Sáng kiến kinh nghiệm Phát huy trí lực học sinh thông qua việc khai thác sâu một bài tập trong SBT toán Lớp 9

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Phát huy trí lực học sinh thông qua việc khai thác sâu một bài tập trong SBT toán Lớp 9

1. Sáng kiến kinh nghiệm 2010 - 2011 ĐẶT VẤN ĐỀ Việc khai thác các bài tập trong sách giáo khoa (SGK), sách bài tập (SBT), khai thác các bài toán gốc, các bài toán cơ bản đã được nhiều giáo viên làm công tác giảng dạy quan tâm. Một số giáo viên đã đề xuất được khá nhiều bài tập từ một bài tập nào đó nhưng việc tổ chức các hoạt động dạy học để làm cho học sinh biết cách khai thác bài tập thì còn có những hạn chế. Qua trao đổi thảo luận với các giáo viên đó, những vấn đề làm tôi quan tâm là: xây dựng các định hướng như thế nào để thật sự lôgic lôi cuốn học sinh, tạo cho học sinh đi từ bất ngờ này đến bất ngờ khác một cách thú vị, làm cho học sinh biết cách khai thác các bài tập, tổ chức cho học sinh khai thác sâu một số bài tập vào những thời điểm nào là thích hợp nhất. Trong những năm qua trực tiếp giảng dạy nhiều đối tượng học sinh khá giỏi, tôi đã tổ chức hoạt động khai thác bài tập trong nhiều tiết dạy chính khóa, trong các buổi dạy nâng cao, trong các buổi bồi dưỡng học sinh giỏi và đã thu được một số kết quả nhất định, trong bài viết này tôi xin trình bày cùng với các đồng nghiệp và hội đồng khoa học kinh nghiệm với nội dung “ Phát huy trí lực học sinh thông qua việc khai thác sâu một bài tập trong SBT toán lớp 9”. Vì khuôn khổ của bài viết tôi không có tham vọng đưa ra nhiều ví dụ minh họa về việc khai thác các bài tập, rất mong nhận được sự động viên khích lệ từ các đồng nghiệp và hội đồng khoa học của ngành. NỘI DUNG I) Nhận thức cũ – Tình trạng cũ. Giáo viên thường có quan niệm là chỉ cần hoàn thành nhiệm vụ giảng dạy các nội dung mà SGK đưa ra là được còn việc nghiên cứu tìm tòi khai thác các bài tập thì đã có những người khác nghiên cứu. Muốn phát huy trí lực của học sinh thì chỉ việc ra nhiều bài tập cho học sinh luyện tập, đưa ra các dạng bài tập rồi định hướng dẫn dắt học sinh giải, học sinh nêu các cách giải, trình bày cách giải, tổng hợp phương pháp, làm hết bài tập này sang bài tập khác. Giáo viên cho rằng lượng thời gian thực dạy trên lớp và việc chuẩn bị giáo án, đồ dùng để phục vụ tiết dạy đã lấp kín thời gian. Trong khi đó lượng kiến thức trong một số tiết học lại nhiều do đó giáo viên chưa thực sự tập trung nghiên cứu kỹ để khai thác các bài tập trong SGK và SBT một cách thường xuyên. Việc khai thác bài tập mới chỉ làm để phục vụ cho các tiết dạy có giáo viên khác dự giờ, các tiết dạy thực tập thao giảng, hội giảng.Việc khai thác thường chưa thực sự lô gíc, còn rời rạc, chưa lôi cuốn được học sinh khá giỏi. Giáo viên chưa tạo cho học sinh có được thói quen biết dừng lại hay chưa nên dừng lại sau khi đã giải được bài tập mà giáo viên đưa ra hoặc các bài tập có trong các tài liệu. Học sinh chưa có hướng khai thác bài toán mới từ bài toán đã cho. Học sinh học thường thụ động, thiếu sáng tạo, chủ quan vì đã nắm được khá tốt lượng kiến thức ở SGK và SBT, học sinh không biết tự học, tự đọc, tự tham khảo tài liệu để nâng cao kiến thức, rèn luyện kỹ năng và phương pháp. Học sinh 1
2. Sáng kiến kinh nghiệm 2010 - 2011 hướng thích hợp để học sinh phát hiện, học sinh dự đoán, học sinh tìm ra các câu mới, các bài toán mới từ những bài toán đó, cho học sinh giải các bài tập đề xuất bằng các cách khác nhau (nếu có thể). Trong qu¸ tr×nh hơn 30 năm làm công tác giảng dạy, tôi thường xuyên quan tâm đến việc khai thác bài tập trong SGK và SBT, tôi đã khai thác được khá nhiều bài tập từ các bài tập ở trong các tài liệu đó. Trong phần minh họa dưới đây, tôi xin được giới thiệu cùng các đồng nghiệp một số buổi dạy nâng cao vào các buổi chiều, tổ chức cho học sinh khai thác bài tập 67, trang 138, SBT toán 9, NXBGD – 2008 (tôi xem là bài tập 1 sau đây). Đây là một trong số các bài tập mà tôi đã khai thác để dạy cho học sinh các lớp chọn trong các buổi dạy nâng cao.Vì khuôn khổ của bài viết, tôi chỉ tập trung giới thiệu việc đưa ra các định hướng khác nhau để giứp học sinh khai thác bài tập 1 theo các hướng khác nhau từ đó tìm ra được các bài tập mới, giới thiệu lời giải ở mức độ vắt tắt, chưa giới thiệu được các cách giải khác nhau, tôi rất mong các đồng nghiệp đón nhận để tham khảo. Buổi thứ nhất: Cho học sinh làm bài tập 1 và nêu những định hướng chính để học sinh phát hiện, đề xuất các bài tập mới. Bài tập 1 Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại A và B. Lần lượt kẻ các đường kính AOC và AO’D của (O) và (O’). Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng và AB  CD. A - HS chứng minh bài tập 1. O Định hướng 1: O' Ngược lại với bài toán trên, nếu qua B vẽ một d đường thẳng d vuông góc với AB cắt (O) và C B D (O’) lần lượt tại C và D thì AC và AD có phải là đường kính của đường tròn (O) và (O’) hay không? Ta có thêm bài tập nào? Hãy phát biểu nội dung bài tập đó? Bài tập 1.1 Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng d vuông góc với AB tại B cắt các đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại C và D. Chứng minh AC và AD lần lượt là đường kính của (O) và (O’). - HS cm bài tập 1.1 Định hướng 2: Cho đường thẳng d quay quanh điểm B cắt (O) và (O’) lần lượt tại E và F (B nằm giữa E và F). Hãy dự đoán xem d ở vị trí nào thí EF có độ dài lớn nhất? Ta có thêm bài tập nào? Hãy phát biểu nội dung bài tập đó? A Bài tập 1.2. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cắt O O' nhau tại A và B.(O và O’ thuôc hai nữa E H mặt phẳng đối nhau bờ AB ) Một đường D C B K d thẳng d luôn đi qua điểm B và cắt (O) và F (O’) lần lượt tại E và F (B nằm 3
3. Sáng kiến kinh nghiệm 2010 - 2011 (O) và (O’) tại C và D. Kẻ các đường kính DO’G và COF. Tia CO cắt tia DO’ tại E. Chứng minh a/ Ba điểm B; G; F thẳng hàng b/ Bốn điểm O, E, A, O’ cùng thuộc một đường tròn. HS Giải a/ Ta có CBˆF GBˆD 900 FB  CD,GB  CD Ba điểm F,G,B thẳng hàng. b/ Ta có FOˆA 2.FCˆA 2.FBˆA;GOˆ ' A 2FBˆA suy ra EOˆA EOˆ ' A. Do đó bốn điểm E, O, O’, A cùng thuộc một đường tròn Định hướng 5. Đặc biệt hóa bài toán theo hướng cho hai đường tròn (O) và (O’) bằng nhau khi đó tam giác ACD là tam giác gì? Tứ giác AOBO’ là hình gì? Nếu vẽ một đường thẳng d bất kỳ đi qua B cắt (O) và (O’) lần lượt tại E và F thì tam giác AEF là tam giác gì? Gọi H là trung điểm của EF. Khi d quay quanh B thì H chuyển động trên đường nào? Hãy phát biểu nội dung bài tập này? Bài tập 1.5: Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R) cắt nhau tại A và B. (O và O’ thuôc A hai nữa mặt phẳng đối nhau bờ AB). Vẽ các đường kính AOC và AO’D. O a/ ACD là tam giác gì? Chứng minh. O' b/ Tứ giác AOBO’ là hình gì? Chứng minh. E H c/ Vẽ một đường thẳng d bất kỳ đi qua B cắt C B D (O) và (O’) lần lượt tại E và F. Gọi H là trung F điểm của EF. Khi d quay quanh B thì H chuyển động trên đường nào? vì sao? HS Giải c/ Cách1: Vì (O) và (O’) là hai đường tròn bằng nhau nên các cung nhỏ AB của hai đường tròn bằng nhau ·AEF ·AFE Tam giác AEF là tam giác cân trung tuyến AH đồng thời là đường cao ·AHB = 900 H chuyển động trên đường tròn đường kính AB cố định Cách 2: Ta có góc C· BE D· BF (đối đỉnh) C· BE C· AE ; D· BF D· AF ( các góc nội tiếp cùng chắn một cung) C· AE D· AF . AEC và AFD có ·AEC ·AFD 900 (Góc nội tiếp chắn nữa đường tròn); AC = AF (= 2R); C· AE D· AF AEC = AFD (cạnh huyền và góc nhọn) AE = AF AEF cân AH  EF ·AHB = 900 H chuyển động trên đường tròn đường kính AB cố định. Định hướng 6. 5
4. Sáng kiến kinh nghiệm 2010 - 2011 AEH vuông tại H có ·AEF = 300 1 AH 1 nên tg ·AEF = tg300 = = (3) 3 HE 3 Vì tứ giác AEQF nội tiếpđường tròn AQ cắt FE tại H nên AHE và FHQ đồng dạng AH HF HF 1 = = (4) HE HQ HQ 3 1 Đặt HE = HF= m thì từ (3) AH = m; Từ (4) HQ = 3 m 3 1 4 AH 1 AQ = ( + 3 )m = m = 3 3 AQ 4 Định hướng 7: Từ hình vẽ bài tập 1.6 GV đặt vấn đề để: Hãy xét xem tứ giác ACQD có nội tiếp đường tròn hay không? Thay điều kiện AB = R bởi điều kiện AB = 2 R thì tứ giác AEQF là hình gì? Hãy phát biểu nội dung bài tập này ? Bài 1.7: Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R) cắt nhau tại A và B. (O và O’ thuôc hai nữa mặt phẳng đối nhau bờ AB). Vẽ các đường kính AOC và AO’D. Qua B kẻ một đường thẳng d cắt (O) và (O’) lần lượt ở E và F; EC và DF cắt nhau tại Q. a/ Chứng minh tứ giác ACQD nội tiếp đường tròn b/ Cho AB = 2 R thì tứ giác AEQF là hình gì? - HS về nhà làm bài tập này. Giải: a/ Vì ·AEQ ·AFQ 900 900 1800 nên tứ giác AEQF nội tiếp đường tròn E· AF E· QF = 1800 .Mà E· AF C· AD (Do EAF : CAD) nên C· AD C· QD = 1800 tứ giác ACQD nội tiếp đường tròn. b/ Khi AB = 2 R thì C· AB = 450 C· AD = 900 E· AF = 900 Tứ giác AEQF có ·AEQ ·AFQ E· AF 900 AEQF là hình chữ nhật; mà AE = AF nên AEQF là hình vuông. Định hướng 8 Từ hình vẽ bài 1 .6 gọi giao của AH với (O) và (O’) lần lượt là M và N. Tứ giác EMFN là hình gì? Hãy phát biểu nội dung bài tập này ? Bài 1.8 : Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R) cắt nhau tại A và B (O và O’ thuôc hai nữa mặt phẳng đối nhau bờ AB). Qua B vẽ đường thẳng d cắt (O) và (O’) lần lượt tại E và F (B nằm giữa E và F). Gọi H là trung A điểm của FE; AH cắt (O) và (O’) lần lượt tại M và N (N nằm gữa A và M). Tứ giác EMFN là hình gì? O' O N Hãy phát biểu nội dung bài tập này ? E HSGiải: H B F M 7
5. Sáng kiến kinh nghiệm 2010 - 2011 Định hướng 11. Hai đường tròn(O) và (O’) cắt nhau tại A và B có nhận xét gì về quan hệ của góc OAO’ và góc OBO’? Gọi M là trung điểm của CD, có nhận xét gì quan hệ của góc OMO’ và góc A OBO’? tứ giác OMBO’ nội tiếp đường tròn được không? Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B phải có O O' thêm điều kiện gì thì 5 điểm A,O,M,B,O’ cùng thuộc một đường tròn ? Hãy phát biểu nội dung bài tập này ? C M B D Bài toán 1.11 Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại A và B. (O và O’ thuôc hai nữa mặt phẳng đối nhau bờ AB).Vẽ các đường kính AOC và AO’D. Gọi M là trung điểm của CD. a/ Chứng minh tứ giác OMBO’ nội tiếp đường tròn. b/ Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B phải có thêm điều kiện gì thì 5 điểm A, O, M, B, O’ cùng thuộc một đường tròn. HSGiải: a/ Hai đường tròn(O) và (O’) cắt nhau tại A và B thì A và B đối xứng nhau qua OO’ nên O· AO ' O· BO ' (1) Vì AOMO’ là hình bình hành nên O· AO ' O· MO' (2) Từ (1) và (2) O· MO ' O· BO ' tứ giác OMBO’ nội tiếp đường tròn (theo quỹ tích cung chứa góc). b/ Để 5 điểm A, O, M, B, O’ cùng thuộc một đường tròn thì tứ giác AOMO’ nội tiếp đường tròn O· AO ' O· MO ' 1800 mà O· AO ' O· MO' nên O· AO ' = 900 AC  AD Khi AC  AD thì O· MO ' O· BO ' O· AO ' 900 5 điểm A, O, M, B, O’thuộc đường tròn đường kính OO’ Vậy hai đườg tròn (O) và (O’) có thêm điều kiện là hai đường kính AC và AD vuông góc với nhau thì 5 điểm A, O, M, B, O’ cùng thuộc một đường tròn Định hướng 12. Từ hình vẽ giải bài 1.11, gọi giao của tia MO với (O) là P; giao của tia MO’ với (O’) là Q. Có nhận xét gì về tam giác MPQ ? Ba điểm P;A;Q có thẳng hàng không? Hãy phát biểu nội dung bài tập này ? Bài toán 1.12 Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại A và B. (O và O’ thuôc hai nữa mặt phẳng đối nhau bờ AB). Lần lượt kẻ các đường kính AC và AD của (O) và (O’), gọi M là trung điểm của CD. Gọi giao của tia MO với (O) là P; giao của tia MO’ P với (O’) là Q. Chứng minh tam giác MPQ là tam A giác cân và ba điểm P;A;Q thẳng hàng. Q O HSGiải: O' Ta có AOMO’ là hình bình hành nên C OM =AO’ = QO’ = R’ M B D MO’ = OA = OP = R 9
6. Sáng kiến kinh nghiệm 2010 - 2011 Lời giải: Theo bài 1 thì C: B; D thẳng hàng. Gọi giao của d và (O) là P, do P G· AP C· PA C· GA 900 A Q AGCP là hình chữ nhật CG = AP (1) O 0 C· PA D· QA 90 tứ giác CPQD là hình O' d M thang vuông. C Có MA//CP//QD (cùng vuông góc với QP) B D mà M là trung điểm của CD nên A là trung G điểm của CQ hay AP = AQ (2) Từ (1) và (2) CG = AQ Định hướng 15. Từ hình vẽ để giải bài 1.14 ta nhận thấy AM là trung trực của QP, M là điểm cố định. Đặt vấn đề là khi đường thẳng d quay quanh A cắt (O) và (O’) lần lượt ở P và Q thì trung trực của QP có đi qua điểm M nữa không? Hãy phát biểu nội dung bài tập này ? Bài 1. 15: Hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại A và B (O và O’ thuôc hai nữa mặt phẳng đối nhau bờ AB). Một đường thẳng d quay quanh A cắt (O) và (O’) lần lượt ở P và Q (A nằm giữa P và Q). Chứng minh rằng: đường trung trực của QP luôn đi qua điểm cố định. HSGiải: Vẽ các đường kính AOC và AO’D, chứng minh Q N A d được: C, B, D thẳng hàng, ·APC ·AQD 900 P   O CP PQ ; DQ PQ CP//DQ và tứ giác O' CPQD là hình thang vuông. M Gọi M; N lần lượt là trung điểm của CD và QP C B D thì M là điểm cố định và MN là đường trung bình của hình thang CPQD nên MN //CP MN  QP tại trung điểm N của QP NM là trung trực của QP Trung trực của QP luôn đi qua điểm cố định là M Định hướng 16. Từ các bài tập trên hãy cho biết M có phải là điểm đối xứng của A qua trung điểm I của OO’ không ?, d là một đường thẳng bất kỳ đi qua A cắt (O) và (O’) lần lượt tại P và Q có nhận xét gì về MP và MQ? Ta có thêm bài tập nào? Bài toán 1.16 Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại A và B (O và O’ thuôc hai nữa mặt phẳng đối nhau bờ AB). Qua A kẻ cát tuyến bất kỳ cắt (O) và (O’) lần lượt tại P và Q (A nằm gữa P và Q). Gọi M là điểm đối xứng của A qua trung điểm I của OO’. Chứng minh MP =MQ. HSGiải: Vẽ OF; IE; O’N vuông góc với PQ.ta có OF// IE// O’N; mà IO = IO’ (gt) 11
7. Sáng kiến kinh nghiệm 2010 - 2011 Bài 1.18 Cho hai đường tròn (O;R) và (O’; R’) cắt nhau tại A và B. Vẽ hình bình hành OAO’M . a/ Chứng minh tứ giác OMBO’ có nội tiếp đường tròn. b/ Vẽ các đường kính AOC và AO’D. Chứng minh các điểm C;M;B;D thẳng hàng. c/Tại A vẽ tiếp tuyến của đường tròn (O’) cắt (O) ở E; vẽ tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt (O’) ở F. Lấy G đối xứng với A qua B. Chứng minh 4 điểm A; E; G; F cùng thuộc một đường tròn. HSGiải: a/ Chứng minh được O· MO ' O· BO ' O· AO ' Tứ giác OMBO’ nội tiếp đường tròn (theo qtích cung chứa góc) b/ Theo bài tập 1 thì C; B; D thẳng hàng ; OO’ là đường trung bình của tam giác ACD OO’// CD (1) Gọi giao điểm của OO’ với AM và AB lần lượt là H và N ta có HN là đường trung bình của tam giác AMB nên MB//HN hay MB// OO’ (2) Từ (1) và (2) Hai đường thẳng CBD và MB trùng nhau các điểm C;M;B;D thẳng hàng. c/ có OM//AO’; AO’  AE (t/c tiếp tuyến) nên OM  AE Theo t/c đối xứng của đ tròn từ OM  AE OM là đường trung trực của AE (3) Chứng minh tương tự có O’M là trung trực của AF (4) Từ (3) và (4) M là giao điểm 3 đường trung trực của tam giác AEF MA = ME = MF (5) Từ cm ở câu b ta có MB  AG mà BA = BG nên MB là trung trực của AG MA = MG (6) Từ (5) và (6) 4 điểm A; E; G; F thuộc đường tròn (M; MA) Định hướng 19. Tiếp tục khai thác bài toán 1. Giả sữ CA cắt (O’) tại E, DA cắt (O) tại F. Các đường thẳng CF; BA; DE có đồng quy không ? Hãy phát biểu nội dung bài tập này ? Bài toán 1. 19 Hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại A và B(O và O’ thuôc hai nữa mặt phẳng đối nhau bờ AB). Lần lượt kẻ các đường kính AC và AD của (O) và (O’). Giả sữ CA cắt (O’) tại E, DA cắt (O) tại F. F Chứng minh ba đường thẳng CF; BA; DE đồng quy E A HSGiải: O' O Ta có ·AFC ·AED 900 (Góc ntiếp chắn nữa đường tròn) D CF  DA ; DE  CA CF và DE là các đường cao C B của tam giác ACD.Mặt khác từ bài toán 1 ta suy ra BA là đường cao từ A của tam giác ACD. Vậy CF; BA; DE là 3 đường cao của tam giác ACD nên CF; BA; DE đồng quy. Định hướng 20. Từ hình vẽ ở bài tập 1.19 hãy xét xem 5 điểm F, O ,B, E, O’ có cùng thuộc một đường tròn không? Ta có thêm bài tập nào? Hãy phát biểu nội dung 13