Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển bài toán hình

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển bài toán hình

1. Sáng Kiến Kinh Nghiệm Phát Triển Tư Duy Học Sinh Qua Bài Toán Hình phần I : đặt vấn đề 1. Lí do chọn sáng kiến kinh nghiệm: Khi giải hoàn thành một bài toán nói chung và một bài toán hình nói riêng các em học sinh thường thỏa mãn những gì đã làm được. Rất ít em còn trăn trở suy nghĩ tiếp như : a, Còn có thể giải bằng cách nào nữa không ? Còn có thể trình bầy ngắn gọn hơn nữa không ? b, Cũng giả thiết ấy thì còn kết luận ( chứng minh ) được những gì nữa. c, Cuối cùng nếu thay đổi một hay vài điều kiện của giả thiết thì kết luận mới thu được có gì đặc biệt . Rõ ràng nếu tự giác làm được những công việc ấy sau khi giải một bài toán hình thì vô cùng có ý nghĩa. Nó tạo ra cho các em một thói quen tốt sau khi giải quyết xong một công việc nhằm đánh giá nhận xét đúng mức những gì đã làm, những gì chưa làm được. Để từ đó rút ra bài học bổ ích cho chính mình. Thiết nghĩ đó cũng là một cách học, cách hiểu bài thêm sâu sắc hơn, cách học có tính chủ động và sáng tạo hơn. Tuy nhiên trong thực tế đa số học sinh chưa có thói quen làm như vậy, mà nếu có cũng chỉ là hình thức mà thôi. Do vậy là người giáo viên dạy toán cần phải hướng dẫn cho học sinh thường xuyên thực hiện công việc này, đặc biệt là các em có năng lực về bộ môn. Từ suy nghĩ ấy tôi đã trăn trở và mạnh dạn đưa ra một hướng: “Phát triển bài toán hình”. Nhằm giúp các em tạo ra một thói quen tốt sau khi giải một bài toán, đồng thời giúp các em yêu thích bộ môn toán có thêm điều kiện để phát triển thêm về năng lực tư duy 2. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm: Nhằm nâng cao năng lực học toán, sự tìm tòi, sáng tạo, tư duy của học sinh. Bồi dưỡng học sinh khá giỏi trong trường Phát huy niềm đam mê yêu thích toán của học sinh. 1
2. Sáng Kiến Kinh Nghiệm Phát Triển Tư Duy Học Sinh Qua Bài Toán Hình 3. Phạm vi nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm: Hệ thống bài tập trong chương trình toán trung học cơ sở 4. Đối tượng nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm: Học sinh khá giỏi lớp 8, 9 trường THCS Thiết ống – Bá Thước – Thanh Hoá. 5. Thời gian nghiên cứu: Trong năm học 2008 – 2009 2
3. Sáng Kiến Kinh Nghiệm Phát Triển Tư Duy Học Sinh Qua Bài Toán Hình phần II : nội dung I/ Cơ sở lý luận Chúng ta đã biết: Trong chương trình toán 7 bộ môn hình học, các em đã được làm quen với một định lý về tính chất ba đường trung tuyến trong tam giác. Định lý: Trong một tam giác ba đường trung tuyến cùng đi qua một điểm, khoảng cách từ điểm ấy đến mỗi đỉnh có độ dài bằng 2/3 độ dài trung tuyến kẻ từ đỉnh đó . Có nhiều cách để chứng minh để chứng minh định lí này song tôi cũng mạnh dạn đưa ra một cách chứng minh khác, trên cơ sở đó ta còn xét tiếp bài những bài toán khác. Chứng minh: Giả sử ta gọi AA1 , BB1, CC1 là các trung tuyến của tam giác ABC. ( A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB ). Ta phải chứng minh AA1, BB1, CC1 cung đi qua một điểm. Thật vậy : Gọi AA1 cắt BB1 tại G. (Ta kí hiệu S là diện tích; SABC : đọc là diện tích của tam giác ABC ). Ta luôn có: S S ( Hai tam giác có chung đường cao hạ từ A và ABA1 ACA1 đáy BA1 = CA1 nên diện tích của chúng bằng nhau). 3
4. Sáng Kiến Kinh Nghiệm Phát Triển Tư Duy Học Sinh Qua Bài Toán Hình Từ chứng minh này ta có kết luận: “Trong một tam giác đường trung 1 tuyến chia tam giác đó thành hai phần có diện tích bằng nhau và bằng diện 2 tích tam giác ấy” (*) Từ kết luận (*) ta suy ra: 1 SACA SBCB .SABC 1 1 2 Nhưng: S S S ACA1 GAB1 GA1CB1 S S S BCB1 GBA1 GA1CB1 Vậy : S S ( 1 ) GAB1 GBA1 1 Lại áp dụng kết luận (*) thì : SGAB SGCB .SGAC 1 1 2 1 SGBA SGCA .SGBC (2) 1 1 2 Từ (1), (2) Suy ra : S S S GAB1 GCB1 GCA1 2 Thế thì : S .S GAC 3 ACA1 Nhưng lại có GAC, ACA1 có chung độ dài đường cao hạ từ C, gọi là h chẳng hạn. Vậy ta có : 1 2 1 AG 2 GA . h = . AA1 .h Suy ra: (3) 2 3 2 AA1 3 BG 2 Tương tự chứng minh trên ta cũng có : BB1 3 ' Bây giờ ta giả sử AA1 cắt CC1 tại G . Chứng minh tương tự ta cũng có : AG ' 2 (4) AA1 3 Từ (3) và (4) suy ra AG' = AG. Vì ABC xác định nên G' trùng với G. 4
5. Sáng Kiến Kinh Nghiệm Phát Triển Tư Duy Học Sinh Qua Bài Toán Hình Chứng tỏ : Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một 2 điểm, khoảng cách từ điểm đó đến mỗi đỉnh bằng độ dài trung tuyến kẻ từ 3 đỉnh đó. ( Giao điểm đó gọi là trọng tâm của tam giác) Nếu ta dừng lại ở đây thì chẳng nói làm gì. Điều đó cũng có thể được bởi bài tập đã giải quyết xong. Tuy nhiên đã trình bày ở trên, việc hướng dẫn cho học sinh cần phải có một thời gian phù hợp đủ để nhìn nhận, đánh giá những cái đã làm được, chưa làm được, ở các góc độ khác chẳng hạn: + Bài toán còn có thể giải quyết theo hướng nào hay hơn không ? + Bài toán này nếu giữ nguyên giả thiết ấy thì còn kết luận thêm được gì nữa? + Bài toán này nếu đặc biệt hóa giả thiết (và ngược lại tổng quát hóa giả thiết) một số điều kiện ( nếu được) thì thu được những kết luận mới nào? Riêng hai vấn đề trên tôi chỉ nêu ra có tính chất làm ví dụ. Còn nội dung chủ yếu của SKKN này tôi suy nghĩ và đưa ra một hướng “ Phát triển “. Đó là nội dung hướng thứ ba II/ Nội dung biện pháp Quay lại bài toán ta đã chứng minh được: Trong tam giác ABC các trung tuyến AA1, BB1 , CC1 cùng đi qua một điểm G và: GA GB GC 2 AA1 BB1 CC1 3 GA GB GC 2 Như vậy thì: AA 1 BB 1 CC 1 3 GA GB GC 1 1 1 Do đó: 1 1 1 1 (5) AA1 BB1 CC1 3 3 3 Phát triển 1: Từ bài toán suy xét thêm ta thấy: Tuy ABC là bất kỳ nhưng AA1, BB1, CC1 là ba trung tuyến của tam giác do đó mà ta có đẳng thức ( 5). Bây giờ 5
6. Sáng Kiến Kinh Nghiệm Phát Triển Tư Duy Học Sinh Qua Bài Toán Hình chuyển sự đặc biệt hóa thành khái quát hoá: Giả sử các đường AA1, BB1 , CC1 của ABC và cùng đi qua một điểm K bất kỳ nằm trong trong ABC thì đẳng thức (5) có gì thay đổi theo. Giả sử K là một điểm bất kỳ nằm trong ABC. Gọi AK, BK, CK lần lượt cắt BC, CA, AB ở A1, B1 , C1. Gọi S là diện tích ABC, S1 là diện tích KBC, S2 là diện tích KCA, S3 là diện tích KAB và ha, hb, hc là độ dài đường cao của ABC ứng với cạnh: BC, CA, AB gọi h1, h2, h3 lần lượt là độ dài đường cao của KBC, KCA, KAB hạ từ K ta có: 1 1 1 S = BC.ha = CA. hb = AB.hc (6) 2 2 2 1 1 1 S1 = BC.h1 , S2 = CA.h2 , S3= AB.h3 (7) . 2 2 2 S h S h S h Từ (6) và (7) ta có 1 1 ; 2 2 ; 3 3 . S ha S hb S hc Tiếp tục kẻ AH vuông góc với BC tại H, KH1 vuông góc với BC tại H1. Suy ra trong AHA1 có AH // KH1 ( cùng vông góc với BC). KH KA KA h Vậy ta có : 1 1 hay 1 1 AH AA1 AA1 ha ( ha là độ dài đường cao của ABC ứng với cạnh BC; h1 là độ dài đường cao của KBC hạ từ K ). KA S Do đó 1 1 . AA1 S KB S KC S Tương tự ta cũng có: 1 2 , 1 3 BB1 S CC1 S 6
7. Sáng Kiến Kinh Nghiệm Phát Triển Tư Duy Học Sinh Qua Bài Toán Hình KA KB KC S S S S S S Từ đó suy ra: 1 1 1 1 2 3 1 2 3 . AA1 BB1 CC1 S S S S Nhưng S1 +S2 + S3 = SKBC + SKCA +SKAB = SABC = S. S S S S Vậy 1 2 3 1 S S KA KB KC S Chứng tỏ : 1 1 1 1 (5.1) AA1 BB1 CC1 S So sánh (5) và (5.1) ta thấy rằng chỉ cần điều kiện ba đường thẳng bất kỳ đi qua ba đỉnh của tam giác và đồng qui tại một điểm (*) thì đẳng thức ( 5) vẫn đúng. Nhưng rõ ràng giải được bài toán này mức độ đòi hỏi sự hiểu biết của học sinh phải cao hơn nhiều từ đó ta có bài toán mới: Bài toán 1 : Cho K là một điểm bất kỳ trong ABC gọi AK, BK, CK lần lượt cắt BC, CA, AB tại A1, B1, C1 .Chứng minh rằng: KA KB KC 1 1 1 1 AA1 BB1 CC1 Không dừng lại ở đây, ta lại suy xét thêm bài toán tương tự như trên từ bài toán ban đầu. Cũng từ kết quả của bài toán ban đầu ta có: AA BB CC 1 1 1 3 GA1 GB1 GC1 Thế thì ta có một hướng phát triển khác. Phát triển 2: Từ nhận xét trên ta suy ra : AA BB CC 3 3 3 1 1 1 9 (8). GA1 GB1 GC1 1 1 1 Sở dĩ có đẳng thức (8) là do G là một điểm đặc biệt ( trọng tâm của tam giác ). Vấn đề đặt ra là nếu thay sự đặc biệt của vị trí điểm G thành thành điểm K bất kỳ trong tam giác thì đẳng thức (8) có còn đúng không, hay ta sẽ 7
8. Sáng Kiến Kinh Nghiệm Phát Triển Tư Duy Học Sinh Qua Bài Toán Hình thu được điều gì mới. Giả sử K là một điểm bất kỳ trong ABC gọi AK, BK, CK lần lượt cắt BC, CA, AB tại A1, B1, C1. KA S KB S KC S Theo phát triển I ta có: 1 1 , 1 2 , 1 3 . AA1 S BB1 S CC1 S AA BB CC S S S Vậy suy ra: 1 1 1 . KA1 KB1 KC1 S1 S 2 S3 Để cho bài toán khó thêm một chút, ta sẽ tạo tiếp ra các nút kiến thức chẳng hạn: Do: S = S1 + S2 + S3 ( trong phát triển 1 ) nên : S S S S S S S S 1 2 3 1 2 3 =1+ 2 3 S1 S1 S1 S1 S1 S S S S S S Tương tự : 1 1 3 , 1 1 2 . S 2 S 2 S 2 S3 S3 S3 S S S S S S S S S Do đó: 3 2 1 3 1 2 3 S1 S2 S3 S1 S2 S1 S3 S3 S2 Nhưng do K nằm trong ABC nên diện tích các KBC, KCA, KAB đều là các số dương. Mặt khác trong đại số ta luôn có: (a-b)2 0  a, b a2 + b2 2ab  a, b a b 2  a, b > 0 (*) b a dấu " = " xảy ra khi a= b. S S S S S S áp dụng (*) vào trên ta có: 3+ 1 2 + 2 3 + 3 1 3+2+2+2 =9 S 2 S1 S3 S 2 S1 S3 Dễ thấy dấu “=” xẩy ra khi S1 = S2 = S3 điều này có được khi K trùng G AA BB CC Do đó: 1 1 1 9 (8.1) KA1 KB1 KC1 So sánh (8) và (8.1) Ta thấy (8) chỉ là một trường hợp đặc biệt của (8.1). Từ đó ta có bài toán mới. Bài toán 2: 8
9. Sáng Kiến Kinh Nghiệm Phát Triển Tư Duy Học Sinh Qua Bài Toán Hình Chứng minh rằng: Nếu K là một điểm bất kỳ trong ABC và AK, BK, CK lần lượt cắt BC, AA1 BB1 CC1 CA, AB tại A1, B1, C1 thì luôn có: 9. KA1 KB1 KC1 Suy xét tiếp tục bài toán ban đầu ta có : GA GB GC 2 = . AA1 BB1 CC1 3 GA GB GC Suy ra: =2 . GA1 GB1 GC1 GA GB GC Vậy : + + = 2 + 2+ 2 = 6 (9) GA1 GB1 GC1 Phát triển 3: Từ đẳng thức (9) vấn đề đặt ra là nếu không hạn chế G mà thay G ( trọng tâm) bởi một điểm K bất kỳ trong tam giác, kết quả thu được có gì đặc AA BB CC biệt so với (9). Trong phát triển II ta có: 1 1 1 9 KA1 KB1 KC1 Lợi dụng bất đẳng thức này ta suy xét tiếp. Dễ thấy muốn có KA thì ta lấy hiệu AA1 và KA1. Từ đó ta bớt mỗi vế của bất đẳng thức trên đi 3 đơn vị ta được: AA BB CC 1 - 1+ 1 - 1+ 1 - 1 9 -3 KA1 KB1 KC1 AA KA BB KB CC KC 1 1 + 1 1 + 1 1 6 . KA1 KB1 KC1 KA KB KC + + 6 (9.1) KA1 KB1 KC1 9