Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển tư duy từ một bài toán trong sách giáo khoa Toán 9

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển tư duy từ một bài toán trong sách giáo khoa Toán 9

1. Phát triển tư duy từ một bài toán trong sgk toán 9 I. Đặt vấn đề: II. Nội dung: Bài toán 1: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M, N. Gọi H là giao điểm của BM và AN. Chứng minh rằng SH vuông góc với AB. S N B O P A M Bài giải: ( hình vẽ 1) H Gọi P là giao điểm của SH và AB. Ta có SM  BM ( vì gó AMB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Tương tự ta có: SB  HN Như vậy SM và HN là 2 đường cao của tam giác SBH và A là trực tâm SH  AB tại P Trong kết quả bài toán 1 ta thấy rằng A là trực tâm của tam giác SBH nên SH BP ( P SH) thì B, A, P thẳng hàng từ đó ta có bài toán sau: Bài toán 2: Cho đường tròn tâm O đường kính AB và S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M và N. Gọi H là giao điểm của BM và AN. Chứng min B, A, P thẳng hàng ( trong đó P là hình chiếu của A lên SH). S N B O P A M H
2. Bài giải: Do P là hình chiếu của A lên SH nên AP  SH theo chứng minh như bài toán 1 ta có AB  SH. Từ đó suy ra B, A, P thẳng hàng. Từ kết quả bài toán 1 và bài toán 2 ta thấy các đường tròn ngoại tiếp tam giác SMB và tam giác HNB cắt nhau tại P. Từ đó ta có bài toán khó hơn chút xíu. Bài toán 3: Cho đường tròn tâm O đường kính AB và S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M và N. Gọi H là giao điểm của BM và AN.Các đường tròn ngoại tiếp tam giác SMB và HNB cắt nhau tại điểm thứ 2 P. Chứng minh H, P, S thẳng hàng và B, A, P thẳng hàng. Bài giải: ( Hình vẽ 2) Sử dụng kết quả bài toán 1 ta có các đường tròn ngoại tiếp tam giác SMB và HNB lần lượt nhận SB và BH làm đường kính. Nối H với P, S với P Ta thấy SHB = HPB =900 ( Góc nội tiếp chắn nửa đưòng tròn ) H, P, S thẳng hàng. Vì BP  SH BP phải đi qua A B, A, P thẳng hàng. Sau khi đã chứng minh đựơc bài toán 3. Ta nhận thấy đường tròn ngoại tiếp tam giác AMH cũng phải đi qua P, từ đó ta có bài toán mới: Bài toán 4: Cho đường tròn tâm O đường kính AB và S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M và N. Gọi H là giao điểm của BM và AN. Chứng minh rằng các đưòng tròn ngoại tiếp tam giác SMB, HNB cũng đi qua P. Bài giải: Sử dụng kết quả bài toán 3 ta có: Các đường tròn ngoại tiếp tam giác SMB và HNB cùng đI qua điểm P ( *). Mặt khác, ta thấy 2 điểm P, M cùng nhìn đoạn thẳng AH dưới 1 góc vuông. Cho nên 4 điểm P, H, M, A cùng thuộc một đường tròn đường kính AH. Suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác AMH cũng đi qua điểm P ( ). Từ (*) và ( ) suy ra điều phải chứng minh. Sau khi học đến phần tứ giác nội tiếp ta lại các cách suy luận khác. Dựa vào bài toán 1 ta sẽ chứng minh được các tứ giác AMHP, APSN, NSHM, BHQN nội tiếp đường tròn. Từ đó ta có bài toán sau Bài toán 5: Cho đường tròn tâm O đường kính AB và S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M và N. Gọi H là giao điểm của BM và AN. Chứng minh tứ giác BHPN nội tiếp đường tròn ( P là giao đỉêm của AB và SH ). Bài giải: Dựa vào bài toán 1 ta chứng minh được SH  AB tại P do đó P, N cùng nhìn BH dưới một góc vuông nên 4 điểm B, H, P, N cùng thuộc một đường tròn đường kính BH hay tứ giác BHPN nội tiếp một đường tròn.
3. Từ bài toán 5 ta có: NPH + B = 1800 mà NPH + SPN = 1800 : suy ra B = SPN từ đó ta có bài toán mới. Bài toán 6: Cho đường tròn tâm O đường kính AB và S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M và N. Gọi H là giao điểm của BM và AN. Chứng minh rằng B= SPN ( P là giao điểm của AB và SH ). Bài giải: theo bài toán 5 ta chứng minh được tứ giác BHPN nội tiếp đường tròn suy ra B + NPH = 1800 (1) mặt khác NPH + SQN = 1800 (2) . từ (1) và (2) suy ra điều phảI chứng minh. Dựa vào bài toán 1 ta chứng minh được các tứ giác SPAN, AMHP nội tiếp. Suy ra SP. SP SB SH = SA . SM = . Từ đó ta có bài toán khó hơn. SN SH Bài toán 7: Cho đường tròn tâm O đường kính AB và S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M và N. Gọi H là giao điểm của BM SP SB và AN. Chứng minh rằng = . ( P là giao điểm của AB và SH ). SN SH Bài giải: dựa vào bài toán 1 ta chứng minh được các tứ giác SPAN, APHM nội tiếp, SP SB do đó SP . SH = SA . SM = SN . SB = . SN SH Hoặc dựa vào bài toán 5 ta chứng minh được tứ giác BNPH nội tiếp suy ra SP . SH = SN . SB suy ra điều phải chứng minh. Từ bài toán 1 ta có AB  SH suy ra d  A tại A do đó d là đường tiếp tuyến của đường tròn tâm O. từ đó ta có bài toán mới. Bài toán 8: Cho đường tròn tâm O đường kính AB và S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M và N. Gọi H là giao điểm của BM và AN. Qua A kẻ đường thẳng d song song với SH. Chứng minh rằng d là tiếp tuyến của đường tròn tâm O. Hướng dẫn: qua bài toán 1 ta chứng minh được AB  SH mà d // SH suy ra d  AB tại A. do đó d là tiếp tuyến xcủa đường tròn tâm O. Qua bài toán 1 ta chứng minh được các tứu giác SNMH, SPAN, APHM, nội tiếp từ đó suy ra NPA = MSN = NAM = MPA. Hay PB là tia phân giác của góc MPN. Từ đó ta có bài toán mới Bài toán 9: Cho đường tròn tâm O đường kính AB và S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M và N. Chứng minh rằng PB là tia phân giác của góc NPM.