Sáng kiến kinh nghiệm Phép toán tọa độ trong không gian

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phép toán tọa độ trong không gian

1. Phương pháp tọa độ hitech Page 1 8/31/20221 Bạn cú thể chưa hiểu biết (hoặc chưa kịp hiểu biết) về vecto (hỡnh phẳng) Khụng sao! Chỳng ta sẽ cựng nhau ”lại từ đầu” bởi tài liệu này. A. Đặt vấn đề: I. mở đầu: Để giải các bài tập hình học không gian ở lớp 11, vẽ hình đúng và đẹp là yêu cầu có tính bắt buộc của cấu trúc một bài giải; Tìm ra lời giải cho bài toán phụ thuộc rất nhiều vào việc chọn được một hình vẽ hợp lý, dễ nhìn. Đáp ứng được yêu cầu này đòi hỏi học sinh phải có đầy đủ các kiến thức cơ bản của môn hình học không gian lớp 11; Thêm vào đó học sinh cũng cần nắm được các quy tắc cơ sở và phải có một năng khiếu nhất định về hình họa. Nhưng đây lại là một hạn chế còn phổ biến ở phần đông các em học sinh hiện nay. Khả năng vẽ hình và sự tưởng tượng về hình khối không gian của các em còn kém. Phương pháp véc tơ và tọa độ một phần khắc phục được các hạn chế trên đây. Hơn nữa, trình bày lời giải theo phương pháp này thường theo một lược đồ nhất định, đơn giản và dễ nhớ. Tuy nhiên, chính điều này lại là một mặt hạn chế của phương pháp. Nghĩa là phương pháp chỉ được sử dụng hữu hiệu trong những dạng toán nhất định theo những dạng hình hình học cụ thể . Bài viết này nhằm giới thiệu mặt - ưu việt của nó; Giúp số đông các em học sinh còn yếu về vẽ hình minh họa trong việc ôn tập và ôn thi vàoĐại học, Cao đẳng. Phần lý thuyết và ví dụ minh họa được trình bày theo hệ thống của sách giáo khoa hình học lớp 12, phần bài tập tham khảo tác giả sưu tầm từ các đề thi vào Đại học và Cao đẳng hàng năm. Các bạn đồng nghiệp có thể lấy làm tài liệu tham khảo. Tác giả rất mong nhận được góp ý xây dựng của bạn đọc. II. Thực trạng vấn đề Đang được nghiên cứu 1. Thực trạng:
2. Phương pháp tọa độ hitech Page 2 8/31/20222 Trong chương trình hình học phổ thông sách giáo khoa (SGK); Lớp 10 trình bày về véc tơ và tọa độ trong mặt phẳng, lớp 11 là chương trình hình học không gian ( kế tiếp và chi tiết của chương trình lớp 9). Hình học giải tích lớp 12, phần hình học không gian chủ yếu là các kiến thức cơ bản về phương trình đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. Phương pháp tọa độ cho việc giải các bài toán hình học không gian của lớp 11 được đặt ra chỉ dưới dạng giới thiệu một vài bài tập đơn giản, chưa đủ để học sinh hình thành được kỹ năng giải toán theo phương pháp này. Vì vậy, cần phân phối thêm vào chương trình chính khóa hoặc ngoại khóa các buổi ôn tập chuyên đề này, nhằm trang bị thêm cho học sinh một phương pháp để giải một số bài toán hình không gian của lớp 11 trong các đề thi tuyển Đại học và Cao đẳng như đã nói ở trên. Mặt khác, phương pháp này sử dụng các phép toán giải tích để nghiên cứu hình học vừa là sự gắn kết giữa chương trình hình học hai lớp 11 và12 vừa giúp học sinh làm quen, tiếp cận dần với toán học hiện đại ở các bậc học tiếp sau này 2. Biện pháp giải quyết và hiệu quả Từ thực trạng trên, tôi đã cải tiến giờ dạy của mình bằng cách giới thiệu cho học sinh một cách chuẩn mực về lý thuyết phương pháp tọa độ. Thời điểm là vào khoảng sau khi học xong khái niệm tích có hướng của hai véc tơ. Các bài tập minh họa sẽ được cho rải vào các buổi ngoại khóa sau đó. Và đảm bảo yêu cầu tăng dần về việc phát huy tính ưu việt của phương pháp bằng cách thay đổi về các dạng câu hỏi trong từng bài tập. Tôi đã sử dụng phương pháp này cho tất cả các lớp 12 do tôi dạy toán trong nhiều khóa học liên tục. Nhận thấy, học sinh rất hứng thú trong việc tiếp nhận phương pháp và điều đáng nói là các em vận dụng rất tốt vào các bài giải, góp một phần vào nâng cao kết quả điểm trong các kỳ thi Đại học và Cao đẳng hàng năm. Khi thực hiện truyền thụ chuyên đề này cho học sinh tôi thực hiện theo đúng các bước như đã nêu trong phần nội dung. Phần kiến thức phụ trương kèm theo có thể coi như một chuyên đề tổng hợp ôn tập hình giải tích phần hình học không gian. b. nội dung: • nội dung cơ bản:
3. Phương pháp tọa độ hitech Page 3 8/31/20223 № 1. Tóm tắt lý thuyết về tọa độ véc tơ trong không gian: 1.1. Véc tơ trong không gian 1.2. Tọa độ trong không gian 1.3. Tích có hướng của hai véc tơ № 2. Một số ứng dụng của các phép toán tọa độ trong không gian № 3. Giải một số bài toán bằng phương pháp tọa độ 3.1. Sơ lược về phương pháp tọa độ (Nhận dạng bài toán và Lược đồ bài giải) 3.2. Các bài toán và hướng dẫn lời giải. № 4. Bài tập tham khảo • phụ trương p.1. Tóm tắt lý thuyết về phương trình đường thẳng và mặt phẳng p.2. Các dạng bài toán về phương trình mặt phẳng và đường thẳng № 1. tóm tắt lý thuyết về tọa độ trong không gian
4. Phương pháp tọa độ hitech Page 4 8/31/20224 1.1. véc tơ trong không gian *Một số khái niệm và phép toán về véc tơ trong không gian được giữ nguyên như véc tơ trong mặt fẳng. Tuy vậy để giúp các em học sinh trong việc ôn tập lại các kiến thức cũ, đồng thời tiếp thu kiến thức mới một cách có hệ thống, các khái niệm đó vẫn được nhắc lại trong phần lý thuyết này dưới dạng tóm tắt I. Các định nghĩa: 1. Định nghĩa véc tơ: • Đoạn thẳng AB, quy ước chiều " từ A đến B " ta được một véc tơ AB, ký hiệu AB  • Véc tơ không: vecto_không là véc tơ dạng AA , ký hiệu 0 2. Phương, hướng, độ dài véc tơ: • Phương của AB là ph ương (song song) của đường thẳng AB • Hướng (chiều) của AB là hướng "từ A đến B", vectơ_ không quy ước là cùng chiều với mọi véc tơ   • Độ dài của AB là độ dài đoạn thẳng AB, ký hiệu AB 3. Hai véc tơ bằng nhau: Nếu chúng có cùng hướng và cùng độ dài 4. Xác định véc tơ:  + Với mỗi véc tơ v và một điểm A, tồn tại duy nhất điểm B sao cho AB = v + - - - - - - - - - - , tồn tại vô số các cặp điểm (A, B) sao cho AB = v 5. Phép cộng, trừ hai véc tơ:    ( Quy tắc 3 điểm ) • u + v = AB + BC AC  • u v = AB AC CB 6. Phép nhân một số với một véc tơ:    k. v = w ; ( w cùng chiều v nếu k 0, ngược chiều nếu k < 0 và w k . v ) 7. Tích vô hướng của hai véc tơ: u.v u . v .cos u,v 1   2 8. Diện tích tam giác: S AB2.AC2 AB.AC (*) ABC 2 II. Véc tơ đồng phẳng: *Khái niệm tương tự trong mặt fẳng: • Hai véc tơ cùng phư ơng: u // v  a, b R: au + b v = 0 - Trường hợp riêng: u // v , u và v cùng khác 0  k R: u = k v
5. Phương pháp tọa độ hitech Page 5 8/31/20225  - Trong mặt fẳng: Nếu u , v không cùng ph ương thì mọi véc tơ w bất kỳ trong mặt fẳng đều có thể biểu diễn được qua u và v . Nghĩa là  a, b R: w = a u + b v , (cặp số a, b là duy nhất). *Khái niệm riêng trong không  gian: • Ba véc tơ đồng fẳng: u , v , w Nếu chúng cùng nằm trên một mặt fẳng, hoặc trên các mặt fẳng song song - Trường hợp riêng: + Hai véc tơ bất kỳ thì đồng fẳng + Ba véc tơ, trong đó có hai véc tơ cùng fương thì đồng fẳng + , véc tơ 0thì đồng fẳng - Đ. lý1:   + Nếu u , v , w đồng fẳng  a, b, c R: au + b v + c w = 0 + , và không có hai véc tơ nào cùng fương thì một trong ba véc tơ biểu diễn được theo hai véc tơ còn lại. - Đ. lý2: Nếu u , v , w không đồng fẳng, thì mọi véc tơ x bất kỳ trong không gian đều biểu diễn được qua chúng. Nghĩa là a, b, c R: x = a u + b v + c w 1.2. tọa độ trong không gian * Các khái niệm vè tọa độ véc tơ, tọa độ điểm, độ dài véc tơ Và các phép toán cộng, trừ hai véc tơ, nhân một số với một véc tơ, tích vô hướng của hai véc tơ, Hoàn toàn tương tự như tọa độ trong mặt fẳng. Từ đây, các em có thể tự ôn tập lại các kiến thức về tọa độ trong mặt fẳng. I. Các định nghĩa: z 1. Hệ tọa độ Đề-các : k Oxyz trong đó Ox, Oy, Oz là ba đường thẳng vuông j i O y góc với nhau từng đôi một. i , j , k là các véc tơ đơn x vị tương ứng trên ba trục Ox, Oy, Oz 2. Tọa độ : • Véc tơ v được gọi là có tọa độ a, b, c và viết là v = (a; b; c) hoặc v (a; b; c). Nếu v = a i + b j + c k • Véc tơ không: 0 = ( 0; 0; 0)  • Tọa độ điểm: M = (a; b; c) OM = (a; b; c) • Tọa độ véc tơ MN = (xN xM ; yN yM ; zN zM ) I. Các phép toán:
6. Phương pháp tọa độ hitech Page 6 8/31/20226 Ta giả sử u =(x1; y1; z1) , v =(x2; y2; z2) x1 x2 1. Hai véc tơ bằng nhau : u = v y1 y2 z z  1 2 2. Cộng , trừ hai véc tơ : u v = w ( x1 x2 ; y1 y2; z1 z2)  3. Nhân một số với một véc tơ : k R , v = ( x; y; z ) k. v = w ( kx; ky; kz) 4. Độ dài véc tơ : v = ( x; y; z ) v = x2 y2 z2 5. Tích vô hướng của hai véc tơ: u . v = x1. x2 + y1.y2+ z1.z2 x .x y .y z .z 6. Góc giữa hai véc tơ : cos ( u , v ) = 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 x1 y1 z1 . x2 y2 z2 1.3. tích có hướng của hai véc tơ * Đây là một phần kiến thức mới hoàn toàn khác với kiến thức trong hình fẳng. Hơn nữa khái niệm này là cơ sở để tiếp tục phát triển các kiến thức cơ bản của hình học giải tích trong không gian. Vì vậy, yêu cầu đối với học sinh fần này cần nắm chính xác định nghĩa khái niệm và kỹ năng tính nhanh tọa độ véc tơ có hướng cùng với khả năng vận dụng các ứng dụng của nó trong giải toán. 1. Định nghĩa: Ta gọi tích có hướng của hai véc tơ: u =(x1; y1; z1)  và v =(x2; y2; z2) là một véc tơ w .  y z z x x y 1 1 1 1 1 1 Và ký hiệu là: w = u,v = ; ; y2 z2 z2 x2 x2 y2 u 5; 2; 1 Ví dụ : u,v 0; 13;14 v 3; 4; 2 2. Tính chất: Hai véc tơ cùng fương: 1. u // v u,v = 0. Tích có hướng vuông góc với mỗi véc tơ thành fần: 2. u,v  u , u,v  v 3. u,v = u . v .sin . Trong đó là góc giữa hai véc tơ u và v
7. Phương pháp tọa độ hitech Page 7 8/31/20227 № 2. một số ứng dụng của các phép toán tọa độ * Phần này được trình bày một cách tóm tắt theo kiểu liệt kê, những ứng dụng của các phép toán tọa độ dưới dạng công thức đã được công nhận mà không chứng minh. Mỗi ứng dụng có kèm theo một ví dụ minh họa trực tiếp, có lời giải hoặc hướng dẫn cụ thể . Ví dụ đơn giản, lời giải ngắn gọn , dễ hiểu và phù hợp với mọi đối tượng học sinh 2.1. Tính độ dài đoạn thẳng : 2 2 2 MN = x N xM yN yM zN zM • Ví dụ: Cho M = (1; 2; 0) và N = ( 3; 2; 4) a) Tính độ dài MN b) Tìm điểm I Oz và cách đều M, N • Giải: 2 a) MN = 22 42 4 = 6   b) I Oz I(0; 0; k) IM = 1; 2; k , IN= 3; 2; 4 k . IM = IN 1+ 4 + k2 = 9 + 4 +(4+k)2 k = 3 I = 0; 0; 3 2.2. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng hoặc hai đường thẳng song song: A, B, C thẳng hàng AB // AC • Ví dụ: Các điểm A(1; 2; 0), B(2; 1; 1), C( 0; 3; 5), D( 4; m+ 5; 2n+1) a) Chứng minh rằng A, B, C không thẳng hàng . b) Tìm các giá trị của m và n sao cho AB//CD • Giải:   a) Ta có: A B (1; 3; 1), AC ( 1; 5; 5 ). Tỉ số (1:3: 1) ( 1:5:5) đpcm b) Ta có AB (1; 3; 1), CD ( 4; m + 2; 2n 4), với A, B, C không thẳng hàng. 4 m 2 2n 4 Vậy AB//CD = = m = 10 và n = 0 1 3 1 2.3. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc: AB  CD AB .CD = 0 • Ví dụ: Trong hệ Oxyz. Cho các điểm A(1; 2; 0), B(2; 1; 1), C( 0; 3; 5). a) Tìm trên trục Oz điểm M sao cho tam giác ABM vuông tại A . b) Tìm điểm O' là hình chiếu vuông góc của O trên mf(ABC) • Giải: