến thức cần thiết người giáo viên phải có một ppp giảng dạy phù hợp hướng học sinh học tập bằng phương pháp độc lập suy nghĩ, tư du tìm và suy nghĩ, tư du tìm và xác định dạng toán để có phương pháp giải bài toán khoa học nhất Trên đây là một số suy nghĩ và kinh nghiệm của bản thân toi trong việc giảng dạy phần chương trinhf không mẫu mực. Do kinhnghiệm còn hạn chế nên nội dung chuyên đề chắc chắn còn nhiều thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp của đồng nghiệp