Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển năng lực của học sinh THCS thông qua việc giải toán bất đẳng thức

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển năng lực của học sinh THCS thông qua việc giải toán bất đẳng thức

1. Mục lục Phần I: Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài 2. Mục đích nghiên cứu 3. Phương pháp nghiên cứu 4. Nhiệm vụ của đề tài 5. Phạm vi đề tài 6. Đối tượng nghiên cứu và phương pháp tiến hành 7. Dự kiến kết quả của đề tài Phần II: Nội dung phát triển năng lực, tư duy của học sinh THCS thông qua việc áp dụng giải toán bất đẳng thức trong đại số 1. Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức 2. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong đại số 3. Một số ứng dụng của bất đẳng thức Phần III: Thực nghiệm sư phạm Phần IV: Kết luận Phần V: Tài liệu tham khảo 1
2. A. Mở đầu 1) Lý do chọn đề tài. Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí. Toán học không chỉ cung cấp cho học sinh (người học Toán) những kỹ năng tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khả năng tư duy lôgic, một phương pháp luận khoa học. Trong việc dạy học Toán thì việc tìm ra những phương pháp dạy học và giải bài tập Toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc, hệ thống bài tập, sử dụng đúng phương pháp dạy học để góp phần hình thành và phát triển tư duy của học sinh. Đồng thời qua việc học Toán học sinh cần được bồi dưỡng, rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các thao tác tư duy để giải các bài tập Toán trong đó có các bài toán về bất đẳng thức cũng là một trong những bài toán hay giúp học sinh phát huy cao độ tính tư duy, trí tuệ cho học sinh. Tuy nhiên giải toán bất đẳng thức là bài toán khó vì phạm vì kiến thức rộng, đặc biệt là với học sinh T.H.C.S. Là giáo viên dạy ở THCS tôi thấy thực trạng khi dạy toán bất đẳng thức đó là: - Giáo viên khi dạy về bất đẳng thức chỉ chữa bài tập là xong, ít khai thác, phân tích đề tài mở rộng bài toán mới dẫn đến khi học sinh gặp bài toán khác một chút là không giải được. - Học sinh thường ngại học toán bất đẳng thức vì kiến thức không liền mạch, phương pháp giải hạn chế, các bài toán bất đẳng thức thường khó, phải áp dụng các kiến thức khó như: quy nạp toán học, phản chứng, nên học sinh hay ngại và học sinh chưa vận dụng được toán bất đẳng thức vào để giải các bài toán khó như cực trị, hàm số, Vì vậy: Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức là cần thiết. Trong những năm học tập, giảng dạy ở trường THCS tôi đã học hỏi, tích luỹ được một số kiến thức về toán bất đẳng thức xin được trình bày dưới góc độ nhỏ. 2) Mục đích nghiên cứu. a. Đối với giáo viên: - Nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ cho quá trình giảng dạy. - Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức. b. Đối với học sinh: - Giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải bài tập về chứng minh bất đẳng thức nói riêng. Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao năng lực học môn toán giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo và làm công cụ giải quyết một số bài tập có liên quan đến bất đẳng thức. - Gây được hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sách tham khảo, giúp học sinh tự giải được một số bài tập. - Giải đáp những thắc mắc, sửa chữa những sai lầm hay gặp khi giải toán bất đẳng thức trong quá trình dạy học. - Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp cơ bản và vận dụng thành thạo các phương pháp đó để giải bài tập. Thông qua việc giải các bài toán bất đẳng thức giúp học sinh thấy rõ mục đích của việc học toán và học tốt hơn toán bất đẳng thức. 3) Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết thông qua SGK, tài liệu tham khảo của học sinh tại trường. - Nghiên cứu qua việc rút kinh nghiệm, học hỏi thầy cô giáo, đồng nghiệp. - Sử dụng phương pháp phân tích tổng hợp. 4) Nhiệm vụ của đề tài. 2
3. Trong đề tài này đưa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh THCS. Trang bị cho học sinh một số phương pháp giải toán bất đẳng thức, áp dụng để làm bài tập. Rút ra một số nhận xét và chú ý khi làm từng phương pháp. Chọn lọc, hệ thống một số dạng bài tập hay gặp cho phù hợp với từng phương pháp giải, cách đổi biến. Vận dụng giải toán bất đẳng thức vào giải toán cực trị, giải một số phương trình dạng dặc biệt. 5) Phạm vi đề tài Phát triển năng lực tư duy của học sinh thông qua giải toán bất đẳng thức đối với học sinh lớp 8 và lớp 9. 6) Đối tượng nghiên cứu và phương pháp tiến hành Đề tài áp dụng cho học sinh lớp 8, lớp 9 và trong các giờ luyện tập, ôn tập cuối kỳ, cuối năm, kỳ thi học sinh giỏi và thi tuyển vào THPT. Phương pháp tiến hành: Học sinh có kiến thức cơ bản, đưa ra phương pháp giải, bài tập áp dụng, sai lầm hay gặp, bài tập tự giải ( Học sinh về nhà tự làm ) 7) Dự kiến kết quả của đề tài. Khi chưa thực hiện đề tài này: Học sinh chỉ giải được những bài toán đơn giản, hay mắc sai lầm, hay gặp khó khăn, ngại làm bài tập về bất đẳng thức. Nếu thực hiện được đề tài này: Học sinh có hứng thú khi giải toán bất đẳng thức, làm bài tập tốt hơn, tự giải quyết được các bài tập bất đẳng thức có dạng tương tự, hạn chế được rất nhiều sai lầm khi giải toán bất đẳng thức. 3
4. B Nội dung áp dụng giải toán bất đẳng thức trong đại số ở trường THCS. I/ Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức. 1. Định nghĩa: Cho 2 số a và b ta nói: a lớn hơn b, kí hiệu: a > b a - b > 0. a nhỏ hơn b, kí hiệu: a b b b, b > c a > c. 2.3. Tính chất đơn điệu của phép cộng: Cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức: a > b a + c > b + c. 2.4. Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho: a > b, c > d a + c > b + d. Chú ý: không được trừ từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều. 2.5. Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ. Nếu a > b, c > d thì a - c > b - d 2.6. Tính chất đơn điệu của phép nhân: a) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương. a > b, c > 0 a.c > b.c b) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm. a > b, c b 0, c > d 0 thì ac > bd. 2.8. Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức a > b > 0 an > bn. a > b an > bn với n = 2k ( k Z). 2.9. So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dương Với m > n > 0: - Nếu a > 1 thì am > an. - Nếu a = 1 thì am = an. - Nếu 0 b > 0 hoặc a b) ta còn gặp các bất đẳng thức không chặt (a b) tức là a > b hoặc a = b. Trong các tính chất nêu trên nhiều tính chất dấu “>” (hoặc dấu “ <”) có thể thay bởi dấu “ ” ( hoặc dấu “ ”) 3. Các bất đẳng thức cần nhớ. 3.1. a2 0, -a2 0. Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0. 3.2. a 0. Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0. 3.3. - a a a . Dấu đẳng thức xảy ra khi a = 0. 3.4. a b a + b . Xảy ra dấu đẳng thức khhi ab 0. 4
5. 3.5. a b a - b . Xảy ra dấu dẳng thức khhi ab 0; a b . (Các điều kiện này còn có thể diễn đạt lại là a b 0 hoặc a b 0). Chú ý: Một số bất đẳng thức quan trọng: a/ a2 + b2 2ab. a b b/ ( )2 ab hay (a + b)2 4ab (Bất đẳng thức Cô si). 2 1 1 1 c/ + với a; b > 0. a b a b a b d/ + 2 với ab > 0. b a e/ (ax + by)2 (a2 + b2).(x2 + y2). (Bất đẳng thức Bunhia - Côpxki) II. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong đại số 1. Phương pháp dùng định nghĩa 1.1 Cơ sở toán học: Để chứng minh A > B ta chứng minh A - B > 0. Để chứng minh A 0; b > 0. Chứng minh rằng: . 2 2 Giải 2 a 3 b3 a b a b a 2 ab b 2 a b 3 Xét hiệu: A = 2 2 2 8 5
6. 2 2 a b 2 2 a 2ab b a ab b 2 4 a b 4a 2 4ab 4b 2 a 2 2ab b 2 2 4 3 a b a b 2 . 8 Vì a > 0; b > 0; (a - b)2 0 nên A 0. 2 a 3 b3 a b Vậy . 2 2 1.3. Bài tập tự giải. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 2 a 2 b 2 a b 1/ . 2 2 2/ x3 + 4x + 1 > 3x2 với x 3. 3/ Cho a + b = c + d. Chứng minh rằng: c2 + d2 + cd 3ab. 1 1 2 4/ Với a b 1 thì . 1 a 2 1 b 2 1 ab 2. Phương pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức. 2.1. Cơ sở toán học. - Xuất phát từ các bất đẳng thức đã biết vận dụng các tính chất của bất đẳng thức để suy ra bất đẳng thức phải chứng minh. - Thường là áp dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức. (Đã nêu ở phần trên) 2.2 Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Cho a + b > 1. Chứng minh a4 + b4 > 1 . 8 Giải Ta có a + b > 1 > 0. (1) Bình phương 2 vế của (1) ta được: (a + b)2 > 1 a2 + 2ab + b2 > 1. (2) Mặt khác: (a - b )2 0 a2 - 2ab + b2 0. (3) 1 Cộng từng vế của (2) và (3) ta được: 2(a2 + b2) > 1 (a2 + b2) > . (4) 2 Bình phương hai vế của (4) ta được: a4 + 2a2b2 + b4 > 1 . (5) 4 Mặt khác: (a2 - b2)2 0 a4 - 2a2b2 + b4 0. (6) Cộng từng vế của (5) và (6) ta được: 2(a4 + b4) > 1 . Hay a4 + b4 > 1 . 4 8 Ví dụ 2: Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 + + + + . a b c b c a c a b a b c Giải Xét 1 + 1 với a + b - c > 0; b + c - a > 0. a b c b c a 1 1 1 4 áp dụng bất đẳng thức Cô si cho x; y > 0, ta có: + . x y xy x y 6
7. 1 1 4 2 Vì vậy ta được: + = a b c b c a 2b b 1 1 2 Tương tự ta có: + b c a c a b c 1 1 2 + c a b a b c a Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức rồi chia cả hai vế cho 2 ta được: 1 1 1 1 1 1 + + + + . a b c b c a c a b a b c Dấu bằng xảy ra khi a = b = c. Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu a 2 b 2 2 thì a b 2. Giải Ta có: a b 2 0 a 2 2ab b 2 0 a 2 b 2 2ab. Từ a 2 b 2 2 a 2 b 2 2. Suy ra 2ab 2 0 hay 2ab 2. Mặt khác (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (1) 2ab 2 (2) a 2 b 2 2 (3) Từ (1), (2), (3) suy ra a b 2 4 hay a b 2. Nhưng a b a b nên a b 2. 2.3. Chú ý: Khi sử dụng các bất đẳng thức ta cần tránh những sai lầm sau: 1. a > b; c > d a - c > b - d. 2. a > b; c > d ac > bd. (Nhân vế với vế của hai bất đẳng thức mà chưa biết hai vế có không âm hay không) 3. Bình phương hai vế của một bất đẳng thức mà chưa biết hai vế không âm: a > b a2 > b2. a c 4. Khử mẫu mà chưa biết dấu của chúng: > ad > bc. b d 5. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức mà chưa biết hai vế có cùng dấu 1 1 hay không: a > b > . a b 6. Khi làm trội một biểu thức đôi khi phải chia biểu thức thành nhiều nhóm rồi làm trội từng nhóm. Ta xét ví dụ sau: 1 1 1 Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n 2 thì: 1 + + + + < n. 2 3 2n 1 Gọi vế trái của bất đẳng thức là A, ta có: A = 1 + ( 1 + 1 ) + ( 1 + + 1 ) + ( 1 + + 1 ) + + ( 1 + 1 ). 2 3 22 7 23 15 2n 1 2n 1 ở mỗi nhóm ta làm trội bằng cách thay các phân số nhỏ hơn trong nhóm bằng phân số lớn nhất trong nhóm ta được: 1 1 1 1 n-1 A < 1 + .2 + 2 .4 + 3 .8 + + n 1 .2 = 1 1  1 = n. 2 2 2 2 n 2.4 Bài tập tự giải: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 7