Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải các dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải các dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối

1. Phòng GD và ĐT Trường THCS Hoằng ngọc Sáng kiến kinh nghiệm “phương pháp giảI các dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối” Giáo viên: ĐỖ ĐĂNG SƠN Trường THCS HOẰNG NGỌC Năm 2010
2. Phương pháp giải các dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối Sáng kiến kinh nghiệm “phương pháp giảI các dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối” a. Đặt vấn đề I/ Lý do chọn đề tài. Đại số là bộ phận quan trọng của chương trình toán trung học cơ sở, trong đó giá trị tuyệt đối thuộc nhóm kiến thức hẹp nhưng rất quan trọng trong chương trình toán THCS cũng như PTTH. Song vì thời gian dành cho giải bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối còn ít, chủ yếu là đưa ra định nghĩa còn bài tập vận dụng lại ít, không có tính hệ thống, nên nhiều khi đem đến cho học sinh những rắc rối và không hiểu cặn kẽ loại bài toán này. Trong bốn năm được phân công giảng dạy ở bốn khối 6,7,8 và 9 tôi thấy giá trị tuyệt đối là phạm trù kiến thức hẹp , tương đối trừu tượng. đây là vấn đề mà học sinh đã được học ở chương trình lớp 6 ( đối với số nguyên ) , lớp 7 ( đối với số thực ) và tiếp tục học ở lớp 8 ( giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ) nhưng không phải là vấn đề đơn giản đối với học sinh . Khi gặp một bài toán có giá trị tuyệt đối không ít học sinh lúng túng không biết phải bắt đầu từ đâu . Điều đó cũng dễ hiểu vì tuy đã được học phần lý thuyết cơ bản, song số bài tập để cũng cố khắc sâu, bao quát kiến thức lại không nhiều , không có sức thuyết phục để lôi kéo sự hứng thú , hăng say học tập của học sinh. Xuất phát từ những lý do trên , bản thân tôi đã từng băn khoăn trăn trở với bài viết này. Tôi không có tham vọng lớn bàn về phương pháp giảng dạy Đại sốp ở trường THCS , tôi chỉ xin trình bày phương pháp giải một số dạng toán có dấu giá trị tuyệt đối đối nhằm giúp học sinh nắm bắt được kiến thức một cách chặt chẽ và có hệ thống. II/ Đối tượng nghiên cứu 1. Đối tượng : Học sinh lớp 8B, 9A trường THCS Thọ Sơn 2. Nhiệm vụ nghiên cứu : Nghiên cứu phương pháp giải một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối. III/ Nội dung 1. Lý thuyết và tính chất về giá trị tuyệt đối. 2. Phương pháp giải bài toán trong đó có chứa dấu giá trị tuyệt đối. 3. Một số dạng toán về giá trị tuyệt đối. 1
3. Phương pháp giải các dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối IV/ Phương pháp nghiên cứu Đọc và nghiên cứu tài liệu. Phương pháp thực nghiệm. Phương pháp so sánh. V/ Kế hoạch và thời gian nghiên cứu Năm 2005 : Tìm hiểu, xây dựng khung chương trình, nghiên cứu tài liệu và xây dựng đề cương. Năm 2006 – 2007 thực nghiệm và so sánh. VI/ tàI liệu tham khảo 1. SGK Toán 7, SGK Toán 8 2. Luyện giải và ôn tập Toán 7; tác giả: Vũ Dương Thụy. NXB Giáo duc; xuất bản 9/5005. 3. Nâng cao và phát triển Toán 7 ; tác giả : Vũ Hữu Bình . NXB Giáo dục; xuất bản 9/2004. 4. Luyện giải và ôn tậo Toán 8; tác giả: Vũ Dương Thụy - Nguyễn Xuân Bình - Nguyễn Ngọc Đạm – Nguyễn Hữu Thảo . NXB Giáo duc, xuất bản 9/5005. 5. Nâng cao và phát triển Toán 8 ; Tác giả : Vũ Hữu Bình . NXB Giáo dục; xuất bản 9/2004. 6. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8; tác giả : Bùi Văn Tuyên . NXB Giáo dục; xuất bản 9/2005. 2
4. Phương pháp giải các dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối B. Nội dung I/ Lý thuyết về giá trị tuyệt đối. Để giải toán chứa dấu giá trị tuyệt đối tốt học sinh cần phải nhớ và hiểu sâu sắc định nghĩa về giá trị tuyệt đối. Từ định nghĩa suy ra một số tính chất để vận dụng vào làm bài tập. 1. Định nghĩa • Giá trị tuyệt đối của số a, kí hiệu là a , là số đo của khoảng cách từ đIểm a đến điểm góc trên trục số. • Ta thường sử dụng định nghĩa dưới dạng: a nếu a 0 + Với a R thì a = - a nếu a 0. • a a a R . • a a a R . • a b a b a,b R . Dấu “=” sảy ra khi ab 0. • a b a b a,b R . Dấu “=” sảy ra khi a b 0 hoặc a b 0 . II/ phương pháp giải bài toán trong đó có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Để giải loại bài toán này giáo viên cần cho học sinh vận dụng các kiến thức về giá trị tuyệt đối ( chủ yếu là định nghĩa về giá trị tuyệt đối của một số , một biểu thức ) để đưa bài toán về bài toán trong đó không còn chứa dấu giá trị tuyệt đối , từ đó có thể tiến hành các phép toán đại số quen thuộc. 3
5. Phương pháp giải các dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối III/ Một số dạng toán về giá trị tuyệt đối . 1. Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức 1.1. Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức A = 3x 5 x 1 2 3 x tại x=5 Đối với bài toán này học sinh phải biết thay x=5 vào biểu thức A , sau đó sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để bỏ giá trị tuyệt đối, rồi tính giá trị của biểu thức A. Giải: Với x=5 ta có A 3.5 5 5 1 2 3 5 = 3.5 5.4 2.2 = 15 20 4 31 Vậy khi x=5 thì A=31. 1.2. Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức 1 B = 2x2 4x 1 với x 2 1 Với loại bài toán này học sinh sẽ gặp lúng túng và có thể thay x= vào biểu thức 2 và thực hiện phép tính , như vậy là thiếu giá trị của biểu thức B. Do vậy giáo viên cần 1 1 1 phải lưu ý cho học sinh : Với x thì x= hoặc x=- , từ đó sẽ có hai giá trị của biểu 2 2 2 thức B tương ứng. 1 1 1 Giải: Với x thì x= hoặc x= . Do đó : 2 2 2 2 1 1 1 • Với x= ta có: B = 2 4. 1 2 2 2 1 1 = 2 1 . 2 2 2 1 1 1 • Với x=- ta có: B = 2 4 1 2 2 2 1 7 = 2 1 . 2 2 1 1 7 Vậy với x thì B = - , B = 2 2 2 4
6. Phương pháp giải các dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối 2. Dạng 2: Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Dạng toán này rất quan trọng , vì nếu học sinh không thạo dạng toán này sẽ không làm tốt các dạng toán sau. Chính vì vậy giáo viên cần khắc sâu cho học sinh: Giá trị tuyệt đối của một biểu thức bằng chính nó ( nếu biểu thức không âm ), hoặc bằng một biểu thức đối của nó ( nếu biểu thức âm ). Do đó khi bỏ đấu giá trị tuyệt đối của một biểu thức ta cần xét giá trị của biến làm cho biểu thức không âm, hay âm. Dấu của biểu thức thường được viết trong bảng xét dấu. 2.1. Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức M = x 1 x 3 ở bà toán này khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối cần phải xét hai trường hợp của biến x làm cho x 3 0; x 3 < 0. Giải: x-3 nếu x 3 0 x-3 nếu x 3 Ta có x 3 = -(x-3) nếu x 3 <0 3-x nếu x<3 Do đó : • Với x 3 thì M = x 1 (x 3) = x 1 x 3 2 • Với x<3 thì M = x 1 (3 x) x 1 3 x 2x 4 2 nếu x 3 Vậy M = 2x – 4 nếu x<3 2.2. Ví du 2: Rút gọn biểu thức N x 2 x 3 ở đây biểu thức N có tới hai biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối , do đó để đơn giản trong trình bày giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh lập bảng xét dấu. 5
7. Phương pháp giải các dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối Giải: Bảng xét dấu x -3 2 x-2 0 + x+3 0 + + x-2 nếu x 2 x 2 = 2-x nếu x 2 thì N = x 2 x 3 2x 1 -2x – 1 nếu x 2 Hoặc giáo viên có thể cho học sinh lập bảng biến đổi sau: x 3 2 x 2 2-x 2-x 0 x-2 x 3 -(x+3) 0 x+3 x+3 N= x 2 + x 3 -2x - 1 5 2x+1 6
8. Phương pháp giải các dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối -2x – 1 nếu x 2 3. Dạng 3: Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Đối với dạng toán này, để vẽ đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối học sinh cần biết bỏ dấu giá trị tuyệt đối, rồi vẽ đồ thị như hàm số thông thường. 3.1. Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y x Giải: Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số ta có: x nếu x 0 y x = x nếu x < 0 + Với x 0 thì đồ thị hàm số y = x là tia phân giác của góc phần tư I. + Với x 0 thì đồ thị hàm số y = x là tia phân giác của góc phần tư II. y 1 -1 O 1 x Đồ thị của hàm số y x gồm hai tia phân giác của góc phần tư I và phần tư II như hình vẽ. 3.2. Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y 1 y ( x x) 2 Giải: 1 + Với x 0 thì y=x . Đồ thị là tia OA A , + Với x<0 thì y=0. Đồ thị là tia Ox, x O 1 x Vậy đồ thị của hàm số gồm hai tia Ox, và tia OA như hình vẽ. 7
9. Phương pháp giải các dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối 3.3. Ví dụ 3: vẽ đồ thị hàm số 1 y (3x x ) 2 Giải: x nếu x<0 1 Ta có : y (3x x ) = y 2 2x nếu x 0 2 M + Với x 0 thì đồ thị hàm số y = 2x là tia OM, + Với x< 0 thì đồ thị hàm số y = x là tia ON, -1 O 1 x 1 Vậy đồ thị hàm số y (3x x ) gồm hai tia -1 2 N OM và ON như trên hình vẽ. Qua ba ví dụ trên giáo viên phải chỉ cho học sinh thấy được, khi vẽ đồ thị hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối cũng phải bỏ dấu giá trị tuyệt đối để đưa về các hàm số đã được học. 4. Dạng 4: Tìm giá trị của biến trong đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối ( giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối) ở dạng này giáo viên cần lưu ý cho học sinh các dạng cơ bản sau: • f (x) a ( a 0 ) f (x) a hoặc f (x) a • f (x) g(x) f (x) g(x) hoặc f (x) g(x) • f (x) g(x) a Ta phải xét hai trường hợp : + Nếu f (x) 0 thì f (x) f (x) + Nếu f (x) 0 thì f (x) f (x) • f (x) g(x) h(x) ( ở dạng này phải lập bảng xét dấu để bỏ giá trị tuyệt đối như ở dạng 2 ) Ta xét các ví dụ sau: 8
10. Phương pháp giải các dạng toán chứa dấu giá trị tuyệt đối 4.1. Ví dụ 1: Tìm x, biết ( giải phương trình ) : x 2 4 Bài toán này thuộc dạng thứ nhất. Gải: x 2 4 x + 2 = 4 hoặc x + 2 = - 4 x = 2 x = - 6 Vậy x = 2, x = - 6 ( Phương trình có nghiệm: x 2 , x 6 ) 4.2. Ví dụ 2: Tìm x, biết ( giải phương trình ): 2x 1 3x 2 Bài toán này thuộc dạng thứ hai. Gải: 2x 1 3x 2 2x + 1 = - 3x +2 hoặc 2x + 1 = -(-3x + 2) 5x = 1 - x = - 3 1 x x = 3 5 1 1 Vậy x , x = 3. ( Phương trình có nghiệm: x , x 3 ) 5 5 4.3. Ví dụ 3: Tìm x, biết ( giải phương trình ): 2 x 3 2x 1 6 Bài toán này thuộc dạng thứ ba , nên giáo viên lưu ý học sinh phải xét hai trường hợp. Gải: 2 x 3 2x 1 6 (*) Nếu x – 3 0 hay x 3 thì x 3 x 3 Từ (*) ta có : 2(x – 3) – 2x +1 = 6 2x – 6 – 2x +1 = 6 - 5 = 6 ( vô lý ) Nếu x – 3 < 0 hay x < 3 thì x 3 (x 3) 3 x 9